Le Théorème de la Valeur Moyenne

Une balle est lâchée d'une hauteur de 100 pieds. Sa position en quelques secondes après avoir été lâchée est modélisée par la fonction $s\left(t\right)=-16t^2+100$.

1. Combien de temps la balle met-elle à toucher le sol après avoir été lâchée ?
2. Trouve la vitesse moyenne de la balle entre le moment où elle est lâchée et celui où elle touche le sol.
3. Trouve ensuite le temps garanti par le théorème de la valeur moyenne lorsque la vitesse instantanée de la balle est égale à sa vitesse moyenne.

Étape 1 : S'assurer que s(t) est continue et différentiable

Avant d'utiliser le théorème de la valeur moyenne, nous devons nous assurer que notre fonction répond aux exigences du théorème.

Puisque $s\left(t\right)$ est un polynôme, nous savons qu'il est continu et différentiable sur tout l'intervalle !

Étape 2 : Trouve le nombre de secondes qu'il faut pour que la balle touche le sol.

La balle est lâchée d'une hauteur de 100 pieds. Le sol est à 0 pied. Donc, pour trouver le moment où la balle touche le sol, nous pouvons définir $s\left(t\right)=0$ et résoudre $t$!

$s\left(t\right)=0=-16t^2+100-100=-16t^2\pm \frac{5}{2}=t$

Comme notre temps en secondes ne peut pas être négatif, la balle doit toucher le sol à $\frac{5}{2}$soit 2,5 secondes.

Étape 3 : Trouver la vitesse moyenne de la balle

Nous utiliserons le moment où la balle est lâchée, $t=0$et le temps pendant lequel le ballon touche le sol $t=\frac{5}{2}$ (qui est le temps total pendant lequel la balle est en chute libre) pour trouver la vitesse moyenne de la balle au cours de sa chute. En faisant la moyenne des deux valeurs...

$\begin{array}{rcl}{v}_{avg}& =& \frac{s\left(\frac{5}{2}\right)-s\left(0\right)}{\frac{5}{2}-0}\\ & =& \frac{\left(-16{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+100\right)-\left(-16{\left(0\right)}^2+100\right)}{\frac{5}{2}}\\ & =& \frac{-100}{\frac{5}{2}}\\ & =& -40ft/sec\end{array}$

Par conséquent, la vitesse moyenne de la balle est de $40ft/sec$ (vers le bas) pendant le temps où elle est en l'air. Le signe de la vitesse est ici négatif car la balle se déplace dans la direction négative (dans ce cas, vers le bas).

Étape 4 : Appliquer le théorème de la valeur moyenne

Le théorème de la valeur moyenne stipule qu'il y a au moins un point sur les$\left[0,\frac{5}{2}\right]$ secondes où la balle a une vitesse instantanée de $40ft/sec$ (vers le bas).

Nous commencerons par prendre la dérivée de la fonction de position s(t).

$s\text{'}\left(t\right)=-32t$

$$\begin{gathered} -32t=-40 \\ t=\frac{5}{4} \end{gathered}$$

Ainsi, la balle atteint une vitesse de -40 pieds par seconde au temps $\frac{5}{4}$ou 1,25 seconde.

Suppose qu'une fonction f(x) est continue et différentiable sur l'intervalle [5, 15]. Étant donné f(5) = 4 et f'(x)$\le$10. Trouve la plus grande valeur possible que f(15) peut prendre.

Le problème précise que f(x) est effectivement continue et différentiable. Nous pouvons donc appliquer le théorème de la valeur moyenne.

Étape 1 : Réarrange l'équation du théorème de la valeur moyenne

Nous cherchons la valeur de f(15), ou f(b). Réarrange donc l'équation pour trouver la valeur de f(b).

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(c\right)& =& \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\\ f\text{'}\left(c\right)(b-a)& =& f\left(b\right)-f\left(a\right)\\ f\left(b\right)& =& f\text{'}\left(c\right)(b-a)+f\left(a\right)\end{array}$

Étape 2 : Insère des valeurs connues

Si f'(x) a une valeur maximale de 10, alors f'(c) a aussi une valeur maximale de 10. Nous pouvons donc remplacer 10 par f'(c) dans le théorème de la valeur moyenne.

$\begin{array}{rcl}f\left(b\right)& =& 10(15-5)+4\\ & =& 104\end{array}$

La valeur maximale de f(15) est donc 104.