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Fig. 1. Graphique d'un polynôme quintique avec trois points critiques
Ces points critiques sont parfois des maxima ou des minima locaux, et parfois ni l'un ni l'autre. Comment peux-tu déterminer si les points critiques sont des maxima ou des minima locaux ? Utilise le test de la dérivée seconde !
Pour faire le point sur les maxima et les minima, consulte nos articles Maxima et minima et Maxima et minima absolus.
Signification du test de la dérivée seconde
Après avoir trouvé les points critiques d'une fonction grâce au premier test de dérivée, la question suivante qui se pose naturellement est de savoir si ces points sont des maxima locaux, des minima locaux ou aucun des deux. Le test de la dérivée seconde est une méthode qui permet de savoir si un point critique est un extremum local.
Soit \N( f(x) \N) une fonction qui peut être différenciée au moins deux fois, et que \N( c \N) soit un point critique de \N( f(x).\N). Le test de la seconde dérivée stipule que :
- Si \Nf'(c) < 0,\Nalors \Nf(c) \Nest un maximum local de \Nf(x). \)
- Si \Nf'(c) > 0,\Nalors \Nf'(c) \Nest un minimum local de \Nf(x). \)
En d'autres termes, le test de la dérivée seconde te dit la chose suivante :
Si la dérivée seconde à un point critique est négative, la fonction a un maximum local à ce point.
Si la dérivée seconde à un point critique est positive, la fonction a un minimum local à ce point.
Note que le test de la dérivée seconde ne couvre pas le cas où \( f''(c)=0. \) En effet, le test n'est pas concluant dans ce cas, et tu ne peux donc rien dire de plus sur la fonction.
Le test de la dérivée seconde tire son nom du fait que tu dois trouver la dérivée seconde de la fonction avec laquelle tu travailles. C'est logique, n'est-ce pas ?
Le test de la dérivée seconde et les extrema locaux
Comme le test de la dérivée seconde est capable de te dire si un point critique est un maximum ou un minimum local, il est généralement utilisé après avoir trouvé les points critiques à l'aide du test de la dérivée première.
Considère la fonction
\N[ f(x) = 2x^3-3x^2-12x+4,\N]
dont les points critiques se trouvent à \( x=-1 \N) et \N( x=2. \N) Utilise le test de la deuxième dérivée pour trouver si chaque point critique est un maximum local ou un minimum local.
Réponse :
Tu as besoin de la dérivée seconde de la fonction, donc tu dois la différencier deux fois. Utilise la règle de la puissance pour trouver la première dérivée, c'est-à-dire
\N- f'(x) = 6x^2-6x-12,\N- f'(x) = 6x^2-6x-12,\N]
et utilise-la à nouveau pour trouver la deuxième dérivée, c'est-à-dire
\N- f''(x) = 12x-6,\N]
Ensuite, tu dois évaluer la dérivée seconde à chaque point critique. Puisque les points critiques te sont déjà donnés, cela devient simple, donc
\[ \begin{align} f''(-1) &= 12(-1)-6 \\ &= -12-6 \\ &= -18, \end{align}\]
et
\N[ \N- f''(2) &= 12(2)-6 \N- &= 24-6 \N- &= 18. \N- [\N-]
Tu viens de trouver que \( f''(-1) =-18, \Nqui est inférieur à 0. Cela signifie qu'il y a un maximum relatif à \( x=-1. \N- De même, puisque tu as trouvé que \( f''(2)=18, \Nqui est supérieur à 0, tu peux conclure qu'un minimum relatif se produit à \( x=2. \N- \N- \N- \N-).
Fig. 2. Graphique d'un polynôme cubique et de ses extrema locaux
Il convient de noter que le test de la dérivée seconde ne nous dit ce qui se passe que si la dérivée seconde n'est PAS égale à zéro. Rappelle-toi que si \( f''(c)=0 \) le test n'est pas concluant .
Considère la fonction
\[g(x)=x^3-3x^2+3x-2,\]
qui n'a qu'un seul point critique à \N( x=1. \N) Utilise le test de la seconde dérivée pour savoir s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local.
Réponse :
Tu as besoin de la dérivée seconde de la fonction. Commence par trouver sa dérivée première à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire
\N-[g'(x) = 3x^2-6x+3,\N]
et utilise-la à nouveau pour trouver la dérivée seconde, c'est-à-dire
\N- [g''(x) = 6x-6.\N]
Ensuite, évalue la dérivée seconde à son point critique, qui est \N( x=1, \N) pour obtenir
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Puisque tu as évalué la dérivée seconde à un point critique et que tu as obtenu 0, le test de la dérivée seconde n'est pas concluant, ce qui signifie qu'il ne peut pas dire par lui-même s'il y a un maximum local, un minimum, ou ni l'un ni l'autre.
Jette maintenant un coup d'œil au graphique de la fonction.
Fig. 3. Graphique d'un polynôme cubique sans extrema relatifs
Note que cette fonction n'a pas d'extrema relatifs.
Dans l'exemple ci-dessus, la fonction n'avait pas d'extrema relatifs. Rappelle-toi que tu n'as rien pu conclure du test de la dérivée seconde parce que \( f''(c)=0,\) mais cela ne veut pas dire que cela implique qu'une fonction n'aura jamais d'extrema relatifs !
Considère la fonction
\N[ h(x)= 1-x^4,\N]
qui n'a qu'un seul point critique à \( x=0. \N) Utilise le test de la dérivée seconde pour savoir s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum local.
Réponse :
Comme d'habitude, commence par trouver les dérivées nécessaires. En utilisant la règle de puissance, tu peux trouver que
h'(x)=-4x^3,\N-[h'(x)=-4x^3,\N]
et en l'utilisant à nouveau, tu trouveras
\N- h''(x) = -12x^2,\N]
Ensuite, évalue la dérivée seconde au point critique, donc
\[ \N- h''(0) &= -12(0)^2 \N- &= 0. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Encore une fois, puisque \( h''(0)=0 \) tu ne peux rien conclure du test de la dérivée seconde. Cette fonction présente toutefois un maximum local situé au point critique, comme le montre son graphique.
Fig. 4. Graphique d'un polynôme quartique avec un maximum local
En d'autres termes, tu ne peux pas conclure qu'un point n'est pas un minimum ou un maximum simplement parce que le test de la dérivée seconde ne t'a pas donné de réponse !
Le test de la dérivée seconde et la concavité
Tout comme la dérivée première te dit si une fonction est croissante ou décroissante, la dérivée seconde nous renseigne sur la concavité du graphique.
On dit qu'une fonction est concave vers le bas, ou simplement concave, dans un intervalle où sa dérivée seconde est négative. Les lignes tangentes au graphique de la fonction à l'intérieur d'un intervalle où elle est concave se trouveront au-dessus du graphique.
Si un point critique se trouve à l'intérieur d'un intervalle où la fonction est concave, il s'agira d'un maximum en raison du test de la dérivée seconde. Le graphique suivant montre les lignes tangentes à une fonction dans un intervalle où elle est concave.
Fig. 5. Graphique d'une fonction concave avec un maximum local
Si la dérivée seconde d'une fonction dans un intervalle donné est plutôt positive, on dit que la fonction est concave vers le haut ou convexe.
Une fonction est dite concave vers le haut, ou convexe, dans un intervalle où sa dérivée seconde est positive. Les lignes tangentes au graphique de la fonction à l'intérieur d'un intervalle où elle est convexe se trouvent sous le graphique.
Comme pour un intervalle concave, si un point critique se trouve à l'intérieur d'un intervalle où la fonction est convexe, il s'agira d'un minimum en raison du test de la dérivée seconde. Le graphique suivant montre les lignes tangentes à une fonction dans un intervalle où elle est convexe.
Fig. 6. Graphique d'une fonction convexe avec un minimum local
Trouve les intervalles pour lesquels la fonction
\[f(x)=x^3+1]
est concave et convexe.
Réponse :
Pour trouver les intervalles pour lesquels la fonction donnée est concave ou convexe, tu dois inspecter sa dérivée seconde, donc utiliser deux fois la règle de puissance pour la trouver, c'est-à-dire
\N- [f'(x)=3x^2,\N]
et
\N- f''(x)=6x.\N]
Ensuite, écris et résous l'inégalité \N( f''(x) < 0 \N) pour trouver l'endroit où la fonction est concave, donc
\N[ \N- f''(x) &< 0 \N- 6x&<0 \N- x &< 0. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{end{align}}]. \]
De l'inégalité ci-dessus, tu peux conclure que la fonction est concave dans l'intervalle \( (-\infty,0).\N-). Cela signifie que pour toutes les valeurs x inférieures à 0, la fonction est concave.
Pour trouver où la fonction est convexe , tu écris et tu résous l'inégalité \( f''(x)>0, \) de sorte que
\[ \begin{align} f''(x) &> 0 \\ 6x&>0 \\ x &> 0. \end{align} \]
Par conséquent, la fonction est convexe dans l'intervalle \N( (0,\Ninfty).\N)
Les valeurs x pour lesquelles la concavité d'un graphique change sont appelées points d'inflexion . Si la dérivée seconde d'une fonction est continue, alors la dérivée seconde évaluée à un point d'inflexion est égale à 0.
Soit \N( f(x) \N) une fonction qui :
- Est continue à \N(x=a.\N)
- Change de concavité à \N(x=a.\N)
La valeur de \N( a \N) est appelée point d'inflexion de \N( f.\N)
Le point \N( x=0 \N) de l'exemple précédent est un point d'inflexion.
Fig. 7. Une fonction passe de concave à convexe à un point d'inflexion
Considère la fonction
\[ g(x) = \frac{1}{3}x^3-3x^2+5x+4.\]
Indique ses extrema locaux, ses points d'inflexion et ses intervalles concaves/convexes, le cas échéant.
Réponse :
Tu peux utiliser le test de la dérivée première pour trouver ses extrema locaux.
- Trouve la dérivée de la fonction.En utilisant la règle de la puissance pour différencier la fonction donnée, tu obtiendras[g'(x)=x^2-6x+5.\N].
- Évalue la fonction en un point critique \N(c\N) et fixe-la à 0.Cette étape est assez simple, évalue la dérivée en \N(x=c,\N) c'est-à-dire\N[g'(c)=c^2-6c+5,\N]et fixe-la à 0, donc\N[c^2-6c+5=0.\N]
- Résous l'équation obtenue pour \(c.\N)L'équation quadratique ci-dessus peut être résolue par factorisation. Pense à deux nombres dont le produit est \N(5\N) et la somme est \N(-6.\N) En général, tu dois commencer à factoriser, doncCela signifie que l'équation peut être transformée en\N[ (c-1)(c-5)=0, \N] ce qui signifie que les solutions sont \N(c=1) et \N(c=5.\N).
Nombre 1 Nombre 2 Produit Somme 1 5 5 6 -1 -5 5 -6
Maintenant que tu as trouvé les points critiques, tu dois trouver la dérivée seconde. Tu peux le faire en utilisant à nouveau la règle de puissance sur \N( g'(x),\N) de sorte que
\N- [g''(x)=2x-6.\N]
Ensuite, évalue la dérivée seconde aux deux points critiques pour savoir s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, c'est-à-dire
\[ \N- g''(1) &= 2(1)-6 \N- &= -4, \Nend{align}\N]
il y a donc un maximum local à \(x=1,\N) et
\N[ \N- g''(5) &= 2(5)-6 \N- &= 4, \Nend{align}\N]
il y a donc un minimum local à \( x=5.\N)
Les valeurs maximales et minimales peuvent être trouvées en évaluant la fonction à ces endroits, donc
\[\N- g(1) &= \frac{1}{3} (1)^3 - 3(1)^2 + 5(1) +4 \N- &= \frac{19}{3} \N-END{align}\N]
est le maximum local et
\N[\N- g(5) &= \Nfrac{1}{3} (5)^3 - 3(5)^2 + 5(5) +4 \N- -\Nfrac{13}{3}] est le maximum local et \N-END{align}\N]
est le minimum local.
Ensuite, pour trouver l'endroit où la fonction est concave, résous l'inégalité \( g''(x) < 0 \N), c'est-à-dire
\N[ \N- 2x-6 &< 0 \N- x &< 3, \N- \Nend{align} \N]
donc la fonction est concave dans l'intervalle \N( (-\infty,3).\N) Pour savoir où elle est convexe, il suffit d'inverser l'inégalité, donc
\[x>3,\]
ce qui signifie que la fonction est convexe dans l'intervalle \N( (3,\Ninfty).\N)
Puisque la fonction passe de concave à convexe à \(x=3,\N), il s'agit d'un point d'inflexion.
Fig. 8. Une fonction avec ses extrema locaux, son point d'inflexion et ses régions concaves/convexes
Le test de la dérivée seconde pour les fonctions multivariables
Tout comme le premier test de dérivée, lorsque tu effectues le deuxième test de dérivée pour les fonctions multivariables, tu dois utiliser les dérivées partielles. Cependant, ce test est plus complexe lorsqu'il s'agit d'évaluer des fonctions multivariables, et il sort du cadre de cet article.
Exemples de test de la dérivée seconde
Nous allons maintenant examiner d'autres exemples du test de la dérivée seconde.
Considère la fonction
\[f(x)=\frac{1}{5}x^5-x,\]
dont les points critiques sont à \(x=-1\) et \( x=1. \) Utilise le test de la deuxième dérivée pour trouver si chaque point critique est un maximum local ou un minimum local.
Réponse :
Utilise deux fois la règle de puissance pour trouver la dérivée seconde de f(x), c'est-à-dire
\N[ f'(x) = x^4-1,\N]
et
\N[ f''(x) = 4x^3.\N]
Ensuite, évalue la dérivée seconde à chaque point critique, donc
\N-[ \N-{align} f''(-1) &= 4(-1)^3 \N-{align} &= -4, \N-{align} \N-[ \N-{align} \N-{align} \N-{align} \N-{align}]
et
\[ \N- f''(1) &= 4(1)^3 \N- &= 4. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Puisque tu as trouvé que f''(-1) <0 \N- il y a un maximum local situé à \N- x=-1. \N Egalement, puisque tu as trouvé que f''(1) >0 \N- il y a un minimum local situé à \N- x=1.\N
Nous allons maintenant utiliser la dérivée seconde d'une fonction pour vérifier sa concavité.
Trouve les intervalles pour lesquels la fonction
\[ g(x) = 2x^3 - x^2 + 3x + 1\]
est concave et convexe.
Réponse :
Commence par utiliser deux fois la règle de puissance pour trouver la dérivée seconde de \( g(x), \) de sorte que
\N- g'(x) = 6x^2 -2x +3, \N]
et
\N- g''(x) = 12x - 2.\N]
Ensuite, écris et résous l'inégalité \N( g''(x) < 0 \N) pour trouver l'endroit où la fonction est concave, c'est-à-dire
\N-[ \N- g''(x) &< 0 \N- 12x-2&<0 \N- 12x &< 2 \N- x &< \Nfrac{1}{6}, \Nend{align}]. \]
donc la fonction est concave dans l'intervalle \N( (-\infty, \frac{1}{6}).\N)
Enfin, écris et résous l'inégalité \N( g''(x) > 0 \N) pour trouver l'endroit où la fonction est convexe, c'est-à-dire
\[ \begin{align} g''(x) &> 0 \\ 12x-2&>0 \\ 12x &> 2 \\ x &> \frac{1}{6}. \NFin{align} \]
Par conséquent, la fonction est convexe dans l'intervalle \( (\frac{1}{6},\infty). \)
Le test de la seconde dérivée - Principaux enseignements
- Le test de la dérivée seconde est une méthode qui permet de savoir quel type d'extremum est un point critique.
- Si la dérivée seconde à un point critique est négative, la fonction a un maximum local à ce point.
- Si la dérivée seconde à un point critique est positive, la fonction a un minimum local à ce point.
- Si la dérivée seconde à un point critique est égale à zéro , le test n 'est pas concluant. Cela signifie que le point critique peut être un maximum local, un minimum local ou aucun des deux.
- La dérivée seconde d'une fonction donne également des informations sur la forme d'un graphique.
- Le graphique est concave dans un intervalle où sa dérivée seconde est négative.
- Le graphique est convexe dans un intervalle où sa dérivée seconde est positive.
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