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Le calcul nous présente diverses astuces de calcul utiles, notamment dans le domaine des limites. Lorsque l'on est confronté à des fonctions oscillantes ou à des fonctions dont les points ne sont pas définis, prendre la limite peut devenir une tâche difficile. Heureusement, le théorème de Squeeze, ou théorème de Sandwich, est exactement ce qu'il faut pour traiter les fonctions délicates comme celles-ci.
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Équipe enseignants Le théorème des gendarmes
Le théorème de l'écrasement est une méthode d'évaluation des limites qui consiste à "écraser" une limite indéterminée entre deux limites plus simples. La fonction "écrasée" ou "bornée" se rapproche de la même limite que les deux autres fonctions qui l'entourent.
Plus précisément, le théorème d'éc rasement stipule que pour les fonctions \(f\N), \N(g\N) et \N (h\N) telles que :
\[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\N]
si\N- lim_{x \N-rightarrow A } g(x)= lim_{x \N-rightarrow A } h(x)=L\N]
pour une constante \(L\), alors :
\[lim_{x \rightarrow A } f(x)=L\]
Fig. 1. Comme \Nf(x)\Nfiché entre \Nf(x)\Ng et \Nf(x)\Nh, le théorème de l'écrasement peut être appliqué pour évaluer la limite de \Nf(x)\Nfiché à \Nf(x = 0 \N) .
En termes simples, \Nf(x)\Nest "comprimé" entre \N(g(x)\Net \N(h(x)\N). Comme \N-(g(x)\N)et \N-(h(x)\N)sont égaux au point A tel que \N-(g(A)=h(A)=L\N), alors \N-(f(A)=L\N)-, il n'y a pas de place entre les deux. car il n'y a pas de place entre les deux autres fonctions pour que \ (f\) prenne une autre valeur.
Nous supposerons que
Sur la base de ces hypothèses, tu veux prouver que :
\[lim_{x \N-rightarrow A} f(x)=L\N].
Vois l'image ci-dessous pour une explication visuelle des variables !
Soit un epsilon arbitraire tel que \(\epsilon > 0\) soit connu. Pour prouver le théorème de l'écrasement, nous devons trouver un delta \(\delta > 0\) tel que \(|f(x)-L|< \epsilon\) chaque fois que \(0< |x-A|< \delta\) où L est l'évaluation de la limite lorsque \ (x\) s'approche du point \ (A\).
Or \(\lim_{x \rightarrow A} g(x)=L\) par définition, il doit donc exister une \(\delta_g > 0\) telle que :
\(|g(x)-L|< \epsilon\) pour tout \(0 < |x-A|< \delta_g\) :
En utilisant les lois de la valeur absolue
\[-\epsilon + L < g(x) < \epsilon + L\]
pour tous les
\[0<|x-A|<\delta_g\]
De même, \(lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\) par définition, il doit donc exister une \(\delta_g > 0\)telle que
\(|h(x)-L|< \epsilon\) pour tout \(0 < |x-A|< \delta_g\).
En utilisant les lois de la valeur absolue
\[- \epsilon + L < h(x)< \epsilon + L \]
pour tous les
\[0<|x-A|<\delta_g\]
Fig. 2. Explication visuelle de la dérivation géométrique de (1) et (2).
Puisque \N(g(x)\Nleq f(x) \Nleq h(x)\N) pour tout \N (x\N) sur un intervalle ouvert contenant \N(A\N), il doit exister un \N(\Ndelta_f > 0\N) tel que
(3) \N(g(x) \Nleq f(x) \Nleq h(x)\N) pour tout \N(0< |x-A|< \delta_f\N)
Où \(\delta = min (\delta_g, \delta_h, \delta_f)\), alors par (1), (2), et (3)
\N- \N[- \Nepsilon + L < g(x) \Nleq f(x) \Nleq h(x) < L + \Nepsilon\N] pour tout \N(0<|x-A|<\Ndelta\N).
Ainsi
\(-\epsilon< f(x)-L < \epsilon \) pour tout/ \(0<|x-A|<\delta\)
En utilisant les lois de la valeur absolue
\( |f(x)-L| < \epsilon\) pour tout \(0<|x-A|<\delta\)
Alors, par définition :
\N[lim_{x \rencontre A} f(x)=L\N].
Le théorème de Squeeze ne doit être utilisé qu'en dernier recours. Lorsque l'on résout des limites, il faut toujours commencer par essayer de résoudre le problème par l'algèbre ou par une simple manipulation. Si l'algèbre échoue, le théorème de Squeeze peut être une option viable pour la résolution des limites.
En effet, pour calculer \(lim_{x \rightarrow A} f(x)\N), nous devons d'abord trouver deux fonctions \N(g(x)\N) et \N(h(x)\N) qui limitent \N(f(x)\N) et qui sont telles que :
\[lim_{x \rightarrow A}g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)\N].
Le théorème de l'écrasement ne peut pas être appliqué si les limites des fonctions limites ne sont pas égales.
Commençons par un exemple simple !
Utilise le théorème de Squeeze pour évaluer
\[lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\N]
Lorsque nous introduisons \(x = 0\), nous rencontrons une forme indéfinie \(cos \left( \frac{1}{0} \right)\). C'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !Ceci est unexemple de scénario général : le théorème de l'écrasement peut être appliqué pour trouver la limite desfonctions trigonométriques amorties par des termes polynomiaux.
Il est essentiel de savoir que l'étendue de \(\cos\N) (n'importe quoi) et de \(\sin\N) (n'importe quoi) sera toujours \([-1, 1]\N) (tant qu'elle n'est pas translatée vers le haut/bas ou étirée/compressée verticalement) !
Fig. 3. Graphique de l'exemple 1.
Maintenant, essayons quelque chose d'un peu plus complexe.
Trouve \N (lim_{x \Nflèche droite - \Ninfty}) \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)
Lorsque nous introduisons \(- \infty\), nous nous retrouvons avec la forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Encore une fois, puisqu'une fonction trigonométrique apparaît, c'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !En suivant la même stratégie que précédemment, commence par la fonction trigonométrique \(f(x)=\sin(5x)\), et va jusqu'à
\[f(x)=\dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\]
Jetons un coup d'œil !
Fig. 4. Graphique de l'exemple 2.
pour une constante \(L\), alors : \N-[lim_{x \N-rightarrow A} f(x)=L\N].
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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