Limites à l'infini et signification des asymptotes
Qu'arrive-t-il aux différentes fonctions lorsqu'elles s'approchent de l'infini ? Eh bien, lorsqu'une fonction s'approche de l'infini, elle se rapproche de sa limite à l'infini.
Si une fonction \(y=f(x)\) est donnée, la limite de cette fonction à l'infini n'est pas simplement \(\infty\) elle-même. Le mot"limite" est crucial ici. Lorsque tu trouves la limite d'une fonction, tu ne calcules pas la valeur de la fonction à l'infini, ce qui est un non-sens mathématique, car l'infini n'est pas un nombre.
Il s'agit de savoir ce qui arrive à la fonction \(f(x)\) lorsque la valeur de \(x\) s'approche de l' infini. Il y a deux résultats possibles lorsque l'entrée d'une fonction s'approche de l'infini : soit la limite diverge vers l'infini, soit elle converge vers une certaine valeur.
Figure 1 - Limite d'une fonction approchant une certaine valeur à l'infini
D'après le diagramme ci-dessus, tu peux voir que lorsque \N(x \Nrightarrow \Ninfty\N), la fonction \N(f(x)\Natteint une constante, qui est délimitée par la ligne \N(y=l\N). Nous l'écrivons comme suit :
$$\lim_{x \à \infty} f(x)= l$$.
Par conséquent, la limite de la fonction est \N(l\N).
En d'autres termes, la fonction converge vers \N(l\N)mais ne l'atteint jamais ; elle s'en rapproche de plus en plus.
Les fonctions exponentielle et logarithmique en sont des exemples typiques. La ligne droite qui limite ces valeurs est appelée asymptote. Une asymptote est rigoureusement définie comme suit :
Une ligne qui s'approche constamment d'une courbe et la limite virtuellement, mais ne la rencontre jamais réellement, est connue sous le nom d'asymptote .
En termes plus simples, une asymptote est une ligne imaginaire qu'une courbe approche lorsque son entrée tend vers l'infini. Rappelle-toi que l'asymptote et la courbe ne se rencontrent jamais réellement, mais qu'à l'infini, elles sont infiniment proches.
Il existe trois types d'asymptotes :
Asymptotes horizontales
Asymptotes verticales
Asymptotes obliques.
Lien entre les limites à l'infini et les asymptotes horizontales
Comme leur nom l'indique, les asymptotes horizontales sont horizontales, c'est-à-dire parallèles à l'axe \(x\). La pente de toute ligne horizontale est \(0\). Reprenons l'exemple d'une fonction décroissante :
Figure 2 - L'asymptote horizontale d'une courbe définie par \N(y=f(x)\N)
Remarque que la limite de la fonction converge vers une valeur finie comme \(x \rightarrow \infty\), ce qui donne lieu à l'asymptote horizontale de la fonction.
On peut voir que l'asymptote (la ligne droite) ne croise jamais ni même ne rencontre la courbe elle-même. Il peut sembler qu'elles se rencontrent à un moment donné, mais elles se rapprochent de plus en plus.
Lorsque la valeur de \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction tend vers une certaine valeur. Lorsque la valeur de \(x\N) s'approche de \N(-\N), la valeur de la fonction commence à exploser, elle s'approche de \N(+\N).
Pour une courbe décrite par la fonction \N(y=f(x)\N), si la fonction converge vers une valeur constante, \N(b\N), alors l'équation de l'asymptote horizontale est donnée par \N(y=b\N). En d'autres termes, \N(y=f(x) \Nrightarrow b\N) comme \N(x \Nrightarrow +\Nfty\N).
Le symbole " \N-rightarrow\N " indique que l'on "s'approche" ; en tant que phrase, il peut être lu comme " \N- as \N(x\N) approaches \N(+\Ninfty\N) ".
La bonne façon de l'indiquer est d'utiliser la notation de la limite.
\[\lim_{x \à +\infty} f(x)=b \N]
Tout ce que cette équation signifie, c'est que la limite de la fonction \N(f(x)\N) lorsque \N(x)\N tend vers l'infini est \N(b\N).
D'après cet énoncé, \N(b\N) pourrait être une asymptote de \N(f(x)\N), mais ce n'est pas forcément le cas. Alors, comment trouver une asymptote horizontale ?
Comment trouver les asymptotes horizontales d'une fonction ?
Il n'existe pas d'algorithme ou de méthode universelle pour trouver les asymptotes horizontales, mais il y a quelques règles que tu peux utiliser pour identifier les asymptotes horizontales des fonctions rationnelles. Si une fonction rationnelle est constituée d'un polynôme au numérateur et au dénominateur, alors tu peux trouver les asymptotes en suivant les étapes suivantes :
Garde à l'esprit que le degré d'un polynôme est défini comme la puissance la plus élevée de la variable.
Si le degré du polynôme au numérateur est supérieur au degré du polynôme au dénominateur, alors il n'existe pas d'asymptote horizontale pour cette courbe.
Si le degré du polynôme du numérateur est inférieur au degré du polynôme du dénominateur, l'équation de l'horizontale est toujours \(y=0\).
Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, alors divise par le coefficient directeur (le nombre multiplié par la variable du degré le plus élevé) du numérateur par le coefficient directeur du dénominateur. Le quotient de ces coefficients directeurs est la valeur y de l'asymptote horizontale.
Rappelle qu'une fonction rationnelle est définie comme une fonction qui peut être exprimée comme un rapport de deux fonctions constitutives, c'est-à-dire \(R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\).
Trouve l'asymptote horizontale de la fonction \( \displaystyle y=\frac{3x-2}{4x}\).
Solution :
On peut observer que le degré du polynôme au numérateur et au dénominateur est le même.
Par conséquent, pour trouver l'asymptote horizontale, il suffit de diviser le coefficient directeur du numérateur par le coefficient directeur du dénominateur.
\[y = \frac{3}{4}\]
Asymptotes verticales et calcul de la limite à l'infini
Lesasymptotesverticales sont des asymptotes qui sont parallèles à l'axe des y. Dans ce cas, pour une valeur finie de \(x\), la fonction est indéfinie. Examinons un autre exemple dans la fonction ci-dessous. Au lieu de la variable indépendante, la variable dépendante atteint la valeur de \(+\infty\). Elle peut également tendre vers \(-\infty\) pour une valeur finie de \(x\).
Figure 3 - Asymptote verticale d'une courbe définie par \N(y=f(x)\N)
Ici, la courbe s'approche de \(x=a\), mais ne la touche jamais. Par conséquent, la ligne verticale \(x=a\) est une asymptote verticale. Encore une fois, si la valeur tend vers quelque chose sans jamais l'atteindre, elle peut être exprimée mathématiquement comme une limite qui diverge :
$$ \lim_{x \à a} f(x)= +\infty \ \ \text{or} \ \ \lim_{x \to a} f(x)=-\infty$$
où l'asymptote verticale est donnée par \(x=a\).
Comment trouver les asymptotes verticales d'une fonction ?
Tu as vu comment une asymptote verticale est définie mathématiquement, la fonction doit s'approcher d'une certaine valeur \(x=a\) pour que \(y\) s'approche de \(+\infty\) ou de \(-\infty\). Tu dois avoir une valeur de \(a\) telle que les limites deviennent indéfinies \((+\infty \ \text{or} \N -\infty)\N).
As-tu vu des exemples de ce genre pendant tes études de mathématiques ? Oui, tu en as vu ! Diviser par zéro est un grand pas en avant en maths !
Ainsi, pour chaque fonction rationnelle , tu dois trouver une valeur de \(x\N) telle que le dénominateur devienne \N(0\N). Par exemple,
\[y = \frac{5x}{x-3}.\]
est indéfini lorsque \(x=3\).
Certaines fonctions ne sont jamais égales à \N(0\N) pour toute valeur réelle de \N(x\N), par exemple, une classe de fonctions exponentielles n'atteint jamais la valeur \N(0\N). Cela implique que ces fonctions n'ont pas d'asymptotes verticales. Prenons un exemple pour voir à quoi ressemble le processus ci-dessus dans la pratique :
Trouve les asymptotes verticales de la fonction \(y= \displaystyle \frac{x+6}{2x+4}\).
Solution :
Comme nous l'avons vu précédemment, mets le dénominateur en équation avec \(0\) et résous \(x\) :
$$ \N- 2x+4 &=0 \N- x &=-2 \N- end{aligned} $$
Ainsi, comme \(x \rightarrow -2\) le dénominateur tend également vers \(0\). Comme la fonction est définie sur tous les nombres réels, il n'est pas nécessaire de calculer séparément la limite de gauche et la limite de droite. En calculant la limite sous la forme de \(x \rencontre -2\), nous obtenons :
$$ \lim_{x \à -2} \frac{x+6}{2x+4}=\frac{-2+6}{0}=+\infty$$$.
Par conséquent, l'asymptote verticale de la fonction \(y=\frac{x+6}{2x4}\) est \(x=-2\).
Relation entre les limites à l'infini et les asymptotes obliques
Les asymptotes ne doivent pas toujours être exactement horizontales ou verticales, elles peuvent avoir n'importe quelle orientation. Les asymptotes qui forment un angle aigu avec l'axe des x sont appeléesasymptotes obliques.
Figure 4 - Asymptote oblique d'une courbe définie par \(y=f(x)\)
La notion est très similaire à celle des asymptotes horizontales, puisqu'il faut considérer la limite de la fonction à l'infini.
Si tu considères la limite de la fonction comme \(x \rightarrow \infty\), la courbe converge vers une certaine valeur qui peut être décrite par une droite, qui est l'asymptote oblique de la courbe.
Si une fonction définit une courbe par \N(y=f(x)\N), alors l'asymptote glissante de la courbe est donnée par \N(y=mx+b\N), si et seulement si les limites ci-dessous sont satisfaites :
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=m \N-text{et} \ \lim_{x \to +\infty}|f(x)-mx|=b$$
Si les limites ci-dessus ne sont pas finies, alors il n'y a pas d'asymptotes obliques à la courbe.
Si l'on compare les trois types d'asymptotes ci-dessus, on peut observer que les asymptotes verticales et horizontales ne sont que des cas particuliers d'asymptotes obliques.
Prouve que la courbe définie par la fonction \(f(x)= \displaystyle \frac{x-2}{2x+1}\) n'a pas d'asymptotes obliques.
Solution :
En calculant la limite comme \(x \rightarrow +\infty\), nous obtenons la limite suivante,
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=0$$
Cela donne \(m=0\) et donc l'asymptote prend la forme \(y=b\), qui est une asymptote horizontale et non une asymptote oblique.
Limites à l'infini et asymptotes Exemples
(1)
Trouve les asymptotes horizontales de la courbe définie par la fonction \[y=\displaystyle \frac{2x}{-x^2+x+3}.\N].
Solution :
Pour le numérateur, observe que la puissance la plus élevée de \(x\N) est \N(1\N) et donc le degré du numérateur est \N(1\N).
Maintenant, pour le dénominateur, on peut observer que la puissance la plus élevée de \(x\) est \(2\), donc le degré est \(2\).
Puisque le degré du numérateur est plus petit que le degré du dénominateur, l'asymptote horizontale de cette courbe est :
$$y=0$$
(2)
Trouve l'asymptote horizontale de la courbe définie par la fonction \[y= \displaystyle \frac{7x^2-23}{3x+5}.\N].
Solution :
Observe que la puissance la plus élevée de \(x\) au numérateur est \(2\) et donc le degré est \(2\).
Pour le dénominateur, la puissance la plus élevée de \(x\N) est \N(1\N) et le degré est donc \N(1\N).
Et comme \(2>1\), le degré du numérateur est plus grand que celui du dénominateur.
Par conséquent, il n'existe pas d'asymptotes horizontales pour cette courbe.
(3)
Trouve la ou les asymptotes verticales de la courbe définie par la fonction
\[f(x) = \frac{5x}{x^2-5x+6}.\]
Solution :
Pour trouver l'asymptote verticale, il suffit d'égaliser le dénominateur de la fonction à \(0\) et de résoudre \(x\).
\[\begin{align} 0 &= x^2 - 5x + 6 \\ 0&= (x-2)(x-3) \\ 0&=x-2 \\ x&= 2 \\ 0&= x-3 \\ x&=3 \end{align}\]
Les asymptotes verticales sont donc
\N-[x=2 \N-texte{ et } x=3.\N]
Limites à l'infini et asymptotes - Principaux enseignements
Si la limite d'une fonction atteint une valeur finie comme \(x \rightarrow \infty\), alors la limite de la fonction converge.
Les asymptotes sont des lignes sur un graphique dont la courbe se rapproche vraiment, qui délimitent une courbe de telle sorte qu'elle s'étire jusqu'à l'infini, mais ne l'atteint jamais vraiment.
Il existe trois types d'asymptotes : Les asymptotes horizontales , les asymptotes verticales et les asymptotes obliques.
Lesasymptotes horizontales sont parallèles à l'axe des x et leur pente est \(0\N), et comme \N(x \Nrightarrow \Ninfty \N) ou \N(x \Nrightarrow -\Ninfty\N), la valeur \N(y\N) que atteint est l'équation de l'asymptote horizontale.
Lesasymptotes verticales sont parallèles à l'axe des y et leur pente est indéfinie. Si la limite suivante est satisfaite, alors \(x=a\) est une asymptote verticale de la courbe : \( \lim_{x \à a} f(x) = \infty \ \text{or}) \ -\infty\) .
Lesasymptotes obliques sont des asymptotes qui forment un angle aigu avec l'axe des x. Une courbe a une asymptote oblique de la forme \(y=mx+b\). Elles apparaissent lorsque le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, si et seulement si les limites suivantes sont finies : \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}) \frac{f(x)}{x}=m\) et \( \displaystyle \lim_{x \à \infty}) |f(x)-mx|=b\).
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