La règle de puissance: Exemples, Applications

Table des mateères

Prenons l'exemple de la dérivée. Trouver la dérivée d'une fonction est l'une des opérations de basea> du calcula>. Cependant, l'utilisation des limitesa> peut prendre beaucoup de temps car il y a de nombreuses étapes et beaucoup d'algèbre sont impliquées. Voici un exemple de ce processus.

Trouve la dérivée de $f (x) = x^{2}$ .

Utilise la définition d'une dérivée.

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Évalue $f (x + h)$ et $f (x)$ .

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Développe ${(x + h)}^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - x^{2}}{h}$

Simplifie.

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} (2 x + h)$

Évalue la limite.

$\frac{d f}{d x} = 2 x$

La dérivée de $f (x) = x^{2}$ est $\frac{d f}{d x} = 2 x$ .

Beaucoup d'étapes, n'est-ce pas ? Plutôt que d'effectuer toutes ces procédures, il existe de nombreuses formules de calcul que nous pouvons utiliser pour trouver les dérivées en moins d'étapes, ce qui nous fait gagner du temps et de l'énergie mentale. Ces formules sont connues sous le nom de règles de dérivation, et l'une de ces règles de dérivation est la règle de la puissance.

Formule de la règle de puissance et exemples

L'une des principales fonctions que l'on trouve en calcul est la fonction puissance.

Les fonctionspuissance sont des fonctions où la variable est la base et est élevée à n'importe quelle puissance d'un nombre réel.

$f (x) = x^{n}$

Ces fonctions sont essentielles en calcul pour construire des fonctions plus avancées, comme les fonctions polynomiales ou les fonctions rationnelles. Nous pouvons trouver la dérivée d'une fonction puissance en utilisant ce que l'on appelle la règle de la puissance. Jetons un coup d'œil à cette règle.

La règle de la puissance est une formule qui permet de trouver la dérivée d'une fonction puissance. Soit $n$ soit un nombre réel :

$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$

Cette règle peut rendre la recherche de dérivées en calcul beaucoup plus simple ! Prenons quelques exemples.

Trouve la dérivée de $f (x) = x^{5}$ .

Identifie la puissance de la fonction puissance. Cette fonction a une puissance de 5.

$f (x) = x^{5}$

Différencie à l'aide de la règle de la puissance.

$\frac{d f}{d x} = 5 x^{5 - 1}$

Simplifie l'exposant.

$\frac{d f}{d x} = 5 x^{4}$

La dérivée de $f (x) = x^{5}$ est $\frac{d f}{d x} = 5 x^{4}$ .

Nous pouvons utiliser la règle de puissance en combinaison avec d'autres règles de différenciation pour trouver la dérivée d'une fonction polynomiale. Voyons un exemple de ce processus.

Trouve la dérivée de $g (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$ .

Utilise les règles de la somme, de la différence et du multiplicateur constant.

$\frac{d g}{d x} = 3 \frac{d}{d x} x^{4} - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} x$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d g}{d x} = 3 (4 x^{3}) - 2 (3 x^{2}) + x^{0}$

Simplifie.

$\frac{d g}{d x} = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

La dérivée de $g (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$ est $\frac{d g}{d x} = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ .

Dérivation de la règle de puissance

Pour prouver la règle de puissance, nous allons examiner la dérivée de $f (x) = x^{n}$ en utilisant les limites. Nous n'avons besoin de trouver une telle dérivée en utilisant les limites qu'une seule fois, pour prouver notre formule. Nous pourrons ensuite utiliser cette formule chaque fois que nous aurons besoin de différencier une fonction puissance.

Nous commençons par utiliser la définition d'une dérivée.

$\frac{d}{d x} x^{n} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Ensuite, évalue $f (x + h)$ et $f (x)$ .

$\frac{d}{d x} x^{n} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h}$

Nous pouvons utiliser le théorème binomial pour développer ${(x + h)}^{n}$ .

${(x + h)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n}$

Les deux premiers coefficients binomiaux sont 1 et $n$ respectivement.

${(x + h)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n}$

Pour refléter la définition d'une dérivée, nous devons soustraire $x^{n}$ et diviser par $h$ des deux côtés de l'équation.

Nous avons maintenant l'expression suivante :

$\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n - 1}$

En prenant la limite lorsque h va jusqu'à 0, tous les termes qui contiennent h disparaissent. Il ne nous reste donc que $n x^{n - 1}$ .

$\lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1}$

Enfin, nous sommes arrivés à la règle de la puissance.

$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$

Règle de puissance pour les puissances négatives et fractionnaires

Nous n'avons prouvé que le cas impliquant des entiers positifs. Cependant, nous pouvons utiliser la règle de puissance lorsque les puissances sont négatives. La formule est la même.

Trouve la dérivée de $g (x) = x^{- 3}$ .

Identifie la puissance de la fonction puissance. Dans ce cas, la puissance est -3.

$g (x) = x^{- 3}$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{- 3 - 1}$

Simplifie l'exposant.

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{- 4}$

Nous pouvons également utiliser la règle des puissances pour les puissances fractionnaires, comme dans le cas d'une fonction de racine carrée.

Trouve la dérivée de $h (x) = \sqrt{x}$ .

Ecris la racine sous forme de puissance fractionnaire.

$h (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Simplifie la puissance.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Écris la puissance négative au dénominateur.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Écris la puissance comme une racine.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$

La règle de la puissance fonctionne lorsque n est un nombre réel quelconque. Heureusement, la formule est la même dans tous les cas !

Autres exemples de la règle de la puissance

Le calcul est plein de fonctions différentes auxquelles nous pouvons appliquer les règles de différenciation. Dans cette section, nous allons voir d'autres exemples de dérivées utilisant la règle de la puissance.

Trouve la dérivée de $f (x) = 2 x^{4} - x^{2}$ .

Utilise les règles de la somme, de la différence et du multiplicateur constant.

$\frac{d f}{d x} = 2 \frac{d}{d x} x^{4} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d f}{d x} = 2 (4 x^{3}) - 2 x$

Simplifie.

$\frac{d f}{d x} = 8 x^{3} - 2 x$

L'exemple suivant prend en compte les puissances négatives.

Trouve la dérivée de $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ .

Ecris la puissance au dénominateur sous la forme d'une puissance négative.

$g (x) = x^{2} + x^{- 2}$

Utilise la règle de la somme.

$\frac{d g}{d x} = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 2 x^{- 3}$

Écris l'exposant négatif comme dénominateur.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - \frac{2}{x^{3}}$

Examinons d'autres racines, que nous pouvons écrire sous forme de puissances fractionnaires.

Trouve la dérivée de $h (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^{5}}$ .

Ecris la racine sous forme de puissance fractionnaire.

$h (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

Ecris la puissance au dénominateur sous forme de puissance négative.

$h (x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{- 5}$

Utilise la règle de la somme.

$\frac{d h}{d x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} x^{- 5}$

Différencie en utilisant la règle de la puissance.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} - 5 x^{- 5 - 1}$

Simplifie les puissances.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 5 x^{- 6}$

Écris les puissances négatives comme dénominateurs.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{x^{6}}$

Écris les puissances fractionnaires sous la forme d'une puissance et d'une racine.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} - \frac{5}{x^{6}}$

Avec suffisamment de pratique, nous pouvons sauter certaines de ces étapes.

Erreurs courantes lors de l'utilisation de la règle de puissance

Nous ne pouvons pas utiliser la règle de la puissance si la variable est la puissance d'une expression.

Trouve la dérivée de $f (x) = 2^{x}$ .

Une erreur courante consiste à appliquer la règle de la puissance à des fonctions qui ne sont pas des fonctions puissances.

Nous ne pouvons pas appliquer la règle de la puissance dans un cas comme celui-ci parce que la fonction donnée n'est pas une fonction puissance.

$\frac{d}{d x} 2^{x} \neq x 2^{x - 1}$

Dans ce cas, nous pourrions plutôt utiliser la dérivée de la fonction exponentielle.

N'oublie jamais de diminuer la puissance d'une unité après avoir différencié la fonction !

Trouve la dérivée de $f (x) = x^{5}$ .

Une autre erreur fréquente est d'oublier de diminuer la puissance de la fonction puissance.

$\frac{d}{d x} x^{5} \neq 5 x^{5}$

Il faut se rappeler que la puissance diminue lorsqu'on différencie une fonction puissance.

$\frac{d}{d x} x^{5} = 5 x^{4}$

La règle de la puissance - Principaux enseignements

La règle de la puissance est une formule qui permet de trouver la dérivée des fonctions puissances.
La formule de la règle de puissance est la suivante : $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$
Nous pouvons utiliser la règle de la puissance pour tout nombre réel n, y compris les nombres négatifs et les fractions.
Nous pouvons utiliser la règle de la puissance et les règles de dérivation de base telles que les règles de la somme, de la différence et du multiplicateur constant pour différencier les fonctions polynomiales.

Fiches dans La règle de puissance 5

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La règle de la puissance peut être utilisée si la puissance est un nombre entier négatif.

Vrai.

La règle de la puissance peut être utilisée si la puissance est une fraction.

Vrai.

La règle de la puissance peut être utilisée si la variable est la puissance.

Faux.

La règle de la puissance peut être utilisée si la puissance est une fraction négative.

Vrai.

Comment peux-tu utiliser la règle de puissance pour différencier la fonction racine carrée ?

Écris la racine carrée sous forme de puissance fractionnaire. Utilise ensuite la règle de la puissance.

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Questions fréquemment posées en La règle de puissance

Qu'est-ce que la règle de puissance?

La règle de puissance est une méthode de dérivation qui dit que la dérivée de x^n est n*x^(n-1).

Comment appliquer la règle de puissance?

Pour appliquer la règle de puissance, multipliez l'exposant par le coefficient et diminuez l'exposant de un.

Quand utilise-t-on la règle de puissance?

On utilise la règle de puissance pour trouver la dérivée d'une fonction polynomiale.

Quels sont les exemples de la règle de puissance?

Un exemple est la dérivée de x^3, qui est 3x^2.

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