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Sauter à un chapitre clé
Il y a des moments où le chariot monte et des moments où il descend. Entre les deux, il y a un petit moment où le chariot est aligné horizontalement, que tu peux utiliser pour reprendre ton souffle.
Les points où cela se produit ont un nom particulier et constituent un objet d'étude important en calcul. Qui a dit que le calcul et l'amusement ne faisaient pas bon ménage ?
Signification du test de la première dérivée
Le concept de point stationnaire est étroitement lié au test de la dérivée première. Commençons par jeter un coup d'œil à sa définition.
Soit \( f \) une fonction différentiable. Un point stationnaire ou point critique \N( c \N) est une valeur x pour laquelle la dérivée de \N( f \N) est égale à 0. C'est-à-dire,
\N- f'(c)=0.\N- f'(c)=0.\N- f'(c)=0.\N]
Puisque la dérivée d'une fonction en un point critique est égale à 0, une ligne tangente à la fonction en ce point aura une pente de 0, c'est-à-dire qu'il s'agira d'une ligne horizontale.
Lignes tangentes à une fonction cubique en ses points critiques
Une fonction peut avoir plus d'un point critique, et le test de la dérivée première est une méthode pour les trouver. Nous allons maintenant voir comment effectuer le test de la dérivée première.
Letest de la dérivée première est une méthode permettant de trouver les points critiques d'une fonction différentiable \( f.\) Il consiste en ce qui suit :
- Trouve la dérivée de la fonction.
- Évalue la dérivée de la fonction en un point critique et fixe-la à 0, c'est-à-dire écris l'équation indiquant que \( f'(c)=0. \)
- Résous l'équation de l'étape précédente pour trouver la ou les valeurs de \Nc \Nà l'intérieur du domaine de \Nf \Nqui sont des points critiques.
Le test de la dérivée première reçoit son nom du fait que tu dois trouver la dérivée de la fonction que tu inspectes.
Suivons ces étapes dans un exemple.
Considère la fonction\[ f(x)=x^2+6x+10. \]
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
Commence par remarquer que, puisque rien d'autre n'est indiqué, tu peux supposer que le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres réels. Maintenant, pour les étapes :
1. Trouve la dérivée de la fonction.
La fonction donnée est une fonction polynomiale, tu peux donc trouver sa dérivée en utilisant la règle de la puissance, c'est-à-dire
\[f'(x)=2x+6.\N-]
2. Évalue la dérivée à un point critique et fixe-la à 0.
Tu évalues d'abord la dérivée à un point critique \N( c, \N) de sorte que
\N-[f'(c)=2c+6,\N]
puis tu la fixes à 0, ce qui donne l'équation suivante
\[2c+6=0.\]
3. Résous l'équation obtenue pour \N( c.\N)
L'équation obtenue est une équation linéaire qui peut être résolue en isolant \N( c, \N), c'est-à-dire
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Par conséquent, la fonction a un point critique à \N( x=-3.\N).
Il est également possible qu'une fonction n' ait pas de point critique.
Considère la fonction
\[g(x)=e^x.\N-]
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
Une fois de plus, tu peux supposer que le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres réels puisque rien d'autre n'est indiqué ci-dessus.
1. Trouve la dérivée de la fonction.
La fonction donnée est une fonction exponentielle, dont la dérivée est elle-même, donc
\N-[g'(x)=e^x.\N]\N-[g'(x)=e^x.\N]
2. Évalue la dérivée en un point critique et fixe-la à 0.
Cette étape est plutôt simple, alors évalue d'abord
\N[g'(c)=e^c\]
puis la fixer à 0 pour écrire l'équation
\N-[e^c=0.\N]
3. Résous l'équation obtenue pour \N( c.\N)
Malheureusement, comme il n'existe pas de fonction qui rende l'équation ci-dessus vraie, l'équation n'a pas de solution. Cela signifie que la fonction n'a pas de point critique.
Il est important de toujours vérifier le domaine de la fonction. Voyons pourquoi.
Considère la fonction
\[h(x)=x^2+2x+2, \quad \text{for}\quad x\geq 0.\N]
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
Maintenant, le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres non négatifs. Tu dois en tenir compte lorsque tu résoudras l'équation à la troisième étape !
1. Trouve la dérivée de la fonction.
Cette fonction polynomiale peut être différenciée à l'aide de la règle de puissance, donc
h'(x)=2x+2.\N- [h'(x)=2x+2.\N]
2. Évalue la dérivée en un point critique et fixe-la à 0.
Evalue \N(h'(x)\N) à \N(x=c,\N)
\N- [h'(c)=2c+2,\N]
et fixe-le à 0
\[2c+2=0.\]
3. Résous l'équation obtenue pour \N( c.\N )
Tu peux résoudre l'équation obtenue à l'étape précédente en isolant \N(c,\N) ainsi
\N- [\N- Début{align} 2c &= -2 \N- C &= -1.\N- Fin{align}]
Cette valeur ne se trouve pas dans le domaine de la fonction, donc la fonction n'a pas de point critique !
Le test de la dérivée première et les extrema locaux
Les points critiques sont étroitement liés aux extrema relatifs. Avant de poursuivre, voici un rappel sur la signification des extrema.
Un extremum d'une fonction se réfère soit à un maximum, soit à un minimum. Extrema est le pluriel d'extremum.
Pour un examen plus détaillé de ce sujet, consulte notre article sur les maxima et les minima !
L'exemple précédent concernant une fonction quadratique est excellent pour étudier la relation entre les points critiques et les extrema locaux. Dans cet exemple, tu as découvert que la fonction f(x) = x^2 + 6x + 10\) a un point critique à -3.\N- Regarde maintenant son graphique.
Graphique d'une ligne tangente à une fonction à son point critique
Il semble que les points critiques soient aussi les points où une fonction a des extrema locaux. Ce n'est pas toujours le cas, mais il existe un théorème qui établit ce lien.
Lethéorème de Fermat stipule que, si une fonction \N( f \N) a un maximum local ou un minimum local à \N(x=c,\N) et que la fonction est différentiable à ce point, alors \N( f'(c)=0.\N).
En d'autres termes, le théorème de Fermat te dit que si une fonction a un maximum local ou un minimum local en un point où elle est différentiable, alors c'est un point critique. Fais attention à ne pas mal interpréter ce théorème, car il y a quelques erreurs courantes lorsqu'on fait le pont entre les extrema locaux et les points critiques.
Erreurs courantes lorsqu'on fait le lien entre les points critiques et les extrema locaux
Le théorème de Fermat nous dit que si une fonction a un extremum local en un certain point , alors c'est un point critique. L'inverse n'est pas toujours vrai. Un exemple permet de mieux comprendre ce principe.
Considérons la fonction[f(x)=x^3-2.\N- f(x)=x^3-2.\N- f(x)=x^3-2.\N].
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
On peut supposer que le domaine de la fonction est constitué de tous les nombres réels, tu devrais donc procéder normalement.
1. Trouve la dérivée de la fonction.
Tu peux trouver la dérivée de cette fonction polynomiale à l'aide de la règle de puissance, donc
\[f'(x)=3x^2.\N-]
2. Évalue la dérivée en un point critique et fixe-la à 0.
Ensuite, tu évalues la dérivée obtenue à l'étape précédente à \(x=c\) pour obtenir
\Nf'(c)=3c^2,\N]
puis tu la fixes à 0 pour écrire une équation pour \( c\N)
\[3c^2=0.\]
3. Résous l'équation obtenue pour \N( c.\N)
L'équation obtenue à l'étape précédente n'est vraie que lorsque \(c=0,\N), ce qui signifie qu'il n'y a qu'un seul point critique à \N( x=0.\N).
Maintenant, tu pourrais être tenté de supposer que la fonction a un extremum local à 0, mais ce n'est pas le cas. Jette un coup d'œil à son graphique.
Graphique d'une fonction cubique sans extrema local
Cette fonction cubique n'a pas d'extrema local, mais le point critique se trouve tout de même à \(x=0.\). Note que la pente au point critique est de 0.
Tu as constaté que tous les points critiques ne sont pas des extrema locaux dans l'exemple ci-dessus. Examinons maintenant une autre erreur courante.
Considère la fonction
\[g(x)=|x-2|+1.\N-]
Maintenant, jette un coup d'œil à son graphique.
La fonction a un minimum relatif à \(x=2,\N), tu pourrais donc être tenté de supposer qu'il s'agit également d'un point critique. Cependant, la fonction n'est pas différentiable à \(x=2,\) et ce n' est donc pas un point critique.
Tu as maintenant découvert que tous les extrema locaux ne sont pas des points critiques. Il faut que la fonction soit différentiable à ses extrema relatifs pour être un point critique.
Le test de la dérivée première pour les fonctions multivariables
Lorsque tu cherches des informations sur le test de la dérivée première, il se peut que tu tombes sur des fonctions multivariables. Ce sujet est généralement réservé aux niveaux supérieurs, alors si tu es suffisamment curieux, plonge dedans !
Lorsqu'on te donne une fonction de plusieurs variables, le test de la première dérivée est légèrement modifié. Tu dois faire ce qui suit :
- Trouve chaque dérivée partielle de la fonction par rapport à toutes ses variables.
- Évalue chaque dérivée partielle à un point critique et fixe-les toutes à 0. Autrement dit, écris un système d'équations indiquant que chaque dérivée partielle évaluée à un point critique est égale à 0.
- Résous le système d'équations pour trouver les points critiques.
Voyons un exemple du test de la dérivée première appliqué à une fonction de deux variables !
Considère la fonction
\[f(x,y)=x^2-xy+2y.\]
Trouve ses points critiques.
Réponse :
Comme ses entrées sont des points du plan, ses points critiques seront des paires ordonnées de la forme \( (a,b). \)
1. Trouve chaque dérivée partielle de la fonction par rapport à toutes ses variables.
Les deux dérivées partielles de cette fonction peuvent être trouvées à l'aide de la règle de puissance, donc
\N[\Nfrac{\Npartial f}{\Npartial x}=2x-y,\N]
et
\frac{\partial f}{\partial y}=-x+2,\N-x+2,\N-x+2,\N-x+2,\N-x+2.\N]
2. Évalue chaque dérivée partielle en un point critique et fixe-les toutes égales à 0.
Puisque les points critiques ont la forme \N( (a,b), \N), évalue les deux dérivées partielles en utilisant \N( x=a) et \N( y=b,\N).
\N[\Nà gauche. \Nfrac{\Npartial f}{\Npartial x}\Nà droite|{(a,b)}=2a-b,\N]
et
\N[\Nà gauche. \Nfrac{\Npartial f}{\Npartial y}\Ndroite|_{(a,b)}=-a+2.\N]
En mettant les expressions ci-dessus égales à 0, tu obtiens le système d'équations suivant
\[\begin{cases}2a-b &= 0 \\ -a+2 &= 0.\end{cases}\]
3.Résous le système d'équations pour trouver les points critiques.
Tu peux maintenant résoudre le système d'équations ci-dessus à l'aide d'une méthode de ton choix, en obtenant
\[\begin{cases}a &= 2 \\ b &= 4.\end{cases}\]
Cela signifie qu'il n'y a qu'un seul point stationnaire, qui se trouve à \N( (2,4).\N).
Remarque que si la fonction a trois variables, tu devras évaluer les trois dérivées partielles et écrire trois équations. En général, si la fonction a \N(n\N) variables, tu auras besoin de \N(n\N) dérivées partielles et de \N (n\N) équations.
Exemples du test de la première dérivée
Nous allons examiner ici d'autres exemples du test de la dérivée première. Allons-y !
Considère la fonction
\[f(x)=x^4-2x^2+1.\N-]
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
1. Trouve la dérivée de la fonction.
Tu peux trouver la dérivée de cette fonction polynomiale en utilisant la règle de la puissance, donc
\N-[f'(x)=4x^3-4x.\N]\N-[f'(x)=4x^3-4x.\N]
2. Évalue la dérivée en un point critique et fixe-la à 0.
Ensuite, tu évalues la dérivée obtenue à l'étape précédente à \(x=c\) pour obtenir
\Nf'(c)=4c^3-4c,\N]
puis tu la fixes à 0 pour écrire une équation pour \( c\N)
\N- 4c^3-4c=0.\N]
3. Résous l'équation obtenue pour \( c.\N)
Pour résoudre cette équation, commence par remarquer que tu peux factoriser \(4c\) dans le côté gauche de l'équation, c'est-à-dire
\[4c^3-4c=4c(c^2-1).\]
De plus, tu peux également factoriser la différence des carrés, ce qui donne
\[4c^3-4c=4c(c-1)(c+1).\]
En replaçant ce résultat dans l'équation, tu obtiens
\[4c(c-1)(c+1)=0,\]
ce qui signifie que
\[4c=0,\]
\[c-1=0,\]
et
\[c+1=0.\]
En résolvant les équations ci-dessus, tu peux trouver que \N( c=0,\N) \N(c=1,\N) et \N(c=-1.\N) Par conséquent, cette fonction a trois points critiques !
Voyons maintenant un exemple impliquant une fonction trigonométrique.
Considère la fonction
\[g(x)=\sin{x}.\N]
Utilise le test de la dérivée première pour trouver ses points critiques.
Réponse :
1.Trouve la dérivée de la fonction.
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, c'est-à-dire
\N-[g'(x)=\cos{x}.\N]\N-[g'(x)=\Ncos{x}.\N]
2. évalue la dérivée en un point critique et fixe-la à 0.
En évaluant la fonction ci-dessus à \(x=c\)
\N-[g'(c)=\cos{c},\N]
et en la fixant à 0, tu obtiens une équation pour \(c,\N)
\N- [\Ncos{c}=0.\N]
3. résous l'équation obtenue pour \N( c.\N)
La fonction cosinus a ses zéros aux multiples impairs positifs et négatifs de \( ^\pi / _2, \), c'est-à-dire,
\[\pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\]
et ainsi de suite. Tu peux exprimer ces multiples impairs en utilisant un facteur de \N( 2n-1\N) parce qu'en soustrayant 1 d'un nombre pair, on obtient un nombre impair, donc
\[c = \N gauche( 2n-1 \N droite)\Nfrac{\pi}{2}, \Nquad \Ntext{ pour }\N n=1, 2, 3, \Npoints .\N].
La fonction sinus a un nombre infini de points critiques !
Le test de la dérivée première et la concavité
Bien qu'il soit lié à la forme d'un graphique, le test de la première dérivée est un test permettant de trouver des points critiques, ce n'est pas un test permettant de trouver la concavité d'un graphique. Dans ce cas, tu devrais plutôt jeter un coup d'œil à notre article sur le test de la seconde dérivée.
Test de la première dérivée - Principaux enseignements
- Un point stationnaire ou point critique est une valeur x pour laquelle la dérivée d'une fonction est égale à 0.
- Le test de la dérivée première consiste à trouver les points critiques d'une fonction.
- Tu peux effectuer le test de la dérivée première en suivant les étapes suivantes :
- Trouve la dérivée de la fonction.
- Évalue la dérivée de la fonction en un point critique \(c\N) et fixe-la à 0. Autrement dit, écris l'équation \N( f'(c)=0.\N).
- Résous l'équation ci-dessus pour trouver les points critiques. N'oublie pas de n'inclure que les valeurs à l'intérieur du domaine de la fonction !
- Le test de la dérivée première est lié aux extrema locaux au moyen du théorème de Fermat sur les points stationnaires.
- Ce n'est pas parce que quelque chose est un point critique qu'il s'agit d'un extremum local !
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