Définition de la limite d'une fonction à valeur vectorielle
La limite d'une fonction à valeur vectorielle peut être définie de façon très similaire à la limite d'une fonction scalaire.
Soit \N(I\N) un intervalle ouvert avec un point \N(c\Ndans I\N) et une fonction vectorielle \N(\Nvec{r}(t)\Nqui est définie en tout point de \N(I\N) sauf éventuellement \N(c.\N) La limite de \N(\Nvec{r}(t)\Nà mesure que \N(t\N) s'approche de \N(c\Ndans I\N-) est un vecteur
\[ \\N- Limites_{t \N-rightarrow c} \N-vec{r}(t) = \N-vec{L} \N]
such that for any \( \epsilon > 0, \) there exists a \( \delta > 0 \) such that for any \( t \neq c, \) if \( | t - c | < \delta ,\) then \( \| \vec{r}(t) - \vec{L} \| < \epsilon. \)
Il est important de noter que dans cette équation \(| t - c\N) sera la valeur absolue standard d'un nombre réel, tandis que \N(\| \c{r}(t) - \c{L} \|\) sera le module d'un vecteur. Ceci est très similaire à la définition d'une limite pour une fonction 1D, la différence essentielle étant que pour une fonction 1D \(f(x),\N) \( \|vec{r}(t) - \vec{L}\|) sera remplacé par la valeur absolue \( | f(x) - L|. \)
Dans ce graphique, si \N(t) est compris entre \N(c - \Ndelta\N) et \N(c + \Ndelta,\N) la ligne \N(\Nvec{r}(t)\Nest toujours à \N(\Nepsilon\N) des unités de \N(c.\N).
Dans le diagramme ci-dessus, tu peux voir que chaque fois que \N(t) est compris entre \N(c - \Ndelta\N) et \N(c + \Ndelta,\N), \N(\Nvec{r}(t)\Nest à l'intérieur du cercle de rayon \N(\Nepsilon\N) du point où \N(t=c.\N) Si cela est vrai pour chaque \N(\Nepsilon\N) possible que tu pourrais choisir, alors la limite doit exister.
Trouver la limite d'une fonction vectorielle
Trouver une limite en utilisant uniquement sa définition peut être très fastidieux, c'est pourquoi le théorème suivant simplifie grandement les choses.
Étant donné une fonction vectorielle \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \),
\\N-[\Nlimites_{t \N-{rightarrow c} \Nvec{r}(t) \N]]
existe si et seulement si
\[\limites_{t \rrowrow c} f(t) \text{ et } \\Nlimites_{t \Nrightarrow c} g(t) \N]
existent. Si
\[ \lim\Nlimites_{t \Nrightarrow c} \vec{r}(t) \N]
existe, alors
\[ \limites_{t \N-rightarrow c} \vec{r}(t) = \limites_{t \N-rightarrow c} f(t) \N-vec{i} + \lim\limits_{t \rightarrow c} g(t) \vec{j}. \]
Ceci est vrai pour tout vecteur de dimension finie.
A partir de là, trouver la limite d'une fonction vectorielle à \N(n\N)dimensions devient simplement trouver la limite de \N(n\N)fonctions à valeurs réelles. Pour savoir comment trouver la limite d'une fonction à valeur réelle, voir Limites. Cette règle a un sens visuel lorsqu'elle est écrite sous forme de composant comme ci-dessus, car elle ressemble à la règle standard de la somme des limites. Examinons un exemple de recherche de la limite d'une fonction à valeur vectorielle de cette façon.
Déduis si la fonction vectorielle suivante a une limite lorsque \N(t \N) va à \N(0,\N) et si oui, la valeur de cette limite.
\N[ \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrix} t^2 + 4t + 3 \N e^t \Nfin{bmatrix} \N]
Solution
Commençons par trouver la limite de la première fonction, \(f(t) = t^2 + 4t + 3. \) La limite d'un polynôme existe toujours, cette limite doit donc exister. La limite de cette fonction, lorsque \N(t) passe à \N(0), sera \N(f(t) = 3.\N).
La deuxième fonction, \N(g(t) = e^t,\N) est une fonction dont tu as peut-être déjà vu la limite. La limite de cette fonction lorsque \(t) passe à \(0) est \(1).
Puisque les deux limites existent, la limite de la fonction à valeur vectorielle doit également exister, et elle est la suivante
\N-[ \N-{limites_{t \N-{rightarrow 0} \N-{vec{r}(t) = \Nbut{bmatrix} 0 \\N1 \Nfin{bmatrix}. \]
Règles des limites des fonctions à valeurs vectorielles
Tout comme il existe des règles pour les limites des fonctions à valeurs réelles, il existe également des règles pour faciliter la recherche des limites des fonctions à valeurs vectorielles. Pour tout scalaire \(a\) et toute fonction vectorielle \(\vec{r}_1(t), \vec{r}_2(t)\) définis sur un intervalle ouvert \(I\) qui contient le point \(c,\), les règles suivantes s'appliquent :
Règle de la somme : \[ \limites_{t \rrowrow c} (\vec{r}_1(t) + \vec{r}_2(t)) = \lim\limites_{t \rrow c} \vec{r}_1(t) + \lim\limites_{t \rrow c} \vec{r}_2(t). \]
Règle du multiple scalaire : \[ \limites_{t \rrowrow c} (a \vec{r}_1(t)) = a \lim\limites_{t \rrow c} (\vec{r}_1(t)). \]
Limite du produit de points : \[ \limites_{t \rrowrow c} (\vec{r}_1(t) \cdot \vec{r}_2(t)) = (\limites_{t \rrow c} \vec{r}_1(t)) \cdot ( \lim\limits_{t \rightarrow c} \vec{r}_2(t) ). \]
Limite du produit scalaire : \[ \limites_{t \rrowrow c} (\vec{r}_1(t) \times \vec{r}_2(t)) = (\limites_{t \rrow c} \vec{r}_1(t)) \time ( \limites_{t \rightarrow c} \vec{r}_2(t) ). \]
La règle de la somme et la règle du multiple scalaire sont ici exactement les mêmes que la règle de la somme et la règle du multiple scalaire des fonctions à valeurs scalaires, que tu auras vues lorsque tu as rencontré les limites pour la première fois. La règle du produit des limites pour les fonctions à valeurs scalaires apparaît ici deux fois en tant que limite de la règle du produit de points et limite de la règle du produit scalaire, puisque dans les espaces vectoriels, nous avons deux méthodes de multiplication.
Tu peux remarquer que la règle du quotient des limites pour les fonctions à valeurs scalaires n'a pas d'équivalent pour les fonctions à valeurs vectorielles, ce qui est logique car deux vecteurs ne peuvent pas être divisés l'un par l'autre. De même, il n'existe pas d'équivalent de la règle de L'Hopital pour les fonctions à valeurs vectorielles. Il est important de se rappeler que lorsque tu trouves les limites des fonctions composantes individuelles, tu peux utiliser la règle du quotient et la règle de L'Hopital, puisque tu travailles alors avec des fonctions à valeur scalaire.
Limites et continuité des fonctions vectorielles
Rappelle-toi la définition de la continuité pour une fonction scalaire : \N(\Nvec{r}(t)\Nest continue à \N(c\N) si
\\N-[\Nlimites_{t \N-{rightarrow c} \Nvec{r}(t) = \Nvec{r}(c).\N].
Tout comme la définition de la continuité d'une fonction à valeur réelle est définie par le fait que la limite de la fonction est égale à la valeur de la fonction en ce point, la continuité d'une fonction à valeur vectorielle est définie de la même manière.
Soit \N(I\N) un intervalle ouvert avec un point \N(c\Ndans I\N) et une fonction vectorielle \N(\Nvec{r}(t)\N) qui est définie sur \N(I.\N).
Alors \N(\Nvec{r}(t)\Nest continue sur \N(c\N) si
\\N-[\Nlimites_{t \N-{rightarrow c} \Nvec{r}(t) = \Nvec{r}(c),\N]]
et \N(\Nvec{r}(t)\Nest continue sur \N(I\N) si en tout point \N(t' \Ndans I\N,\N)
\N[ \Nlimites_{t \Ndirectement t'} \Nvec{r}(t) = \Nvec{r}(t').\N]
Cette définition de la continuité est exactement la même que la définition normale de la continuité pour une fonction à valeur réelle.
Cette fonction est discontinue, car les limites gauche et droite à \N(t = t'\N) ne sont pas égales, et donc elle n'a pas de limite définie.
Le graphique ci-dessus montre une fonction qui est discontinue à \(t = c\). Cette fonction n'a pas de valeur définie à cet endroit et ne peut donc pas être continue.
Exemples de limites de fonctions à valeurs vectorielles
Voyons quelques exemples de recherche des limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Déduis si la fonction vectorielle suivante a une limite lorsque \N(t \N) va vers \N(0,\N) et si c'est le cas, la valeur de cette limite.
\N[ \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrix} \Nfrac{\Nsin{t}}{t} \N4 \Nfin{bmatrix} \N].
Solution :
Commençons par trouver la limite de la première fonction,
\[f(t) = \frac{\sin{t}}{t}. \]
Il existe de nombreuses façons de le prouver, mais utilisons la règle de L'Hopital. Puisque
\[ \limites_{t \rightsarrow 0} \sin{t} = \limites_{t \rightsarrow 0} t = 0, \]
La règle de LHopital peut être utilisée. Cela signifie que :
\[ \begin{align} \\limites_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(t)}{t} & = \lim\limites_{t \rightarrow 0} \frac{(\sin(t))'}{(t)'}. \\N- & = \N-\Nlimites_{t \N-rightarrow 0} \N-\N-{\Ncos(t)}{1} \\ &= 1. \N-END{align} \]
Trouve ensuite la limite du deuxième terme. Comme il s'agit d'une constante, \N(4\N), la limite lorsque \N(t) passe à \N(0\N) sera également \N(4\N).
Enfin, calcule la limite du dernier terme,
\N[ \Nfrac{t^2 -4t}{t}. \N]
En retirant un facteur de \(t\) de la fraction supérieure, tu peux l'annuler et simplifier cette fraction.
\[ \frac{t^2 - 4 t}{t} = \frac{t(t - 4)}{t} = t - 4. \]
Maintenant, tu peux prendre la limite de ceci lorsque \(t}{t}{t}} passe à \(0}{t}{t}}, et voir que cela deviendra \(-4}) Puisque les trois limites existent, la limite de la fonction à valeur vectorielle doit aussi exister, et elle a la valeur suivante
\N[ \Nlimites_{t \Ndroite 0} \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrix} 1 \\N4 \Nfin{bmatrix}. \]
Prenons un autre exemple.
Déduis si la fonction vectorielle suivante a une limite lorsque \N(t) va vers \N(0,\N) et si c'est le cas, la valeur de cette limite.
\N[ \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrix} \Nfrac{t^2 - 4t}{t} \Nt+4 \Nfin{bmatrix}. \N]
Solution :
Trouve d'abord la limite de la fonction de la première composante. C'est \( \frac{t^2 -4t}{t}. \r} En retirant un facteur de \(t\r) de la fraction supérieure, tu peux l'annuler et simplifier cette fraction. Cela est possible parce que tu limites \N(t\N) à \N(0,\N) et donc \N(t\N) n'est jamais réellement \N(0\N). Donc
\[ \begin{align} \frac{t^2 - 4 t}{t} &= \frac{t(t - 4)}{t} \\ &= t - 4. \N- [end{align}\N]
Maintenant, tu peux prendre la limite de ceci lorsque \N(t) va jusqu'à 0, et voir que c'est \N(-4.\N).
Ensuite, trouve la limite de la deuxième fonction, qui est \N(t+4.\N) Il s'agit d'une fonction linéaire standard, et tu peux donc trouver la limite en introduisant simplement la valeur, Donc, la limite est \N(4.\N) Puisque les deux limites existent, la limite de la fonction à valeur vectorielle doit exister, et cette limite doit être \N(4.\N).
\N[ \Nlimites_{t \Ndroite 0} \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrix} -4 \\\N-4 \Nend{bmatrix}. \]
Examinons un dernier exemple de limites de fonctions à valeurs vectorielles.
Déduis si la fonction vectorielle suivante a une limite lorsque \N(t \N) va vers \N(0,\N) et si c'est le cas, la valeur de cette limite.
\[ \vec{r}(t) = \sin{\frac{1}{t}} \vec{i} + \frac{t^2 + 4t + 8}{t+4} \vec{j} \]
Solution :
Trouve les limites individuelles des fonctions dans chaque composante, et vois si elles existent. La première fonction est
\[ \sin{\frac{1}{t}}. \]
Au fur et à mesure que \N-(t}) va vers 0, \N-(\Nfrac{1}{t}) va augmenter à un rythme plus rapide, faisant osciller la fonction sinus entre \N-(-1) et \N-(1,\N) Étant donné tout \N-(\Nepsilon) entre \N-(0) et \N-(1,\N), il n'y a pas de \N-(\Ndelta) tel que \N( \| \N-vec{r}(t) - \N-vec{L}). \N < \Nepsilon \N) est vrai si \N( | t - c | < \Ndelta. \N) Puisque cette limite n'existe pas, la limite de toute la fonction à valeur vectorielle ne doit pas exister.
Calculs des limites et de la continuité des fonctions à valeurs vectorielles
Voyons quelques exemples où tu dois déduire si une fonction est continue ou non.
Déduis si la fonction vectorielle suivante est continue ou non au point \N(t = 4:\N)
\[ \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \]
où
\[ \N- f(t) & = 8t \N- g(t) & = \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{cases}} \frac{t^2-16}{t-4} &\quad t \neq 4 \\n 8 &\quad t = 4 \end{cases} \N- \N- \N- \N- \N- \N{align} \]
Solution :
Trouve d'abord \(\vec{r}(4).\N-) Tout d'abord, \N f(4)\N sera \N 8 \Ncdot 4 = 32.\N Puisque \Nt=4,\N \Ng(t) = 8.\Npar sa définition, \Ng(t) = 8.\N. D'où ,
\N- \N- \N- \N(4) = 32 \N- \N- \N- + 8 \N- \N- \N- \N- \N- \Nj}.
Maintenant, trouve \(\limites_{t \rightarrow 4}) \vec{r}(t).\N-) Tu peux le faire en trouvant à nouveau les limites individuelles. La limite de \(f(t)\Nest simplement la valeur de \N(f(t),\N) puisqu'il s'agit d'une équation linéaire. D'où,
\N- [\N- Limites_{t \N-rightarrow 4} f(t) = 32.\N]
La limite
\N- [\N- Limites_{t \N-rightarrow 4} g(t)\N]
est un peu plus compliquée. Puisque la limite ne permettra jamais à \N(t) de prendre réellement la valeur de \N(4,\N), il faut que
\N- g(t) = \Nfrac{t^2 - 16}{t-4}. \N]
Tu peux factoriser le polynôme supérieur pour obtenir
\N- g(t) = \Nfrac{(t+4)(t-4)}{t-4}, \N- g(t) = \Nfrac{(t+4)(t-4)}{t-4}.
et comme \N(t) n'est pas \N(4,\N) \N(t-4 \Nneq 0.\N) Cela signifie que tu peux annuler \N(t-4) en haut et en bas.
\N- [g(t) = t+4\N]
Maintenant, comme il s'agit d'une fonction linéaire, tu peux prendre la limite en substituant simplement la valeur de \(4\) pour obtenir
\N-[ \Nlimites_{t \N-{rightarrow 4} g(t) = 8. \N]
Ainsi, la limite de la fonction est :
\[ \limites_{t \rencontre 4} \vec{r}(t) = 32 \vec{i} + 8 \vec{j} = \vec{r}(4). \]
Puisque ces valeurs sont égales, la fonction doit être continue à \N(t=4.\N).
Examinons un autre exemple, cette fois où tu dois trouver la continuité de toute la fonction à valeur vectorielle.
Prouve que la fonction vectorielle suivante \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) est continue sur le domaine \N([-1,1],\N) où :
\[ \begin{align} f(t) & = t^2 + 6t + 2 \\ g(t) & = \frac{\tan{t}}{t}. \Nend{align} \]
Solution :
Tout d'abord, regarde si les composantes de la fonction du vecteur sont continues. La première fonction est \N(f(t) = t^2 + 6t + 2.\N) Les polynômes sont toujours continus sur n'importe quel domaine, et ils seront donc continus sur le domaine donné ((-1,1).\N).
La deuxième est la fonction \N(g(t) = \frac{\tan{t}}{t}.\N) Cette fonction est continue partout sur le domaine à l'exception du point \N(t = 0.\N) La limite à ce point est \N(1.\N), on peut donc la rendre continue en modifiant la fonction pour qu'elle soit :
\N[ g'(t) \Ndébut{cases} \frac{\tan{t}}{t} &\quad t \neq 0 \\N1 &\Nquad t = 0 \end{cases}, \N]
Cependant, puisqu'il s'agit d'une fonction différente, \N(g(t)\N) n'est pas continue. Puisque \(g(t)\) n'est pas continue, toute la fonction à valeur vectorielle n'est pas continue.
Limite d'une fonction à valeur vectorielle - Principaux enseignements
- La limite de \(\vec{r}(t)\) lorsque \(t) se rapproche de \(c\) est un vecteur \( \limites_{t \rrow c} \vec{r}(t) = \vec{L} \) such that for any \( \epsilon > 0, \) there exists a \( \delta > 0 \) such that for any \( t \neq c, \) if \( | t - c | < \delta ,\) then \( \| \vec{r}(t) - \vec{L} \| < \epsilon. \)
- La limite d'une fonction vectorielle \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} + h(t) \vec{k}\) existe si et seulement si les limites de \(f(t), g(t) \N et \N(h(t)\N existent. If it does exist then, \[ \lim\limits_{t \rightarrow c} \vec{r}(t) = \lim\limits_{t \rightarrow c} f(t) \vec{i} + \lim\limits_{t \rightarrow c} g(t) \vec{j} + \lim\limits_{t \rightarrow c} h(t) \vec{k}. \]
- \N- (\Nvec{r}(t)\N) est continu à \N(c\N) si \N(\Nlimites_{t \Nrightarrow c} \Nvec{r}(t) = \Nvec{r}(c).\N)
- \N(\Nvec{r}(t)\Nest continue si en tout point \N(t' \Ndans I,\N) \N( \Nlimites_{t \Nflèche droite t'}), \N(t') et \N(\Nflèche droite t'\N)= \Nvec{r}(c)). \c{r}(t) = \c{r}(t').\c}
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