Tu as remarqué quelque chose ? On dirait que nous avons placé un miroir sur l'axe des ordonnées ! Jetons maintenant un coup d'œil à un autre graphique :
Un graphique avec un reflet sur l'axe des x n'est pas une fonction parce qu'il échoue au test de la ligne verticale. Cependant, si nous faisons glisser la partie située sous l'axe des x vers la gauche, nous avons maintenant une symétrie de rotation par rapport à l'origine !
Les fonctions qui possèdent ce type de symétries reçoivent des noms uniques. De plus, ces symétries peuvent être utilisées en notre faveur lors de l'intégration de ces fonctions.
Que sont les fonctions paires et impaires ?
Nous pouvons classer certaines fonctions en fonctions paires ou impaires. Mais qu'est-ce que cela signifie ? Jetons un coup d'œil à chaque définition.
Une fonction est dite paire, ou symétrique, si pour toutes les valeurs x de son domaine.
En d'autres termes, une fonction paire est une fonction dont la sortie ne change pas si nous changeons le signe de son entrée. Qu'en est-il des fonctions impaires ?
On dit qu'une fonction est une fonction impaire, ou fonction antisymétrique, si pour toutes les valeurs x de son domaine.
En revanche, si nous changeons le signe de l'entrée d'une fonction impaire, nous obtiendrons l'opposé de sa sortie. Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour trouver des intégrales définies de fonctions paires ou impaires.
N'oublie pas que certaines fonctions ne sont ni paires ni impaires !
Intégrales définies de fonctions paires
Pour les graphiques des fonctions paires, chaque valeur à gauche de l'ordonnée reflète la valeur à droite de celle-ci. Cette caractéristique nous donne la formule des intégrales définies des fonctions paires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction paire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'aire comprise entre une fonction paire et l'axe des x positif.
Nous pouvons la comparer à l'aire entre la même fonction et l'axe des abscisses négatif.
Remarque que les aires sont les mêmes ; elles sont simplement réfléchies sur l'axe des y. Cette observation signifie que nous pouvons trouver l'aire de l'intervalle entier en multipliant l'une ou l'autre de ces aires par 2. Généralement, nous utilisons l'aire au-dessus de l'axe des x positif, ce qui nous donne la formule d'intégration des fonctions paires :
Intégrales définies de fonctions impaires
Le graphique d'une fonction impaire ressemble à celui d'une fonction paire, mais les valeurs du miroir sont négatives. Tu trouveras ci-dessous la formule d'intégration des fonctions impaires.
Soit une fonction intégrable dans l'intervalle . Si est une fonction impaire, alors la formule suivante est vraie :
Examinons l'intégrale définie d'une fonction impaire.
Remarque que les aires sont de nouveau les mêmes, mais qu'elles sont maintenant réfléchies sur les deux axes. Dans ce cas, une aire est le négatif de l'autre. Par conséquent, si nous les additionnons, le résultat est égal à 0. À partir de ce fait, nous obtenons la formule des intégrales définies des fonctions impaires :
Preuves des intégrales des fonctions paires et impaires.
Nous pouvons utiliser les propriétés des fonctions paires et impaires pour prouver les formules d'intégration des fonctions paires et impaires. Allons-y !
Preuve de l'intégrale d'une fonction paire
Soit une fonction paire. Considérons l'intégrale définie .
Nous pouvons diviser cette intégrale en deux intervalles en utilisant les propriétés des intégrales.
Puisque c'est une fonction paire, nous pouvons remplacer par dans le premier terme du côté droit de l'équation.
Nous effectuons maintenant une substitution u (voir Intégration par substitution) dans le même terme en laissant . De cette façon, la limite inférieure de l'intégration devient .
Nous utilisons maintenant le signe moins à l'intérieur de l'intégrale pour inverser les limites de l'intégrale définie.
Puisque les intégrales impliquées dans l'équation ci-dessus sont toutes des intégrales définies, la variable d'intégration n'a aucune importance. Par conséquent, le premier et le deuxième terme du côté droit de l'équation sont égaux.
Cette équivalence nous donne la formule d'intégration des fonctions paires.
Preuve de l'intégrale d'une fonction impaire
Soit une fonction impaire. Considère l'intégrale définie .
Nous diviserons également cette intégrale.
Puisque est une fonction impaire, nous pouvons la remplacer par . Cette substitution revient essentiellement à changer le signe de la fonction de positif à négatif, puis de nouveau à positif.
Nous pouvons maintenant procéder de la même manière que pour l'intégrale d'une fonction paire en effectuant la même substitution u et en simplifiant.
Les deux termes du côté droit de l'équation sont les négatifs l'un de l'autre. Leur somme est donc égale à 0. Cette simplification nous donne la formule d'intégration des fonctions impaires.
Exemples d'intégration de fonctions paires et impaires
Lorsque nous utilisons les formules d'intégration des fonctions paires et impaires, nous devons nous assurer que notre fonction est paire ou impaire. Voyons comment procéder.
Trouve la valeur de l'intégrale définie :
Solution :
Nous commençons par vérifier si la fonction donnée est paire ou impaire.
Règle la valeur de l'intégrande de l'intégrale définie.
Évalue et simplifie en utilisant les propriétés des exposants.
Nous avons vérifié que la fonction est paire car . Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration des fonctions paires.
Intégrer à l'aide des formules d'intégration de base.
Évalue et simplifie.
L'utilisation de cette formule est que l'évaluation quand est relativement simple. Voyons un autre exemple.
Trouve la valeur de l'intégrale définie : .
Solution :
Une fois de plus, nous commençons par inspecter si la fonction est paire ou impaire.
Règle la valeur de l'intégrande de l'intégrale définie.
Évalue et simplifie en utilisant les propriétés des exposants.
Élimine le facteur -1.
Nous avons vérifié que la fonction est impaire car . Nous pouvons maintenant utiliser la formule d'intégration des fonctions impaires.
Remarque que nous n'avons pas eu besoin d'utiliser d'autres règles d'intégration !
Voici un petit conseil pour les fonctions polynomiales ! Si tous les exposants de la fonction polynomiale sont des nombres pairs (ou des termes constants), alors la fonction est paire. De même, si tous les exposants de la fonction polynomiale sont impairs, alors la fonction est impaire. Grâce à ce raccourci, tu n'as pas besoin d'évaluer f(-x) et tu peux rapidement savoir quelle formule utiliser !
Intégration des fonctions paires et impaires - Principaux points à retenir
- Nous pouvons classer certaines fonctions en fonctions paires ou en fonctions impaires .
- Les fonctions paires sont des fonctions telles que pour chaque x de son domaine.
- Les fonctions impaires sont des fonctions telles que pour chaque x de son domaine.
- Si est une fonction paire intégrable sur l'intervalle alors .
- Si est une fonction impaire intégrable sur l'intervalle alors .
- Les fonctions paires sont également appelées fonctions symétriques. Les fonctions impaires sont aussi appelées fonctions antisymétriques.
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Questions fréquemment posées en Intégration des fonctions paires et impaires
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