La règle du trapèze: Aires, Formules

Table des mateères

La règle du trapèze est une forme de la somme de Riemann. Cependant, la règle trapézoïdale utilise des trapèzesa> plutôt que des rectangles ! Il est intéressant de noter que l'utilisation de sous-régions trapézoïdales pour obtenir une approximation de la surface est généralement plus exacte que l'utilisation de rectangles. Dans cet article, nous allons explorer la dérivation, la formule et l'erreur de la règle trapézoïdale. Enfin, nous appliquerons la règle du trapèze à quelques exemples.

Définition de la règle trapézoïdale et formule de calcul de l'aire

Avant de voir comment cette technique est utilisée en pratique, définissons ce qu'est cette règle !

Larègle trapézoïdale est une technique d'approximation intégrale qui divise l'aire sous la courbe en petits trapèzes. La surface de chaque trapèze est additionnée pour obtenir une approximation de la surface totale sous la courbe.

Règle trapézoïdale aire sous la courbe sous-régions trapézoïdales StudySmarter

La règle des trapèzes estime l'aire sous la courbe en divisant la région en sous-régions trapézoïdales - StudySmarter Original

L'aire d'un trapèze est définie comme suit

$\frac{1}{2} \times (distance between each base) \times (sum of the length of each base)$

En transposant cette formule à la figure ci-dessus, nous pouvons dire que l'aire du trapèze le plus à gauche est définie comme suit.

$\frac{1}{2} \times (∆ x) \times (f (x_{0}) + f (x_{1})) = \frac{∆ x}{2} \times (f (x_{0}) + f (x_{1}))$

De même, la formule de l'aire du 2e trapèze le plus à gauche est définie comme suit .

$\frac{1}{2} \times (∆ x) \times (f (x_{1}) + f (x_{2})) = \frac{∆ x}{2} \times (f (x_{1}) + f (x_{2}))$

La formule de l'aire de chaque trapèze est formulée de la même façon. La règle trapézoïdale stipule que nous pouvons estimer l'aire sous la courbe en additionnant l'aire de chacun de ces trapèzes. La règle trapézoïdale est obtenue en factorisant $\frac{∆ x}{2}$ et en additionnant la longueur de chaque base, où $f (x_{1})$ à travers $f (x_{n - 1})$ sont multipliées par un facteur de deux parce qu'il s'agit de bases partagées par d'autres trapèzes.

Ensuite, pour l'approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x), la règle trapézoïdale s'énonce comme suit

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{2} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + . . . + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]

où n est le nombre de trapèzes, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ et $x_{i} = a + i ∆ x$ .

Lorsque le nombre de sous-régions trapézoïdales n s'approche de l'infini, le côté droit de la règle trapézoïdale se rapproche de l'intégrale définie du côté gauche. En d'autres termes, l'approximation de l'intégrale devient plus précise à mesure que n augmente.

Surestimation et sous-estimation à l'aide de la règle trapézoïdale

Regarde à nouveau le graphique sous la définition de la règle trapézoïdale. Remarque que certaines sous-régions trapézoïdales restent sous le graphique alors que d'autres sous-régions dépassent le graphique. Lorsque le graphique est "concave vers le haut" (le graphique se courbe vers le haut), les sous-régions ont tendance à surestimer l' aire sous la courbe.

Lorsque le graphique est "concave vers le bas" (le graphique s'incline vers le bas), les sous-régions ont tendance à sous-estimer l'aire sous la courbe. En se basant sur la concavité d'une fonction, on peut utiliser cette observation pour savoir si la règle trapézoïdale surestimera ou sous-estimera l'aire sous la courbe.

Tu trouveras ci-dessous un exemple graphique illustrant la différence entre une surestimation et une sous-estimation.

Règle du trapèze différence entre surestimation et sous-estimation sur un graphique StudySmarter Remarque que les trapèzes s'étendent au-dessus de la fonction lorsqu'il y a surestimation et se situent en dessous de la fonction lorsqu'il y a sous-estimation - StudySmarter Originals

Limites d'erreur de la règle trapézoïdale

Comme les techniques d'intégration numérique, comme la règle trapézoïdale, sont une estimation, le calcul de l'erreur de cette estimation est incroyablement important.

Erreur relative

En faisant preuve de bon sens, nous calculons l'erreur relative d'un calcul de la règle trapézoïdale (exprimée en pourcentage) à l'aide de la formule de l'erreur relative :

\begin{array}{rcl} R e l a t i v e e r r o r & = & \frac{|a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l|}{a c t u a l} \times 100 % \\ = & \frac{|T_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x|}{\int_{a}^{b} f (x) d x} \times 100 % \end{array}

où $T_{n}$ est l'approximation de l'intégrale par la règle trapézoïdale et $\int_{a}^{b} f (x) d x$ est la surface réelle.

Il n'est pas toujours possible de calculer exactement l'intégrale d'une fonction ! Il peut même être trop difficile d'approximer certaines intégrales définies (plus d'informations à ce sujet dans nos articles universitaires...). Tu peux aussi voir l'approfondissement dans notre article sur l'approximation des aires pour avoir un avant-goût !

Erreur absolue

En plus de l'erreur relative, l'erreur absolue de notre approximation à l'aide de la règle du trapèze peut être calculée à l'aide de la formule de l'erreur absolue :

$\begin{array}{rcl} A b s o l u t e e r r o r & = & |a p p r o x i m a t i o n - a c t u a l| \\ = & |T_{n} - \int_{a}^{b} f (x) d x| \end{array}$

Limites d'erreur pour la règle trapézoïdale

Nous pouvons utiliser une formule de limite d'erreur pour nous indiquer la surface maximale possible de notre approximation. Pour la règle trapézoïdale, la formule de limite d'erreur est la suivante

$|E_{T}| \leq \frac{K {(b - a)}^{3}}{12 n^{2}}$ pour $|f'' (x)| \leq K$

où $E_{T}$ est l'erreur exacte pour la règle trapézoïdale et $f'' (x)$ est la dérivée seconde de f(x). Essentiellement, K est la valeur maximale de la dérivée seconde sur l'intervalle [a, b].

L'utilisation de la limite d'erreur aura plus de sens lorsque nous aurons travaillé sur quelques exemples.

Exemples d'utilisation de la règle du trapèze pour estimer l'intégrale

Exemple 1

Considère la fonction $f (x) = \frac{1}{x}$ sur l'intervalle fermé [1, 3]. Utilise la règle du trapèze pour estimer la valeur de la fonction. $\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x$ en utilisant n = 4. Trouve ensuite n tel que la limite d'erreur soit de 0,001 au maximum.

Trace le graphique de f(x) pour visualiser la courbe.

Règle du trapèze graphique de 1/x avec 4 sous-régions StudySmarter Exemple 1 : Graphique de 1/x - StudySmarter Original

Étape 1 : Trouver $∆ x$

Branche notre intervalle donné et nos n sous-régions :

$∆ x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Étape 2 : Branche les valeurs connues sur la formule de la règle trapézoïdale.

À partir de là, tout ce qu'il nous reste à faire est de brancher nos valeurs connues sur la formule de la règle trapézoïdale. Puisque notre intervalle est [1, 3] et que le problème nous demande d'utiliser n = 4, $x_{i} = 1 + i (\frac{1}{2})$ ce qui signifie que chaque trapèze a une largeur de $\frac{1}{2}$ unités.

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x & \approx & \frac{\frac{1}{2}}{2} [f (1) + 2 f (1.5) + 2 f (2) + 2 f (2.5) + f (3)] \\ = & \frac{1}{4} [\frac{1}{1} + \frac{2}{1.5} + \frac{2}{2} + \frac{2}{2.5} + \frac{1}{3}] \\ = & \frac{1}{4} [\frac{67}{15}] \\ = & \frac{67}{60} u n i t s^{2} \end{array}$

Étape 3 : Déterminer si notre estimation est une surestimation ou une sous-estimation

En regardant le graphique de f, nous pouvons voir que sur l'intervalle [1, 3], le graphique est concave vers le haut, donc notre estimation est probablement une surestimation.

Étape 4 : Considérer la limite d'erreur maximale

Utilisons notre formule de limite d'erreur pour voir exactement à quel point notre approximation est surestimée.

Dans la formule de la limite d'erreur $E_{T}$ notre seule valeur inconnue est K. Cependant, nous pouvons utiliser la dérivée seconde de f(x) pour trouver K.

Puisque $f (x) = \frac{1}{x}, f' (x) = \frac{- 1}{x^{2}}, f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$ en utilisant la règle de puissance.

Pour trouver K, nous devons considérer où $|f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}|$ sera le plus grand sur l'intervalle [1, 3]. Nous savons que la minimisation de x maximisera f''(x). Donc $|f'' (x)|$ est le plus grand lorsque x = 1.

$f'' (1) = \frac{2}{1^{3}} = 2 = K$

Maintenant que toutes les valeurs de $E_{T}$ sont connues, il suffit de les brancher pour trouver notre limite.

$|E_{T}| \leq \frac{2 {(3 - 1)}^{3}}{12 {(4)}^{2}} = \frac{16}{192} = 0.083$

Au maximum, l'erreur de notre estimation est de 0,083.

Étape 5 : Trouver un minimum n tel que l'erreur soit au plus égale à 0,001

Pour trouver le minimum n garantissant que l'erreur est inférieure à 0,001, nous laissons n être notre inconnue.

$\frac{16}{12 n^{2}} \leq 0.001 \to \frac{4000}{3} \leq n^{2} \to 36.5 \leq n$

Ainsi, pour que notre erreur soit au plus égale à 0,001, nous devons utiliser au moins 37 sous-régions trapézoïdales.

Exemple 2

Utilise la règle du trapèze pour calculer approximativement l'aire sous la courbe de f(x), que tu supposeras différentiable sur [-3, 3], donnée dans le tableau ci-dessous avec n = 6.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	0	2	5	9	14	20	27

Étape 1 : Trouve $∆ x$

En introduisant l'intervalle donné et les n sous-régions :

$∆ x = \frac{3 - (- 3)}{6} = 1$

Étape 2 : Insérer les valeurs connues dans la règle trapézoïdale.

À partir de là, tout ce que nous avons à faire est de brancher nos valeurs connues sur la formule de la règle trapézoïdale. Puisque notre intervalle est [-3, 3] et que le problème nous demande d'utiliser n = 6, $x_{i} = 1 + i$ ce qui signifie que chaque trapèze a une largeur de 1 unité.

$\begin{array}{rcl} \int_{- 3}^{3} f (x) d x & \approx & \frac{1}{2} [f (- 3) + 2 f (- 2) + 2 f (- 1) + 2 f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + f (3)] \\ = & \frac{1}{2} [0 + 2 (2) + 2 (5) + 2 (9) + 2 (14) + 2 (20) + 27] \\ = & \frac{1}{2} [127] \\ = & 63.5 {units}^{2} \end{array}$

Étape 3 : Déterminer si notre estimation est une surestimation ou une sous-estimation

Bien que nous n'ayons pas de graphique de notre fonction, ferme les yeux et essaie de visualiser ce à quoi cette fonction pourrait ressembler compte tenu du tableau des valeurs. Étant donné que toutes les valeurs du tableau sont croissantes sur le domaine et que le taux auquel les valeurs augmentent est également croissant, nous pouvons supposer que f(x) est concave vers le haut. Ainsi, nous pouvons supposer en toute connaissance de cause que notre approximation est probablement surestimée.

Sans la fonction f(x), nous ne pouvons pas vérifier la limite d'erreur maximale car nous ne pouvons pas prendre la dérivée seconde d'un tableau de valeurs.

Règle trapézoïdale et règle de Simpson

L'estimation des surfaces à l'aide de trapèzes et de rectangles utilise des lignes droites sur le dessus de la forme. En lisant l'article sur la règle de Simpson, tu découvriras que nous remplaçons les lignes droites des trapèzes et des rectangles par une courbe (plus précisément, une courbe parabolique). Tu trouveras plus d'informations à ce sujet dans l'article sur la règle de Simpson !

La règle trapézoïdale - Principaux enseignements

Larègle trapézoïdale est une technique d'approximation de l'intégrale qui divise l'aire sous la courbe en petits trapèzes et additionne l'aire de chaque trapèze pour obtenir une approximation de l'aire totale sous la courbe.
Pour l'approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x), la règle trapézoïdale est la suivante $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{∆ x}{2} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + 2 f (x_{2}) + . . . + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$
où n est le nombre de trapèzes, $∆ x = \frac{b - a}{n}$ et $x_{i} = a + i ∆ x$
Lorsque l'on utilise la règle du trapèze sur une fonction concave vers le haut, les sous-régions ont tendance à surestimer l' aire sous la courbe.
Lorsque l'on utilise la règle du trapèze sur une fonction concave vers le bas, les sous-régions ont tendance à sous-estimer l'aire sous la courbe.
Nous pouvons utiliser une formule de limite d'erreur pour connaître l'erreur maximale possible de notre approximation.
- Pour la règle trapézoïdale, la formule de limite d'erreur est la suivante
  $|E_{T}| \leq \frac{K {(b - a)}^{3}}{12 n^{2}}$ pour $|f'' (x)| \leq K$
  où $E_{T}$ est l'erreur exacte pour la règle trapézoïdale et f''( x) est la dérivée seconde de f(x).

Fiches dans La règle du trapèze 3

Commence à apprendre

Décris la règle trapézoïdale avec des mots.

La règle trapézoïdale est une technique d'approximation intégrale qui divise l'aire sous la courbe en petits trapèzes. La surface de chaque trapèze est additionnée pour obtenir une approximation de la surface sous la courbe.

Plus tu utilises ______ trapèzes, plus l'approximation intégrale est précise.

plus

Pourquoi utilise-t-on la règle trapézoïdale ?

Les techniques d'intégration numérique, telles que la règle du trapèze, sont utilisées lorsque l'intégrale est trop difficile à calculer pour obtenir une réponse exacte.

Apprends avec 3 fiches de La règle du trapèze dans l'application gratuite StudySmarter

Nous avons 14,000 fiches sur les paysages dynamiques.

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en La règle du trapèze

Qu'est-ce que la règle du trapèze ?

La règle du trapèze est une méthode d'approximation pour calculer l'intégrale d'une fonction en utilisant des trapèzes pour estimer l'aire sous la courbe.

Comment utilise-t-on la règle du trapèze ?

Pour utiliser la règle du trapèze, divisez l'intervalle de l'intégrale en sous-intervalles égaux, calculez les aires des trapèzes formés et additionnez-les.

Pourquoi la règle du trapèze est-elle utile ?

La règle du trapèze est utile car elle offre une façon simple et rapide d'approximer les intégrales, surtout quand une solution analytique est complexe.

Quelle est la formule de la règle du trapèze ?

La formule de la règle du trapèze est (b-a)/2n [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(x(n-1)) + f(xn)].

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

Temps de lecture: 11 minutes
Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter

Sauvegarder l'explication

Toutes les ressources disponibles gratuitement pour étudier

Crée tes propres supports et documents pour étudier avec l'application gratuite StudySmarter

La règle du trapèze

Crée des supports d'apprentissage sur La règle du trapèze avec notre appli gratuite!

Définition de la règle trapézoïdale et formule de calcul de l'aire

Surestimation et sous-estimation à l'aide de la règle trapézoïdale