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Les fonctions peuvent avoir des graphiques fascinants - des modèles cachés, des formes fantastiques et des symétries. Prends, par exemple, le graphique ci-dessous.
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Équipe enseignants Intégration des fonctions paires et impaires
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Envoyer des commentairesGraphique d'une fonction quartique symétrique - StudySmarter Originals
Tu as remarqué quelque chose ? On dirait que nous avons placé un miroir sur l'axe des ordonnées ! Jetons maintenant un coup d'œil à un autre graphique :
Graphique d'un motif symétrique utilisant la fonction cosinus - StudySmarter Originals
Un graphique avec un reflet sur l'axe des x n'est pas une fonction parce qu'il échoue au test de la ligne verticale. Cependant, si nous faisons glisser la partie située sous l'axe des x vers la gauche, nous avons maintenant une symétrie de rotation par rapport à l'origine !
Graphique du cosinus transformé en fonction - StudySmarter Originals
Les fonctions qui possèdent ce type de symétries reçoivent des noms uniques. De plus, ces symétries peuvent être utilisées en notre faveur lors de l'intégration de ces fonctions.
Nous pouvons classer certaines fonctions en fonctions paires ou impaires. Mais qu'est-ce que cela signifie ? Jetons un coup d'œil à chaque définition.
Une fonction est dite paire, ou symétrique, si
En d'autres termes, une fonction paire est une fonction dont la sortie ne change pas si nous changeons le signe de son entrée. Qu'en est-il des fonctions impaires ?
On dit qu'une fonction est une fonction impaire, ou fonction antisymétrique, si pour toutes les valeurs x de son domaine.
En revanche, si nous changeons le signe de l'entrée d'une fonction impaire, nous obtiendrons l'opposé de sa sortie. Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour trouver des intégrales définies de fonctions paires ou impaires.
N'oublie pas que certaines fonctions ne sont ni paires ni impaires !
Pour les graphiques des fonctions paires, chaque valeur à gauche de l'ordonnée reflète la valeur à droite de celle-ci. Cette caractéristique nous donne la formule des intégrales définies des fonctions paires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction paire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'aire comprise entre une fonction paire et l'axe des x positif.
L'aire entre une fonction paire et l'axe des x positif - StudySmarter Originals
Nous pouvons la comparer à l'aire entre la même fonction et l'axe des abscisses négatif.
L'aire entre la même fonction paire et l'axe des x négatif - StudySmarter Originals
Remarque que les aires sont les mêmes ; elles sont simplement réfléchies sur l'axe des y. Cette observation signifie que nous pouvons trouver l'aire de l'intervalle entier en multipliant l'une ou l'autre de ces aires par 2. Généralement, nous utilisons l'aire au-dessus de l'axe des x positif, ce qui nous donne la formule d'intégration des fonctions paires :
Le graphique d'une fonction impaire ressemble à celui d'une fonction paire, mais les valeurs du miroir sont négatives. Tu trouveras ci-dessous la formule d'intégration des fonctions impaires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction impaire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'intégrale définie d'une fonction impaire.
Intégrale d'une fonction impaire - StudySmarter Originals
Remarque que les aires sont de nouveau les mêmes, mais qu'elles sont maintenant réfléchies sur les deux axes. Dans ce cas, une aire est le négatif de l'autre. Par conséquent, si nous les additionnons, le résultat est égal à 0. À partir de ce fait, nous obtenons la formule des intégrales définies des fonctions impaires :
Nous pouvons utiliser les propriétés des fonctions paires et impaires pour prouver les formules d'intégration des fonctions paires et impaires. Allons-y !
Soit une fonction paire. Considérons l'intégrale définie .
Nous pouvons diviser cette intégrale en deux intervalles en utilisant les propriétés des intégrales.
Puisque c'est une fonction paire, nous pouvons remplacer par dans le premier terme du côté droit de l'équation.
Nous effectuons maintenant une substitution u (voir Intégration par substitution) dans le même terme en laissant . De cette façon, la limite inférieure de l'intégration devient .
Nous utilisons maintenant le signe moins à l'intérieur de l'intégrale pour inverser les limites de l'intégrale définie.
Puisque les intégrales impliquées dans l'équation ci-dessus sont toutes des intégrales définies, la variable d'intégration n'a aucune importance. Par conséquent, le premier et le deuxième terme du côté droit de l'équation sont égaux.
Cette équivalence nous donne la formule d'intégration des fonctions paires.
Soit une fonction impaire. Considère l'intégrale définie .
Nous diviserons également cette intégrale.
Puisque est une fonction impaire, nous pouvons la remplacer par . Cette substitution revient essentiellement à changer le signe de la fonction de positif à négatif, puis de nouveau à positif.
Nous pouvons maintenant procéder de la même manière que pour l'intégrale d'une fonction paire en effectuant la même substitution u et en simplifiant.
Les deux termes du côté droit de l'équation sont les négatifs l'un de l'autre. Leur somme est donc égale à 0. Cette simplification nous donne la formule d'intégration des fonctions impaires.
Lorsque nous utilisons les formules d'intégration des fonctions paires et impaires, nous devons nous assurer que notre fonction est paire ou impaire. Voyons comment procéder.
Trouve la valeur de l'intégrale définie :
Solution :
Nous commençons par vérifier si la fonction donnée est paire ou impaire.
Règle la valeur de l'intégrande de l'intégrale définie.
Évalue et simplifie en utilisant les propriétés des exposants.
Nous avons vérifié que la fonction est paire car . Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration des fonctions paires.
Intégrer à l'aide des formules d'intégration de base.
Évalue et simplifie.
L'utilisation de cette formule est que l'évaluation quand est relativement simple. Voyons un autre exemple.
Trouve la valeur de l'intégrale définie : .
Solution :
Une fois de plus, nous commençons par inspecter si la fonction est paire ou impaire.
Règle la valeur de l'intégrande de l'intégrale définie.
Évalue et simplifie en utilisant les propriétés des exposants.
Élimine le facteur -1.
Nous avons vérifié que la fonction est impaire car . Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration des fonctions impaires.
Remarque que nous n'avons pas eu besoin d'utiliser d'autres règles d'intégration !
Voici un petit conseil pour les fonctions polynomiales ! Si tous les exposants de la fonction polynomiale sont des nombres pairs (ou des termes constants), alors la fonction est paire. De même, si tous les exposants de la fonction polynomiale sont impairs, alors la fonction est impaire. Grâce à ce raccourci, tu n'as pas besoin d'évaluer f(-x) et tu peux rapidement savoir quelle formule utiliser !
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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