Trouver la limite d'une fonction
L'idée de la limite de la fonction ayant la valeur \N(L\N) au point \N(x=a\N) est que si d'autres valeurs de \N(x\N) sont proches de \N(a\N), alors les valeurs de la fonction à ces valeurs de \N(x\N) sont proches de \N(L\N).
En d'autres termes, quelqu'un te donne une fonction et un point \(x=a\). Tu dois proposer une limite à \N(L\N), puis on te donne le \N( \epsilon \N) qui t'indique à quel point toutes les valeurs de la fonction doivent être proches de \N(L\N). Enfin, tu dois voir si tu peux trouver un \(\delta\) de sorte que si tes valeurs \(x\) sont dans la fenêtre \(\delta\), tu as la garantie que toutes les valeurs de la fonction seront dans leur fenêtre \(\epsilon\) de \(L\). Voyons donc quelques exemples.
La fonction qui t'intéresse ici est \N(f(x)=x,\N) et le point qui t'intéresse est \N(x=1\N). Tu sais déjà que \(f(1)=1\), donc la limite que tu proposes est \(L=1\). On te donne la valeur de \(\epsilon\). Si tu dessines en pointillés roses les lignes représentant \(y=L+\epsilon\) et \(y=L-\epsilon\), tu obtiens la fenêtre de \(\epsilon\) autour de la limite proposée \(L\).
Fig. 1. Limite proposée pour \(f(x)=x\) .
En choisissant un \(\delta\) suffisamment petit, tu peux tracer les lignes pointillées représentant \(x=1-\delta\) et \(x=1+\delta\). Tant que la valeur de \(x\) que tu regardes se trouve entre ces deux lignes pointillées verticales (la fenêtre de \(\delta\)), tu peux garantir que les valeurs de la fonction se trouvent dans la fenêtre de \(\epsilon\). Cela signifie que ton choix de la limite était le bon.
Est-ce que le fait qu'un seul point soit différent a de l'importance ?
En modifiant légèrement l'exemple précédent, définis la fonction par
\N[f(x) =\Nà gauche \Nà droite \Ndébut{alignement} x \Nquad x\Nneq 1 \N0,6 \Nquad x=1 \Nfin{alignement}\Nà droite. \]
Alors, quelle devrait être la limite que tu proposes ? Doit-elle être \N(L=1\N) ou \N(L=0,6\N) ?
La question que tu dois te poser est la suivante : si les valeurs de \(x\) sont proches de \(a=1\), de quoi les valeurs de la fonction sont-elles proches ? Dans ce cas, les valeurs de la fonction sont proches de \N(L=1\N), c'est donc la limite proposée. Comme tu peux le voir, à l'exception de ce point sur le graphique (1,0,6), toutes les valeurs de la fonction sont certainement comprises dans la fenêtre (\epsilon) tant que les valeurs (x) sont comprises dans la fenêtre (\delta).
Fig. 2. Limite d'une fonction avec un point déplacé.
Il semble donc que le fait que la valeur de la fonction soit différente en un seul point ne devrait pas avoir d'incidence sur la valeur de la limite.
Est-ce que le fait que la fonction soit définie en ce point a de l'importance ?
Modifions légèrement l'exemple précédent. Dans ce cas, la fonction est \(f(x)=x\) si \(x\neq 1\), et la fonction n'est même pas définie pour \(x=1\). Comme dans les deux exemples précédents, tant que les valeurs de \(x\N) sont proches de \N(a=1\N), les valeurs de la fonction sont proches de la limite proposée \N(L=1\N), il semble donc que la limite de la fonction soit toujours \N(1\N).
Fig. 3. Limite d'une fonction trouée.
Définition de la limite d'une fonction
Lorsque tu décides de la définition de la limite, les exemples précédents te montrent que la valeur de la fonction à \(x=a\) ne devrait pas avoir d'importance. En effet, l'utilisation de \(0<|x-a|<\delta\) exclut le point \(x=a\) de sorte que la limite est correctement définie même si la fonction a un trou.
Soit \(f\) une fonction définie sur l'ensemble \(S\) sauf éventuellement le point \(a\) à l'intérieur de \(S\). Nous disons que la limite de \(f(x)\) à mesure que \(x) s'approche de \(a) est égale au nombre \(L\) si pour tout \(\epsilon >0\), il existe un \(\delta >0\) tel que \(0<|x-a|<\delta\) implique \(|f(x)-L|<\epsilon\).
La notation de la limite d'une fonction est généralement la suivante
\[\lim\limits_{x\to a}f(x)=L.\]
Cela se lit comme "la limite de la fonction lorsque \(x\N) se rapproche de \N(a\N) est égale à \N(L\N)".
Dans le cas où tu ne peux pas trouver de \(\delta\) qui fonctionne au point \(a\), tu dis que la limite n'existe pas à cet endroit.
Voyons maintenant les étapes de l'application de la définition de la limite pour une fonction spécifique à l'aide d'un graphique et d'un tableau.
Faire un graphique pour trouver la limite d'une fonction
Pour cet exemple, prenons la fonction suivante
\[f(x)=\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5),\]
et trouver la limite comme \N(x à 3).
Étape 1. Fais une proposition sur ce que devrait être la limite de la fonction. Pour ce faire, trace un graphique de la fonction et fais un tableau des valeurs de la fonction près de \(x=3\).
| \(x\) | \N(f(x)\N) |
| \(2.5\) | \(-3.28\) |
| \(2.55\) | \(-3.37\) |
| \(2.6\) | \(-3.46\) |
| \(2.65\) | \(-3.54\) |
| \(2.7\) | \(-3.62\) |
| \(2.75\) | \(-3.69\) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) |
| \(2.85\) | \(-3.83\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) |
| \(3.0\) | \(-4.0\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) |
| \(3.25\) | \(-4.18\) |
| \(3.3\) | \(-4.22\) |
| \(3.35\) | \(-4.22\) |
| \(3.45\) | \(-3.46\) |
Tableau 1. Données de la fonction \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) autour du point \(x=3\).
Fig. 4. Graphique et tableau d'une fonction près de \(x=3\).
Fais une proposition pour la limite comme \(x=3). En regardant le tableau et le graphique ci-dessus, tu peux voir que la valeur de la fonction à \(x=3\) est \(-4\), et que tant que les valeurs de \(x\) sont proches de \(3\), les valeurs de la fonction semblent être proches de \(-4\). Ainsi, \N(L=-4\N) est un bon candidat pour la limite.
Étape 2. Quelqu'un te donne une valeur de \(\epsilon\), et tu dois trouver la valeur correspondante de \(\delta\). Pour ce faire, tu devras trouver la plage des valeurs de la fonction qui sont proches de la limite que tu as proposée, à savoir \(L\). Puisque tu ne t'intéresses qu'aux valeurs de \(x\N) proches de \N(3\N) et aux valeurs de la fonction proches de \N(L\N), trace les lignes pointillées correspondant à \N(y=L+\epsilon\N) et \N(y=L-\epsilon\N).
| \(x\) | \N(f(x)\N) |
| \(2.5\) | \(-3.38\) |
| \(2.55\) | \(-3.37\) |
| \(2.6\) | \(-3.46\) |
| \(2.65\) | \(-3.54\) |
| \(2.7\) | \(-3.62\) |
| \(2.75\) | \(-3.69\) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) |
| \(2.85\) | \(-3.83\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) |
| \(3.0\) | \(-4\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) |
| \(3.25\) | \(-4.18\) |
| \(3.3\) | \(-4.2\) |
| \(3.35\) | \(-4.22\) |
| \(3.4\) | \(-4.22\) |
| \(3.45\) | \(-3.46\) |
Tableau 2. Données de la fonction \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) autour du point \(x=3\).
Fig. 5. Graphique et tableau d'une fonction près de \(x=3\), plus grande taille .
Étape 3. Tu vois maintenant qu'il faut vraiment zoomer sur le graphique pour avoir une meilleure idée de ce qui se passe. Il peut aussi être utile d'ajouter une colonne à ton tableau pour montrer à quel point tu es proche de la limite proposée.
| \(x\) | \N(f(x)\N) | \N(|f(x)-L|\N) |
| \(2.8\) | \(-3.76\) | \(0.24\) |
| \(2.85\) | \(-3.38\) | \(0.17\) |
| \(2.9\) | \(-3.89\) | \(-0.11\) |
| \(2.95\) | \(-3.95\) | \(0.05\) |
| \(3\) | \(-4\) | \(0\) |
| \(3.05\) | \(-4.05\) | \(0.05\) |
| \(3.1\) | \(-4.09\) | \(0.09\) |
| \(3.15\) | \(-4.13\) | \(0.13\) |
| \(3.2\) | \(-4.16\) | \(0.16\) |
Tableau 3. Données de la fonction \(\frac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\) autour du point \(x=3\) dans un intervalle plus petit.
Fig. 6. Zoom sur le graphique des limites et le tableau des valeurs de la fonction.
En regardant le tableau des valeurs, tu peux voir que \(|f(x)-L|\) est plus petit lorsque tu es à droite de \(a=3\) que si tu es à gauche de \(a=3\). Tu peux donc considérer qu'il existe deux valeurs différentes de "la distance" à laquelle tu dois te trouver par rapport à \(a=3\) pour être dans la fenêtre \(\epsilon\). Appelle ces deux valeurs différentes \(\delta_1\) et \(\delta_2\), et représente ces lignes sur un graphique.
Fig. 6. Zoom sur le graphique des limites et le tableau des valeurs de la fonction.
Fig. 7. Graphique de la fonction montrant les fenêtres epsilon et delta.
Étape 4. Tu as deux candidats différents pour ce que devrait être \(\delta\), que fais-tu ? Puisque tu veux que les deux
\[0<|x-3|<\delta_1\quad \text {et} \quad 0<|x-3|<\delta_2.\]
Pour que cela soit vrai, il faut que \(\delta\) soit plus petit que \(\delta_1\) et \(\delta_2\). Ce sera la valeur de \N(\Ndelta\N) dont tu auras besoin pour finir de prouver que
\N-[\N-Limites_{x\N-droite 3} f(x)=-4.\N]
Les étapes pour prouver que tu as trouvé la limite d'une fonction en utilisant la définition sont donc les suivantes,
Etape 1. Fais une proposition sur ce que tu penses que la limite devrait être, et appelle-la \(L\).
Étape 2. En utilisant la valeur de \(\epsilon\) qui t'est donnée, trouve l'étendue de la fonction \(f(x)\) entre les lignes \(y=L+\epsilon\) et \(y=L-\epsilon\).
Étape 3. Trouve les valeurs de \(\delta\), ou éventuellement deux valeurs différentes selon la fonction, qui garantissent que si tu te trouves dans ces valeurs de \(\delta\) de \(x=a\), alors les valeurs de la fonction se trouvent dans la fenêtre de \(\epsilon\) de \(L\). Pour ce faire, regarde \(|f(x)-L|\).
Étape 4. Prends la plus petite des deux valeurs de \(\delta\) que tu as trouvées, et écris la preuve d'une manière agréable.
Exemples de limite d'une fonction
Voyons quelques exemples d'application de la définition pour trouver la limite d'une fonction.
Prenons \(f(x)=k\) où \(a\) et \(k\) sont des nombres réels constants. Montrer que [\\Nlimite_{xrightarrow a} f(x)=k.\N].
Solution
On te donne le candidat à la limite dans cet exemple. Ensuite, en utilisant la définition, pour tout \(\epsilon>0\), on te donne,
\[|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon.\]
En fait, le choix de \(\delta\) n'a pas d'importance, alors prends \(\delta>0\) comme un nombre fixe. Alors
\N- [0<|x-a|<\Ndelta\N]
implique définitivement que
\[|f(x)-k|=|k-k|=0<\epsilon,\]
donc
\[\\N- Limites_{x\Nà a} f(x)=\N- Limites_{x\Nà a} k=k.\N]
En général, tu ne pourras pas prendre \(\delta\) pour ce que tu veux ! Cela dépend généralement de la fonction, de la valeur de \(a\), et de \(\epsilon\) en question.
Prends \N(f(x)=2x-3\), et laisse \N(a=7\). Montre que \[\Nlimite_{x\Nà 7}f(x)=11.\N].
Solution
Étape 1.
C'est déjà fait puisque tu as le candidat à la limite qui t'a été donné.
Étape 2.
On te donne un \(\epsilon>0\). Les deux lignes entre lesquelles tu veux que les valeurs de la fonction se situent sont les suivantes
\[y=L-\epsilon=11-\epsilon\quad \text{and}\quad y=11+\epsilon.\]
Étape 3.
Regarde \(|f(x)-L|\). Donc
\[|f(x)-L|=|2x-3-11|=|2x-14|\]
Tu veux trouver un \(\delta>0\) de sorte que si tu sais que
\[0<|x-7|<\delta, \quad \text{then} \quad |2x-14|<\epsilon.\]
Faisons un peu de factorisation,
\N-[|2x-14|=2|x-7|.\N]
Donc tu veux absolument \(2|x-7|<\epsilon\), ou si tu divises par 2, tu veux \(2|x-7|<\epsilon\).
\[|x-7|<\frac{\epsilon}{2}.\]
C'est vraiment pratique ! Cela signifie que si tu prends
\[\delta <\frac{\epsilon}{2},\]
alors tu sais que
\N- [0<|x-7|<\delta\N]
implique
\[|2x-14|=2|x-7|<2\delta<2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\]
Étape 4.
Il ne reste plus qu'à rédiger ta preuve d'une jolie manière. Elle ressemblera à quelque chose comme ceci,
Étant donné \N(\Nepsilon>0,\Nprendre \N[0<\Ndelta<\Nfrac{\Nepsilon}{2}.\N].
Alors \N(0<|x-7|<\Ndelta\N) implique
\[|2x-14|=2|x-7|<2\delta<2\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.\]
Par conséquent
[\N- Limite_{x\Nà 7} f(x)=11. \N- Limite_{x\Nà 7} f(x)=11. \N- Limite_{x\Nà 7}.
Ainsi, comme tu peux le voir, la valeur de \N(delta) dans l'exemple précédent dépend de \N(a=7, f(7)\N) et de \N(\Nepsilon.\N).
Limites d'une fonction - Principaux enseignements
- Soit \(f\) une fonction définie sur l'ensemble \(S\) sauf éventuellement le point \(a\) à l'intérieur de \(S\) . Nous disons que la limite de \(f(x)\Nfonction à mesure que \N(x) s'approche de \N(a) est égale au nombre \N(L\N) si pour tout \N(\epsilon>0\N), il existe un \N(\delta>0\N) tel que \N(0<|x-a|<\delta\N) implique \N(|f(x)-L|<\epsilon.\N-).
- La notation de la limite d'une fonction est généralement la suivante
\N-[\Nlimites_{x\Nà a} f(x)=L.\N]
Cela se lit comme suit : "la limite de la fonction lorsque \(x\N) se rapproche de \N (a\N) est égale à \N (L\N)".
La recherche d'un candidat pour la limite d'une fonction peut se faire à l'aide d'un graphique ou d'un tableau.
Les étapes pour prouver que tu as trouvé la limite d'une fonction en utilisant la définition sont les suivantes,
Étape 1. Fais une proposition sur ce que tu penses que la limite devrait être, et appelle-la \ (L\).
Étape 2. En utilisant la valeur de \ (\epsilon\) qui t'est donnée, trouve l'étendue de la fonction entre les lignes \(y=L+\epsilon\) et \ (y=L-\epsilon.\).
Étape 3. Trouve des valeurs de \ (\delta\), ou éventuellement deux valeurs différentes selon la fonction, qui garantissent que si tu te trouves dans ces valeurs de \ (\delta\) de \(x=a\), alors les valeurs de la fonction se trouvent dans la fenêtre de \ (\epsilon\) de \ (L\). Pour ce faire, regarde \N (|f(x)-L|.\N)
Étape 4 :Prends la plus petite des deux valeurs de \(\delta\) que tu as trouvées, et rédige la preuve d'une manière attrayante.
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