Les fonctions peuvent avoir des graphiques fascinants - des modèles cachés, des formes fantastiques et des symétries. Prends, par exemple, le graphique ci-dessous.
Merci de votre intérêt pour les préférences d’apprentissage !
Merci pour ton intérêt pour les différentes méthodes d’apprentissage ! Quelle méthode préfères-tu ? (par exemple, « Audio », « Vidéo », « Texte », « Pas de préférence »)
(optionnel)
Graphique d'une fonction quartique symétrique - StudySmarter Originals
Tu as remarqué quelque chose ? On dirait que nous avons placé un miroir sur l'axe des ordonnées ! Jetons maintenant un coup d'œil à un autre graphique :
Graphique d'un motif symétrique utilisant la fonction cosinus - StudySmarter Originals
Un graphique avec un reflet sur l'axe des x n'est pas une fonction parce qu'il échoue au test de la ligne verticale. Cependant, si nous faisons glisser la partie située sous l'axe des x vers la gauche, nous avons maintenant une symétrie de rotation par rapport à l'origine !
Graphique du cosinus transformé en fonction - StudySmarter Originals
Les fonctions qui possèdent ce type de symétries reçoivent des noms uniques. De plus, ces symétries peuvent être utilisées en notre faveur lors de l'intégrationde ces fonctions.
Que sont les fonctions paires et impaires ?
Nous pouvons classer certaines fonctions en fonctions paires ou impaires. Mais qu'est-ce que cela signifie ? Jetons un coup d'œil à chaque définition.
Une fonction est dite paire, ou symétrique, si pour toutes les valeurs x de son domaine.
En d'autres termes, une fonction paire est une fonction dont la sortie ne change pas si nous changeons le signe de son entrée. Qu'en est-il des fonctions impaires ?
On dit qu'une fonction est une fonction impaire, ou fonction antisymétrique, si pour toutes les valeurs x de son domaine.
En revanche, si nous changeons le signe de l'entrée d'une fonction impaire, nous obtiendrons l'opposé de sa sortie. Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour trouver des intégrales définies de fonctions paires ou impaires.
N'oublie pas que certaines fonctions ne sont ni paires ni impaires !
Intégrales définies de fonctions paires
Pour les graphiques des fonctions paires, chaque valeur à gauche de l'ordonnée reflète la valeur à droite de celle-ci. Cette caractéristique nous donne la formule des intégrales définies des fonctions paires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction paire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'aire comprise entre une fonction paire et l'axe des x positif.
L'aire entre une fonction paire et l'axe des x positif - StudySmarter Originals
Nous pouvons la comparer à l'aire entre la même fonction et l'axe des abscisses négatif.
L'aire entre la même fonction paire et l'axe des x négatif - StudySmarter Originals
Remarque que les aires sont les mêmes ; elles sont simplement réfléchies sur l'axe des y. Cette observation signifie que nous pouvons trouver l'aire de l'intervalle entier en multipliant l'une ou l'autre de ces aires par 2. Généralement, nous utilisons l'aire au-dessus de l'axe des x positif, ce qui nous donne la formule d'intégration des fonctions paires :
Intégrales définies de fonctions impaires
Le graphique d'une fonction impaire ressemble à celui d'une fonction paire, mais les valeurs du miroir sont négatives. Tu trouveras ci-dessous la formule d'intégration des fonctions impaires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction impaire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'intégrale définie d'une fonction impaire.
Intégrale d'une fonction impaire - StudySmarter Originals
Remarque que les aires sont de nouveau les mêmes, mais qu'elles sont maintenant réfléchies sur les deux axes. Dans ce cas, une aire est le négatif de l'autre. Par conséquent, si nous les additionnons, le résultat est égal à 0. À partir de ce fait, nous obtenons la formule des intégrales définies des fonctions impaires :
Preuves des intégrales des fonctions paires et impaires.
Nous pouvons utiliser les propriétés des fonctions paires et impaires pour prouver les formules d'intégration des fonctions paires et impaires. Allons-y !
Preuve de l'intégrale d'une fonction paire
Soit une fonction paire. Considérons l'intégrale définie .
Nous pouvons diviser cette intégrale en deux intervalles en utilisant les propriétés des intégrales.
Puisque c'est une fonction paire, nous pouvons remplacer par dans le premier terme du côté droit de l'équation.
Nous effectuons maintenant une substitution u (voir Intégration par substitution) dans le même terme en laissant . De cette façon, la limite inférieure de l'intégration devient .
Nous utilisons maintenant le signe moins à l'intérieur de l'intégrale pour inverser les limites de l'intégrale définie.
Puisque les intégrales impliquées dans l'équation ci-dessus sont toutes des intégrales définies, la variable d'intégration n'a aucune importance. Par conséquent, le premier et le deuxième terme du côté droit de l'équation sont égaux.
Cette équivalence nous donne la formule d'intégration des fonctions paires.
Preuve de l'intégrale d'une fonction impaire
Soit une fonction impaire. Considère l'intégrale définie .
Nous diviserons également cette intégrale.
Puisque est une fonction impaire, nous pouvons la remplacer par . Cette substitution revient essentiellement à changer le signe de la fonction de positif à négatif, puis de nouveau à positif.
Nous pouvons maintenant procéder de la même manière que pour l'intégrale d'une fonction paire en effectuant la même substitution u et en simplifiant.
Les deux termes du côté droit de l'équation sont les négatifs l'un de l'autre. Leur somme est donc égale à 0. Cette simplification nous donne la formule d'intégration des fonctions impaires.
Exemples d'intégration de fonctions paires et impaires
Lorsque nous utilisons les formules d'intégration des fonctions paires et impaires, nous devons nous assurer que notre fonction est paire ou impaire. Voyons comment procéder.
Trouve la valeur de l'intégrale définie :
Solution :
Nous commençons par vérifier si la fonction donnée est paire ou impaire.
Règle la valeur de l'intégrande de l'intégrale définie.
Nous avons vérifié que la fonction est impaire car . Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration des fonctions impaires.
Remarque que nous n'avons pas eu besoin d'utiliser d'autres règles d'intégration !
Voici un petit conseil pour les fonctions polynomiales ! Si tous les exposants de la fonction polynomiale sont des nombres pairs (ou des termes constants), alors la fonction est paire. De même, si tous les exposants de la fonction polynomiale sont impairs, alors la fonction est impaire. Grâce à ce raccourci, tu n'as pas besoin d'évaluer f(-x) et tu peux rapidement savoir quelle formule utiliser !
Intégration des fonctions paires et impaires - Principaux points à retenir
Nous pouvons classer certaines fonctions en fonctions pairesou en fonctions impaires.
Les fonctions paires sont des fonctions telles que pour chaque x de son domaine.
Les fonctions impaires sont des fonctions telles que pour chaque x de son domaine.
Si est une fonction paire intégrable sur l'intervalle alors .
Si est une fonction impaire intégrable sur l'intervalle alors .
Les fonctions paires sont également appelées fonctions symétriques. Les fonctions impaires sont aussi appelées fonctions antisymétriques.
Comment tu t'assures que ton contenu est précis et digne de confiance ?
Chez StudySmarter, tu as créé une plateforme d'apprentissage qui sert des millions d'étudiants. Rencontre les personnes qui travaillent dur pour fournir un contenu basé sur des faits et pour veiller à ce qu'il soit vérifié.
Processus de création de contenu :
Lily Hulatt
Spécialiste du contenu numérique
Lily Hulatt est une spécialiste du contenu numérique avec plus de trois ans d’expérience en stratégie de contenu et en conception de programmes. Elle a obtenu son doctorat en littérature anglaise à l’Université de Durham en 2022, a enseigné au Département d’études anglaises de l’Université de Durham, et a contribué à plusieurs publications. Lily se spécialise en littérature anglaise, langue anglaise, histoire et philosophie.
Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.
Resumes 
Flashcards 
StudySmarter IA 
Notes de cours 
Planning de révision 
Dossiers 
Examens 
Magazine 
Faire carrière 
App mobile 
