Lignes tangentes: Mathématiques, Géométrie

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Définition et formule d'une ligne tangente

Une ligne tangente est une ligne qui "touche" juste le point... $P$ . Elle peut également être définie comme une ligne joignant 2 points infiniment proches sur une courbe.

La ligne tangente à une courbe $f (x)$ en un point $P$ dont les coordonnées sont $(a, f (a))$ , est la ligne passant par $P$ avec une pente

$m = \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a}$

si la limite existe.

Équation d'une ligne tangente

Une fois la pente $m$ est trouvée, l'équation d'une ligne tangente est la même que celle de n'importe quelle autre ligne de forme point-pente passant par un point $(a, f (a))$ :

$(y - f (a)) = m (x - a)$

Lignes tangentes sur un graphique

Dans le graphique ci-dessous, on dit que $y$ est une ligne tangente à la courbe $f$ au point $P$ . Ou bien, nous pouvons dire que $y$ est tangente à la courbe $f$ au point $P$ .

Ligne tangente interprétation géométrique StudySmarter La ligne tangente en vert touche simplement la courbe f au point P - StudySmarter Original

Remarque que la ligne tangente "touche" juste la courbe au point P.

La pente d'une ligne tangente

Géométrie

La pente de la ligne tangente en un point d'une courbe est égale à la pente de la courbe en ce point. L'hypothèse derrière les lignes tangentes est que lorsque tu regardes le graphique d'une courbe, si tu zoomes suffisamment près d'un segment de la courbe, la courbe ne se distinguera pas de la ligne tangente.

Par exemple, zoomons sur le graphique ci-dessus.

Lignes tangentes pente de la ligne tangente égale à la courbe StudySmarter Zoom sur le point où la ligne tangente touche la courbe - StudySmarter Original

Zoomons un peu plus...

Lignes tangentes pente de la ligne tangente égale à la courbe StudySmarter

Ici, nous pouvons voir que la ligne tangente et le point de la courbe où la ligne tangente touche sont indiscernables - StudySmarter Original

Remarque que la ligne tangente provient de la connexion de deux points infiniment proches sur une courbe.

Équation supplémentaire de la pente de la ligne tangente

Il existe une autre version de l'équation de la pente de la ligne tangente qui peut être plus facile à utiliser. Cette équation dit que la pente de la ligne tangente $m$ est

$m = \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$

Cette équation définit $h = x - a$ et $x = h + a$ . Au fur et à mesure que $x$ approche $a$ , $h$ se rapproche de 0. Ainsi, l'équation supplémentaire de la ligne tangente est formée.

Cette équation de la pente de la droite tangente devrait te sembler familière à l'adresse ..... C'est l'équation de la dérivée d'une fonction en un point (a, f(a)). On peut donc dire que la pente de la ligne tangente à une courbe au point P est égale à la dérivée de la courbe au point P !

Exemples de recherche de l'équation de la ligne tangente

Exemple 1

Trouve l'équation de la ligne tangente à $f (x) = x^{2}$ au point (2, 4).

Comme on nous donne $f (x)$ et un point, tout ce dont nous avons besoin pour former l'équation de la ligne tangente est la pente. Pour trouver la pente, nous utiliserons l'équation supplémentaire de la ligne tangente.

La pente de la tangente en (2, 4) est la suivante

$\begin{array}{rcl} m & = & \lim_{h \to 0} \frac{f (2 + h) - f (2)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2} - 4}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 4 h + 4 - 4}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 4 h}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h (h + 4)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} h + 4 \\ = & 4 \end{array}$

Ainsi, l'équation de la ligne tangente à f(x) en (2, 4) est $y = 4 (x - 2) + 4$ .

Rappelle-toi que la pente de la ligne tangente est la même que celle de la dérivée. Nous pourrions donc aussi simplement prendre la dérivée de $f (x)$ et y ajouter $x = 2$ pour trouver la pente de la ligne tangente au point $(2, 4)$ .

$f' (x) = 2 x f' (2) = 4$

Lignes tangentes graphique de la ligne tangente et exemple de fonction StudySmarter Le graphique de f(x) et la droite tangente à f(x) en (2, 4) - StudySmarter Original

Exemple 2

Trouve l'équation de la ligne tangente à la courbe $f (x) = x - x^{3}$ au point (1, 0).

Encore une fois, comme on nous donne $f (x)$ et un point, tout ce dont nous avons besoin pour former l'équation de la ligne tangente est la pente. Pour trouver la pente, nous utiliserons l'équation supplémentaire de la ligne tangente.

Avec , la pente de la tangente à (1, 0) est :

$\begin{array}{rcl} m & = & \lim_{h \to 0} \frac{f (1 + h) - f (1)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{[(1 + h) - {(1 + h)}^{3}] - 0}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h) - (h^{3} + 3 h^{2} + 3 h + 1)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{h^{3} - 3 h^{2} - 2 h}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} h^{2} - 3 h - 2 \\ = & - 2 \end{array}$

Donc, l'équation de la ligne tangente à f(x) à (1, 0) est $y = - 2 (x - 1)$ .

Encore une fois, rappelle-toi que la pente de la ligne tangente est la même que celle de la dérivée. Donc, nous pourrions aussi simplement prendre la dérivée de $f (x)$ et ajouter 1 pour trouver la pente de la ligne tangente au point $(1, 0)$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2} f' (1) = 1 - 3 (1) = - 2$

Ligne tangente graphique de la ligne tangente à la courbe exemple StudySmarter Le graphique de f(x) et la ligne tangente à f(x) au point (1, 0) - StudySmarter Original

Lignes tangentes à un cercle

On dit qu'une ligne est tangente à un cercle si elle touche le cercle en exactement un point. Si une ligne est tangente à un cercle en un point $P$ alors la ligne tangente est perpendiculaire au rayon tracé au point $P$ .

Lignes tangentes ligne tangente cercle perpendiculaire rayon StudySmarter Une ligne tangente à un cercle au point P est perpendiculaire au rayon tracé au point P - StudySmarter Originals

Pour plus d'informations sur les lignes tangentes à un cercle, consulte notre article sur la tangente d'un cercle !

Lignes tangentes - Points clés

Une ligne tangente est une ligne qui touche une courbe en un point fixe. $P$
- L'équation d'une ligne tangente sous la forme d'un point de pente est la suivante $(y - f (a)) = m (x - a)$
La pente de la ligne tangente en un point d'une courbe est égale à la pente de la courbe en ce point.
- Si tu zoomes suffisamment près d'un segment d'une courbe, la ligne tangente au segment et la courbe seront indiscernables.
Dans un cercle, la ligne tangente tracée en un point quelconque est perpendiculaire au rayon en ce point.

Fiches dans Lignes tangentes 2

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La pente de la ligne tangente à un point P est...

équivalent à la pente de la courbe à P

La ligne tangente touche la courbe au point ___________.

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Questions fréquemment posées en Lignes tangentes

Qu'est-ce qu'une ligne tangente?

Une ligne tangente à une courbe est une droite qui touche cette courbe en un seul point sans la croiser.

Comment trouver l'équation d'une tangente?

Pour trouver l'équation d'une tangente, on utilise la dérivée de la fonction pour déterminer la pente au point de tangence.

Quelle est la différence entre une tangente et une sécante?

Une tangente touche la courbe en un seul point, tandis qu'une sécante la coupe en deux points ou plus.

Pourquoi les tangentes sont-elles importantes?

Les tangentes sont importantes car elles donnent des informations sur la pente et la direction d'une courbe à un point précis.

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