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Définition du théorème de l'écrasement
Le théorème de l'écrasement est une méthode d'évaluation des limites qui consiste à "écraser" une limite indéterminée entre deux limites plus simples. La fonction "écrasée" ou "bornée" se rapproche de la même limite que les deux autres fonctions qui l'entourent.
Plus précisément, le théorème d'éc rasement stipule que pour les fonctions \(f\N), \N(g\N) et \N (h\N) telles que :
\[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\N]
si\N- lim_{x \N-rightarrow A } g(x)= lim_{x \N-rightarrow A } h(x)=L\N]
pour une constante \(L\), alors :
\[lim_{x \rightarrow A } f(x)=L\]
Fig. 1. Comme \Nf(x)\Nfiché entre \Nf(x)\Ng et \Nf(x)\Nh, le théorème de l'écrasement peut être appliqué pour évaluer la limite de \Nf(x)\Nfiché à \Nf(x = 0 \N) .
Preuve du théorème de Squeeze
Preuve informelle
En termes simples, \Nf(x)\Nest "comprimé" entre \N(g(x)\Net \N(h(x)\N). Comme \N-(g(x)\N)et \N-(h(x)\N)sont égaux au point A tel que \N-(g(A)=h(A)=L\N), alors \N-(f(A)=L\N)-, il n'y a pas de place entre les deux. car il n'y a pas de place entre les deux autres fonctions pour que \ (f\) prenne une autre valeur.
Preuve formelle
Nous supposerons que
- \N(g(x)\Nleq f(x) \Nleq h(x)\N)partout dans le domaine des fonctions
- \N(lim_{x \rightarrow A} g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\N)
Sur la base de ces hypothèses, tu veux prouver que :
\[lim_{x \N-rightarrow A} f(x)=L\N].
Vois l'image ci-dessous pour une explication visuelle des variables !
Soit un epsilon arbitraire tel que \(\epsilon > 0\) soit connu. Pour prouver le théorème de l'écrasement, nous devons trouver un delta \(\delta > 0\) tel que \(|f(x)-L|< \epsilon\) chaque fois que \(0< |x-A|< \delta\) où L est l'évaluation de la limite lorsque \ (x\) s'approche du point \ (A\).
Or \(\lim_{x \rightarrow A} g(x)=L\) par définition, il doit donc exister une \(\delta_g > 0\) telle que :
\(|g(x)-L|< \epsilon\) pour tout \(0 < |x-A|< \delta_g\) :
En utilisant les lois de la valeur absolue
\[-\epsilon + L < g(x) < \epsilon + L\]
pour tous les
\[0<|x-A|<\delta_g\]
De même, \(lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\) par définition, il doit donc exister une \(\delta_g > 0\)telle que
\(|h(x)-L|< \epsilon\) pour tout \(0 < |x-A|< \delta_g\).
En utilisant les lois de la valeur absolue
\[- \epsilon + L < h(x)< \epsilon + L \]
pour tous les
\[0<|x-A|<\delta_g\]
Fig. 2. Explication visuelle de la dérivation géométrique de (1) et (2).
Puisque \N(g(x)\Nleq f(x) \Nleq h(x)\N) pour tout \N (x\N) sur un intervalle ouvert contenant \N(A\N), il doit exister un \N(\Ndelta_f > 0\N) tel que
(3) \N(g(x) \Nleq f(x) \Nleq h(x)\N) pour tout \N(0< |x-A|< \delta_f\N)
Où \(\delta = min (\delta_g, \delta_h, \delta_f)\), alors par (1), (2), et (3)
\N- \N[- \Nepsilon + L < g(x) \Nleq f(x) \Nleq h(x) < L + \Nepsilon\N] pour tout \N(0<|x-A|<\Ndelta\N).
Ainsi
\(-\epsilon< f(x)-L < \epsilon \) pour tout/ \(0<|x-A|<\delta\)
En utilisant les lois de la valeur absolue
\( |f(x)-L| < \epsilon\) pour tout \(0<|x-A|<\delta\)
Alors, par définition :
\N[lim_{x \rencontre A} f(x)=L\N].
Quand utiliser la formule du théorème de Squeeze ?
Le théorème de Squeeze ne doit être utilisé qu'en dernier recours. Lorsque l'on résout des limites, il faut toujours commencer par essayer de résoudre le problème par l'algèbre ou par une simple manipulation. Si l'algèbre échoue, le théorème de Squeeze peut être une option viable pour la résolution des limites.
En effet, pour calculer \(lim_{x \rightarrow A} f(x)\N), nous devons d'abord trouver deux fonctions \N(g(x)\N) et \N(h(x)\N) qui limitent \N(f(x)\N) et qui sont telles que :
\[lim_{x \rightarrow A}g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)\N].
Le théorème de l'écrasement ne peut pas être appliqué si les limites des fonctions limites ne sont pas égales.
Exemples d'évaluation des limites à l'aide du théorème de Squeeze
Commençons par un exemple simple !
Utilise le théorème de Squeeze pour évaluer
\[lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\N]
Lorsque nous introduisons \(x = 0\), nous rencontrons une forme indéfinie \(cos \left( \frac{1}{0} \right)\). C'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !Ceci est unexemple de scénario général : le théorème de l'écrasement peut être appliqué pour trouver la limite desfonctions trigonométriques amorties par des termes polynomiaux.
- Étape 1 : Crée une inégalité double pour lier la fonction trigonométrique en fonction de la nature de la fonction cosinus.
- Nous savons que la fonction cosinus oscille sur l'intervalle fermé \N([-1, 1]\N), c'est-à-dire \N(-1 \Ncôté(x) \Ncôté 1).
- En traçant le graphique de \(\cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\N), nous constatons que f oscille également sur l'intervalle fermé \([-1, 1]\N), c'est-à-dire \(-1 \leq \cos \left( \frac{1}{x^2} \Nright)\leq 1\N).
Il est essentiel de savoir que l'étendue de \(\cos\N) (n'importe quoi) et de \(\sin\N) (n'importe quoi) sera toujours \([-1, 1]\N) (tant qu'elle n'est pas translatée vers le haut/bas ou étirée/compressée verticalement) !
Fig. 3. Graphique de l'exemple 1.
- Étape 2 : Modifie l'inégalité si nécessaire pour délimiter la fonction du problème:
- Notre fonction est \(f(x)=x^2 \cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\) donc nous multiplions notre inégalité bilatérale par \(x^2\) et nous obtenons :
- Étape 3 : Vérifie que les fonctions limites ont la même limite.
- Maintenant que notre fonction est bornée, nous devons vérifier que \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2\) afin d'appliquer le théorème de l'écrasement : \N(lim_{x \Nrightarrow 0}-x^2= lim_{x \Nrightarrow 0} x^2=0\N)
- Étape 4 : Appliquer le théorème de la compression
- Puisque \N(lim_{x \Nrightarrow 0}-x^2= lim_{x \Nrightarrow 0} x^2=0\N), alors par le théorème de la compression\N[lim_{x \Nrightarrow 0} x^2 \Ncos \Nleft( \Nfrac{1}{x^2}\Nright)=0\N].
Maintenant, essayons quelque chose d'un peu plus complexe.
Trouve \N (lim_{x \Nflèche droite - \Ninfty}) \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)
Lorsque nous introduisons \(- \infty\), nous nous retrouvons avec la forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Encore une fois, puisqu'une fonction trigonométrique apparaît, c'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !En suivant la même stratégie que précédemment, commence par la fonction trigonométrique \(f(x)=\sin(5x)\), et va jusqu'à
\[f(x)=\dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\]
Jetons un coup d'œil !- Étape 1: Fais une inégalité recto-verso pour lier la fonction trigonométrique en te basant sur la nature de la fonction sinus.
- Nous savons que le sinus se comporte comme le cosinus en ce sens qu'il oscille sur l'intervalle fermé \([-1, 1]\).
- En regardant l'image ci-dessous, lorsque nous représentons graphiquement \(-\sin(5x)\), nous constatons que :
Fig. 4. Graphique de l'exemple 2.
- Étape 2: Modifie l'inégalité si nécessaire pour délimiter la fonction du problème.
- Notre fonction est:\N[f(x)=lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\N] et notre inégalité double est : \[-1 \leq -\sin(5x) \leq 1\].
- Ajoute \(7x^2\) pour obtenir \[7x^2-1 \leq 7x^2-\sin(5x) \leq 7x^2+1\].
- Multiplie par \(\frac{1}{x^2+15}\) pour obtenir \[\dfrac{7x^2-1}{x^2+15}]. \leq \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15} \leq \dfrac{7x^2+1}{x^2+15} \]
- Étape 3: Maintenant que notre fonction est bornée, nous devons vérifier que : \[lim_{x \rightarrow - \infty }\dfrac{7x^2-1}{x^2+15}=lim_{x \rightarrow -\infty }]. \dfrac{7x^2+1}{x^2+15}\] Ceci afin d'appliquer le théorème de l'écrasement.
- Une fois de plus, lorsque nous essayons d'introduire \(- \infty\), nous nous heurtons à une forme indéterminée. Cependant, cette fois-ci, nous pouvons utiliser la manipulation algébrique pour résoudre le problème.
- Multiplie les deux limites par : \[\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}] pour obtenir \[lim_{x \arrow -\infty \dfrac{7- \frac{1}{x^2}}{1+ \frac{15}{x^2}} }\] et \[lim_{x \rightarrow -\infty \dfrac{7+ \frac{1}{x^2}}{1+ \frac{15}{x^2}} }\]
- Maintenant, lorsque nous introduisons \(-\infty\), nous obtenons \(\dfrac{7-0}{1+0}\) et \(\dfrac{7+0}{1+0}\) laissant respectivement : \[lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2-1}{x^2-15}=lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2+1}{x^2-15}=7\]
- Étape 4 : Appliquer le théorème de l'écrasement
- Puisque \[lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2-1}{x^2-15}=lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2+1}{x^2-15}=7\], alors par le théorème de l'écrasement : \[lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}=7\].
Le théorème de Squeeze - Principaux enseignements
- Le théorème de l'écrasement est une méthode de dernier recours pour résoudre les limites qui ne peuvent pas être résolues par des manipulations algébriques.
- Le théorème de Squeeze stipule que pour les fonctions \ (f\N), \N(g\N), et \N(h\N) telles que : \N[g(x) \Nleq f(x) \Nleq h(x) \N], si : \N- lim_{x \N-rightarrow A} g(x)= lim_{x \N-rightarrow A} h(x)=L\N]
pour une constante \(L\), alors : \N-[lim_{x \N-rightarrow A} f(x)=L\N].
- Si \(lim_{x \N-rightarrow A} g(x) \neq lim_{x \N-rightarrow A} h(x)\N), le théorème de l'écrasement ne peut pas être appliqué.
- La stratégie générale pour résoudre les problèmes contenant des fonctions trigonométriques est de commencer par la fonction trigonométrique, puis de remonter jusqu'à la fonction de la question !
- Voici une procédure étape par étape pour le théorème de l'écrasement :
- Étape 1 : Crée une inégalité à double face basée sur la nature de \(f(x)\).
- Étape 2 : Modifie l'inégalité si nécessaire.
- Étape 3 : Résous les limites des deux côtés de l'inégalité, en t'assurant qu'elles sont égales.
- Étape 4 : Applique le théorème de l'écrasement - la limite de \(f(x)\) est égale aux limites limitatives.
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