Le concept de base d'une limite en mathématiques
Le concept de base d'une limite en mathématiques est essentiel à ta compréhension du calcul.
Les limites consistent à déterminer comment une fonction se comporte lorsqu'elle s'approche d'un point ou d'une valeur spécifique.
Ce concept existe depuis des milliers d'années ; les premiers mathématiciens l'ont utilisé pour trouver des approximations de plus en plus précises de l'aire d'un cercle, par exemple.
La définition formelle d'une limite, cependant, n'existe que depuis le19e siècle. Ainsi, pour commencer à comprendre les limites, tu devrais commencer par une définition intuitive.
Définition intuitive d'une limite
Pour trouver une définition intuitive d'une limite, tu dois d'abord avoir une fonction (ou plusieurs fonctions) sur laquelle tu souhaites avoir plus de détails.
Jette un coup d'œil aux graphiques des fonctions suivantes :
\[ f(x) = \frac{x^{2}-4}{x-2}, \r ; g(x) = \frac{|x-2|}{x-2}, \r ; \rmbox{ et } \N- h(x) = \Nfrac{1}{(x-2)^{2}}, \N- h(x) = \Nfrac{1}{(x-2)^{2}} \]
Tu veux faire attention au comportement de ces graphiques à la valeur de \( x=2 \N) et à l'approche de cette valeur.
Fais attention au graphique où \( x = 2 \N).
Fais attention au graphique où \( x = 2 \N).
Prête attention au graphique où \( x = 2 \N).
Les graphiques de ces fonctions montrent leur comportement à et autour de \N( x = 2 \N). Après les avoir observés, peux-tu voir ce qu'ils ont en commun ?
Elles sont toutes indéfinies lorsque \( x=2 \) !
- Mais si c'est tout ce que tu dis à leur sujet, tu n'obtiens pas beaucoup d'informations, n'est-ce pas ? Si tu ne reçois que cette information, alors, pour ce que tu en sais, ces trois fonctions pourraient être identiques. Cependant, d'après leurs graphiques, tu sais que ce n'est pas le cas.
Alors, comment peux-tu exprimer le comportement de ces graphiques de façon plus complète ?
- En utilisant des limites, bien sûr !
Maintenant, regardons de plus près comment \( f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} \) se comporte près de \( x = 2 \N). Tu remarqueras qu'au fur et à mesure que les valeurs de \N- x s'approchent de \N- 2 d'un côté ou de l'autre de \N- 2, les valeurs de \N- f(x) s'approchent de \N- 4.
Pour énoncer ce fait en termes mathématiques, tu dirais : "la limite de \Nf(x) \Nà mesure que \Nf(x) \Napproche de \Nf(2) est \Nf(4)".
Cette affirmation est représentée en notation mathématique par :
\[ \Nlim_{x \Nà 2} f(x) = 4. \N]
À partir de là, tu peux commencer à développer ta définition intuitive d'une limite - en pensant que la limite d'une fonction à un nombre \N( a \N) est le nombre réel \N( L \N) dont les valeurs fonctionnelles s'approchent au fur et à mesure que ses valeurs \N( x \N) s'approchent de \N( a \N), à condition que le nombre \N( L \N) existe. Plus formellement, cela peut s'écrire comme suit :
Soit \Nf(x) \Nune fonction qui est définie à toutes les valeurs dans un intervalle ouvert contenant \Na \N(éventuellement excepté \Na \N), et que \NL \Nsoit un nombre réel. Si toutes les valeurs de \Nf(x) s'approchent du nombre réel \NL au fur et à mesure que les valeurs de \Nf(x) - à l'exception de \Nf(x = a) - s'approchent du nombre \Na), alors on peut dire que la limite de \Nf(x) au fur et à mesure que \Nf(x) s'approche de \Na) est \Nl (L).
Ou, plus simplement :
Au fur et à mesure que \N( x \N) se rapproche de \N( a \N), \N( f(x) \N) se rapproche de plus en plus et reste proche de \N( L \N).
L'idée de la limite est représentée à l'aide d'une notation mathématique comme suit :
\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = L \N].
Comme tu peux le voir, le simple fait de s'approcher d'un point - ou de s'en approcher - est la façon dont les limites fonctionnent ! Pour développer et comprendre les aspects clés du calcul, tu dois d'abord être à l'aise avec les limites et le fait que les approximations - ou le fait de s'approcher de la valeur souhaitée - sont la base du calcul. Ainsi, tu peux maintenant changer le dicton de :
- "laproximité ne compte que pour les fers à cheval et les grenades à main" à .
- "la proximiténe compte que pour les fers à cheval, les grenades à main et le calcul" !
Résoudre les limites
Avant de plonger dans les méthodes algébriques, la prochaine étape à franchir intuitivement est de développer un moyen de résoudre les limites en les estimant. Tu peux le faire de deux façons :
Résoudre une limite à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles.
Résoudre une limite à l'aide d'un graphique
Résoudre une limite à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles
Pour résoudre une limite à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles, tu peux utiliser cette stratégie de résolution de problèmes.
Stratégie - Résoudre une limite à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles
- Si tu veux résoudre la limite : \N( \Nlim_{x \Nà a} f(x) \N), tu commences par faire un tableau de valeurs fonctionnelles.
- Tu dois choisir 2 ensembles de valeurs de f(x) - un ensemble de valeurs qui s'approchent de f(a) mais qui sont inférieures à f(a), et un ensemble de valeurs qui s'approchent de f(a) mais qui sont supérieures à f(a). Le tableau ci-dessous donne un exemple de ce à quoi ton tableau pourrait ressembler.
Valeurs qui s'approchent de \N( a \N) et qui sont \N( < a \N) Valeurs qui s'approchent de \N-( a \N) qui sont \N-( > a \N) \( \bf{ x } \) \( \bf{ f(x) } \) \( \bf{ x } \) \( \bf{ f(x) } \) \( a - 0.1 \) \N- f(a - 0.1) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a + 0.1 \) \N - f(a + 0.1) \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N \( a - 0.01 \) \N- f(a - 0.01) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a + 0.01 \) \N- f(a + 0.01) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a - 0.001 \) \N- f(a - 0.001) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a + 0.001 \) \N- f(a + 0.001) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a - 0.0001 \) \N- f(a - 0.0001) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N \( a + 0.0001 \) \N- f(a + 0.0001) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N Ajoute d'autres valeurs si nécessaire. Ajoute d'autres valeurs si nécessaire.
- Tu dois choisir 2 ensembles de valeurs de f(x) - un ensemble de valeurs qui s'approchent de f(a) mais qui sont inférieures à f(a), et un ensemble de valeurs qui s'approchent de f(a) mais qui sont supérieures à f(a). Le tableau ci-dessous donne un exemple de ce à quoi ton tableau pourrait ressembler.
- Ensuite, regarde les valeurs dans chacune des colonnes intitulées \( f(x) \).
- Détermine si les valeurs se rapprochent d'une valeur unique à mesure que tu descends dans chaque colonne.
- Si les deux colonnes s'approchent d'une valeur commune, alors tu peux dire que\[ \lim_{x \Nà a} f(x) = L. \N].
Résoudre une limite à l'aide d'un graphique
Tu peux étendre la stratégie de résolution de problèmes ci-dessus pour résoudre une limite à l'aide d'un graphique.
Stratégie - Résoudre une limite à l'aide d'un graphique
- Après avoir suivi la stratégie ci-dessus, tu peux confirmer ton résultat en traçant le graphique de la fonction.
- À l'aide d'une calculatrice graphique (ou d'un autre logiciel), trace le graphique de la fonction en question.
- Assure-toi que les valeurs fonctionnelles de \( f(x) \N) pour les valeurs de \( x \N) près de \N( a \N) sont dans la fenêtre du graphique.
- Déplace-toi le long du graphique de la fonction et vérifie les valeurs de \Ny au fur et à mesure que les valeurs correspondantes de \Nx s'approchent de \Na.
- Si les valeurs de y se rapprochent de L lorsque les valeurs de x se rapprochent de a dans les deux directions, alors[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = L. \N].
Pour plus de détails et d'exemples, reporte-toi aux articles sur la recherche de limites et la recherche de limites à l'aide d'un graphique ou d'un tableau.
Types de limites
Bien que les deux techniques ci-dessus soient intuitives, elles sont inefficaces et reposent sur trop de suppositions pour que le travail soit fait. Mais comment peux-tu dépasser ces méthodes ?
Eh bien, tu devras apprendre des méthodes pour résoudre, ou évaluer, des limites qui sont de nature plus algébrique.
Et comment faire ? Tout d'abord, tu dois connaître deux limites spéciales ; elles constituent la base des méthodes algébriques de résolution des limites.
Ah, mais qu'est-ce que ces deux limites ont de particulier ? Ces deux limites sont également appelées limites de base, car elles constituent la base des lois sur les limites. Lorsque tu regardes les graphiques ci-dessous, que remarques-tu ?
Quel que soit l'endroit de la droite \N( y = x) où se trouve le point \N( (a, a)), la limite lorsque \N(x) s'approche de \N(a) est toujours \N(a).
En te basant sur ces graphiques, tu peux écrire, de façon algébrique, quelles sont les limites de ces fonctions. Les interprétations algébriques de ces fonctions sont résumées dans le théorème ci-dessous.
Théorème : Limites de base
Soit \N-( a \N) un nombre réel. Soit \N( c \N) une constante. Alors :
\[ \N- \N- \N- \N- \N{align}1. \N- & \Nlim_{x \Nà a} x = a \N2. \N ; & \Nlim_{x \Nà a} c = c\Nend{align} \]
Tu peux observer ce qui suit à propos de ces deux limites :
- Remarque qu'au fur et à mesure que \( x \N) s'approche de \( a \N), \N f(x) \N s'approche aussi de \N.
C'est parce que \Nf(x) = x \N.
Par conséquent, \N( \lim_{x \Nà a} x = a \N)
- Considère le tableau :
Valeurs qui s'approchent de \( a \N) et qui sont \( < a \N) Valeurs qui s'approchent de \N-( a \N) qui sont \N-( > a \N) \( \bf{ x } \) \( \bf{ f(x) = c } \) \( \bf{ x } \) \( \bf{ f(x) = c } \) \( a - 0.1 \) \( c \) \( a + 0.1 \) \( c \) \( a - 0.01 \) \( c \) \( a + 0.01 \) \( c \) \( a - 0.001 \) \( c \) \( a + 0.001 \) \( c \) \( a - 0.0001 \) \( c \) \( a + 0.0001 \) \( c \) - Remarquons que pour toutes les valeurs de \N- x \N - qu'elles s'approchent ou non de \N- a \N - les valeurs de \N- f(x) \N restent constantes à \N- c \N.
- Par conséquent, \N( \lim_{x \Nà a} c = c \N)
Règles de limites
En se basant sur ces deux premières règles de base, les règles de limite (également appelées lois de limite) sont énumérées ci-dessous.
Théorème : Lois des limites
Soit \N( f(x) \N) et \N( g(x) \N) définis pour tout \N( x \Nneq a \N) sur un intervalle ouvert contenant \N( a \N). Supposons que \N( L \N) et \N( M \N) sont des nombres réels, tels que :
\[ \lim_{x \Nà a} f(x) = L \N]
et\[ \lim_{x \Nà a} g(x) = M \N].
Soit \N( c \N) une constante. Alors les choses suivantes sont vraies :
Loi de la somme des limites:
\[ \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = L + M \].
Loi de différence pour les limites:
\[ \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = L - M \]
Loi multiple constante pour les limites:
\[ \lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = cL \]
Loi du produit pour les limites:
\[ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = L \cdot M \]
Loi du quotient pour les limites:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} = \frac{L}{M} \mbox{ où } M \neq 0\]
Loi de puissance pour les limites:
\[ \lim_{x \to a} (f(x))^{n} = \left( \lim_{x \to a} f(x) \right)^{n} = L^{n} \mbox{ pour tout entier positif } n \N]
Loi racine pour les limites:
\[ \lim_{x \Nà a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \Nà a} f(x)} = \sqrt[n]{L} \mbox{ pour tous } L \mbox{ si } n \mbox{ est impair, et pour } L \geq 0 \mbox{ si } n \mbox{ est pair} \]
N'oublie pas qu'il existe d'autres lois limites - le théorème de compression et le théorème des valeurs intermédiaires. Tu peux te référer à ces articles pour plus d'informations.
L'existence d'une limite - Quand une limite n'existe-t-elle pas ?
Lorsque tu travailleras sur l'exemple suivant, n'oublie pas que pour qu'il y ait une limite, les valeurs fonctionnelles doivent s'approcher d'une seule valeur de nombre réel ; sinon, la limite n'existe pas.
Évaluation d'une limite qui n'existe pas (DNE) En raison des oscillations
Essaie d'évaluer
\[ \lim_{x \Nà 0} sin \Ngauche( \frac{1}{x} \Ndroite) \N]
à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles.
Solution:
- Crée un tableau de valeurs.
\N(\Nbf{x}\N) \(\bf{sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(\bf{x}\) \(\bf{sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) \(-0.1\) \(0.54402\) \(0.1\) \(-0.54402\) \(-0.01\) \(0.50636\) \(0.01\) \(-0.50636\) \(-0.001\) \(-0.82688\) \(0.001\) \(0.82688\) \(-0.0001\) \(0.30561\) \(0.0001\) \(-0.30561\) \(-0.00001\) \(-0.03575\) \(0.00001\) \(0.03575\) \(-0.000001\) \(0.34999\) \(0.000001\) \(-0.34999\) - Examine attentivement le tableau. Que remarques-tu ?
- Les valeurs de \( y \) ne s'approchent d'aucune valeur. Il semble donc que cette limite n'existe pas. Mais avant d'en arriver à cette conclusion, tu devrais adopter une approche systématique.
- Considère les valeurs suivantes de la fonction \NX qui s'approchent de \N0 :\N[ \Nfrac{2}{\pi}, \Nfrac{2}{\pi}, \Nfrac{2}{3\pi}, \Nfrac{2}{5\pi}, \Nfrac{2}{7\pi}, \Nfrac{2}{9\pi}, \Nfrac{2}{11\pi}, \Ncdots \N]
- Leurs valeurs correspondantes sont :\N[ 1, -1, 1, -1, 1, -1, \Ncdots \N].
- Les valeurs de \( y \) ne s'approchent d'aucune valeur. Il semble donc que cette limite n'existe pas. Mais avant d'en arriver à cette conclusion, tu devrais adopter une approche systématique.
- D'après ces résultats, on peut conclure que la limite n'existe pas. La façon mathématique d'écrire cela est la suivante :\[ \lim_{x \à 0} sin \left( \frac{1}{x} \right) \, DNE \]Où DNE signifie Does Not Exist (n'existe pas).
- Bien sûr, il est toujours bon de représenter graphiquement la fonction pour confirmer ton résultat. Le graphique de \Nf(x) = sin \Nà gauche( \Nfrac{1}{x} \Nà droite) \Nmontre que la fonction oscille de plus en plus sauvagement entre \N -1 \Net \N1 \Nà mesure que \Nx \Nse rapproche de \N0 \N.
La limite: \( \lim_{x \to 0} sin \left( \frac{1}{x} \right) \) does not exist because the function oscillates wildly as \( x \) approaches the limit of \( 0 \).
Limites unilatérales
Il arrive que le fait de dire que la limite d'une fonction n'existe pas en un point ne fournisse pas suffisamment d'informations sur ce point. Pour t'en convaincre, jette à nouveau un coup d'œil à la deuxième fonction du début de cet article.
\[ g(x) = \frac{|x-2|}{x-2} \]
Lorsque tu choisis des valeurs de \( x \N) qui sont de plus en plus proches de \( 2 \N), \( g(x) \N) ne s'approche pas d'une seule valeur, mais plutôt de deux valeurs. Par conséquent, la limite n'existe pas, c'est-à-dire ,
\N- [\Nlim_{x \Nà 0} g(x) \N, DNE. \N]
Bien que cette affirmation soit vraie, ne dirais-tu pas qu'elle ne donne pas une image complète du comportement de \( g(x) \N) à \( x = 2 \N) ?
Avec les limites unilatérales, tu peux fournir une description plus précise du comportement de cette fonction à \( x = 2 \).
Pour toutes les valeurs de \N- x \Nà gauche de \N- 2 \N - ou du côté négatif de \N- 2 \N - \N- g(x) = -1 \N.
Donc, tu dis que lorsque \NX s'approche de \N 2 à partir de la gauche, \Ng(x) s'approche de \N1. Ceci est représenté à l'aide de la notation mathématique comme suit :
\N[ \Nlim_{x \Nà 2^{-}} g(x) = -1 \N].
Pour toutes les valeurs de \N( x \N) à droite de \N( 2 \N) - ou le côté positif de \N( 2 \N) - \N( g(x) = 1 \N).
Donc, tu dis que lorsque \NX s'approche de \N 2 à partir de la droite, \Ng(x) s'approche de \N 1. Ceci est représenté à l'aide de la notation mathématique comme suit :
\N[ \Nlim_{x \Nà 2^{+}} g(x) = 1 \N].
Limites infinies
En revisitant la troisième fonction du début de cet article, tu verras qu'il est nécessaire de décrire le comportement des fonctions qui n'ont pas de limites finies.
\[ h(x) = \frac{1}{(x-2)^{2}} \]
Sur le graphique de cette fonction, tu peux voir qu'au fur et à mesure que les valeurs de \( x \N) s'approchent de \( 2 \N), les valeurs de \( h(x) \N) ne s'approchent pas d'une valeur, mais deviennent de plus en plus grandes, jusqu'à devenir infinies. Ce phénomène est représenté par la notation mathématique suivante :\N[ \lim_{x \Nà 2^{+}} h(x) = +\infty \N].
Il est important de comprendre que lorsque tu dis qu'une limite est infinie, cela ne signifie pas que la limite existe. C'est simplement une façon plus descriptive de dire que la limite n'existe pas. \( \pm \infty \) n'est pas un nombre réel, donc toute limite infinie n'est pas une limite qui existe.
En général, les limites à l'infini sont définies comme suit :
Trois types de limites infinies
- Limite infinie à partir de la gauche: Soit \( f(x) \) une fonction définie à toutes les valeurs dans un intervalle ouvert \( (b, a) \).
- Si les valeurs de \Nf(x) augmentent sans limite à mesure que les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x < a)), approchent le nombre \Nf(a)), alors la limite de \Nf(x) approchant \Nf(a)) à partir de la gauche est l'infini positif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a^{-}} f(x) = +\Ninfty. \N]
- Si les valeurs de \Nf(x) diminuent sans limite lorsque les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x < a)), approchent le nombre \Nf(a), alors la limite lorsque \Nf(x) s'approche de \Nf(a) à partir de la gauche est l'infini négatif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a^{-}} f(x) = -\Ninfty. \N]
- Limite infinie à partir de la droite: Soit \( f(x) \) une fonction définie à toutes les valeurs dans un intervalle ouvert \( (a, c) \).
- Si les valeurs de \Nf(x) augmentent sans limite à mesure que les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x > a)), s'approchent du nombre \Nf(a), alors la limite lorsque \Nf(x) s'approche de \Nf(a) à partir de la droite est l'infini positif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a^{+}} f(x) = +\Ninfty. \N]
- Si les valeurs de \Nf(x) diminuent sans limite lorsque les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x > a)), s'approchent du nombre \Nf(a), alors la limite lorsque \Nf(x) s'approche de \Nf(a) à partir de la droite est l'infini négatif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a^{+}} f(x) = -\Ninfty. \N]
- Limite infinie bilatérale: Soit \N( f(x) \N) défini pour tout \N( x \Nneq a \N) dans un intervalle ouvert contenant \N( a \N).
- Si les valeurs de \Nf(x) augmentent sans limite lorsque les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x) s'approche du nombre \Nf(a)), alors la limite lorsque \Nf(x) s'approche de \Nf(a)) est l'infini positif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = +\Ninfty. \N]
- Si les valeurs de \Nf(x) diminuent sans limite lorsque les valeurs de \Nf(x) (où \Nf(x) s'approche du nombre \Nf(a)), alors la limite lorsque \Nf(x) s'approche de \Nf(a)) est l'infini négatif. Cela s'écrit comme suit :\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = -\Ninfty. \N]
Limites Exemples
Utilise les lois des limites pour résoudre :
\[ \lim_{x \Nà -3} (4x+2) \N]
Solution:
Pour résoudre cette limite, applique les lois des limites une à la fois. N'oublie pas qu'à chaque étape, tu dois vérifier que la limite existe avant d'appliquer la loi. La nouvelle limite doit exister pour que la loi soit appliquée.
- Applique la loi de la somme.\[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = \lim_{x \to -3} 4x + \lim_{x \to -3} 2 \]
- Applique la loi du multiple constant.\[ \N- \N{x \N- -3} (4x+2) = 4 \cdot \N-{x \N- -3} x + \N-{x \N- -3} 2 \N]
- Applique la limite de base.\[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = 4 \cdot (-3) + 2\]
- Simplifie.\[ \lim_{x \to -3} (4x+2) = -10\]
Limites - Principaux enseignements
- Les limites consistent à déterminer comment une fonction se comporte lorsqu'elle s'approche d'un point ou d'une valeur spécifique.
- La notation mathématique d'une limite est :\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]
- Intuitivement, les limites peuvent être évaluées à l'aide d'un tableau de valeurs fonctionnelles ou du graphique de la fonction.
- Il existe plusieurs lois sur les limites qui facilitent grandement l'évaluation des limites :
- Deux limites importantes\N[ \N- \N- \N{align}1. \N- & \Nlim_{x \Nà a} x = a \N2. \N ; & \Nlim_{x \Nà a} c = c\Nend{align} \]
- Sum law for limits:\[ \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = L + M \]
- Loi de différence pour les limites :\[ \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) = L - M \]
- Loi multiple constante pour les limites :\[ \lim_{x \to a} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x) = cL \]
- Loi du produit pour les limites :\[ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) = L \cdot M \]
- Loi du quotient pour les limites :\N-[ \Nlim_{x \Nà a} \Nfrac{f(x)}{g(x)} = \Nfrac{\Nlim_{x \Nà a} f(x)}{\Nlim_{x \Nà a} g(x)} = \Nfrac{L}{M} \mbox{ où } M \neq 0\]
- Loi de puissance pour les limites :\[ \N-{lim_{x \Nà a} (f(x))^{n} = \Nà gauche( \N-{x \Nà a} f(x) \Nà droite)^{n} = L^{n} \mbox{ pour tout entier positif } n \N]
- Loi racine pour les limites :\[ \lim_{x \à a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \à a} f(x)} = \sqrt[n]{L} \mbox{ pour tous } L \mbox{ si } n \mbox{ est impair, et pour } L \geq 0 \mbox{ si } n \mbox{ est pair} \]
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