La Méthode des Disques

Définition de la méthode du disque

La méthode du disque est une méthode d'intégration qui découpe un solide de révolution en une série de disques tridimensionnels et additionne le volume de chaque disque pour trouver le volume total du solide.

La méthode du disque découpe le solide de révolution en une série de disques aplatis. Chaque disque est contenu dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation.

Pour trouver le volume du solide entier, le volume de chaque disque est additionné.

Graphique de la méthode du disque

Pour mieux comprendre l'idée qui sous-tend la méthode du disque, jette un coup d'œil à l'image ci-dessous.

Figure 1. Volume d'un disque perpendiculaire à l'axe \(x-\)obtenu en découpant le solide de révolution.

La section transversale d'un disque est un cercle d'une surface de \(\pi r^{2}\), tu peux donc trouver le volume de chaque disque en multipliant sa surface par son épaisseur, soit

\[V_{{text{disk}}=\pi r^2 \Delta x,\]

où \( \Delta x \) est un petit sous-intervalle de l'intervalle d'intégration.

Pour trouver le volume du solide tourné autour de l'axe \N(x-\N), tu découpes le solide de façon à ce que les tranches soient contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe \N(x-\N). Le volume de chaque tranche, ou disque, est additionné, ce qui donne une estimation du volume du solide. Tu obtiens le volume exact du solide en découpant le solide en une infinité de disques et en intégrant à la place.

Si le solide est obtenu par une rotation autour de l'axe \(y-\), alors les disques doivent être dans un plan perpendiculaire à l'axe \(y-\). En général, les tranches sont contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation.

Équation pour la méthode du disque

La section transversale d'un disque est un cercle d'une surface de \(\pi r^{2}\), tu peux donc trouver le volume de chaque disque en multipliant sa surface par son épaisseur, soit

\[V_{{text{disk}}=\pi r^2 \Delta x,\]

où \( \Delta x \) est l'épaisseur du disque, et est la longueur d'un petit sous-intervalle de l'intervalle d'intégration.

Pour obtenir le volume du solide complet, tu dois prendre d'autres éléments en considération.

1. Le rayon de chaque disque est maintenant donné par la fonction, de sorte que \(r\) devient \(f(x)\).

2. Le disque devient très fin, donc \N(\NDelta x) devient \N(\Nmathrm{d}x \N).

3. Au lieu d'additionner tous les disques, tu les intègres, ce qui signifie que la somme, \N(\Nsum \N), devient l'intégration, \N(\Nint\N).

Le volume \N( V \N) d'un solide généré en faisant tourner la région délimitée \N(y=f(x)\Net l'axe \N(x) sur l'intervalle \N([a, b]\Nautour de l'axe \N(x) est alors donné par

\[V=\int_a^b \pi \left[f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x.\N]

Note que dans la formule ci-dessus, les disques sont perpendiculaires à l'axe \N(x) parce que la révolution s'est faite autour de l'axe \N(x-\N).

Si la révolution se fait autour de l'axe \Ny, la formule est adaptée comme suit

\N[V=\int_a^b \Npi \Nà gauche[ f(y) \Nà droite] ^2\N, \Nmathrm{d}y, \N]

où les disques sont perpendiculaires à l'axe \(y\).

Exemples de la méthode des disques

Entraînons-nous à trouver les volumes des solides à l'aide de la méthode du disque en regardant quelques exemples !

Qu'en est-il d'un solide obtenu en faisant tourner une région autour de l'axe \(y-\) ?

La méthode des coquilles et la méthode des disques

La méthode des coques, également connue sous le nom de méthode des coques cylindriques, est une autre méthode utilisée pour calculer le volume d'un solide de révolution. La différence entre la méthode des coquilles et la méthode des disques est laforme du solide de révolution.

Avec la méthode du disque, tu divises le solide en une infinité de disques. En revanche, la méthode des coques découpe le solide en une infinité de cylindres creux . Cette méthode ne sera pas abordée dans cet article.