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Les intégrales définies ont une grande variété d'applications. Les intégrales définies sont utilisées pour trouver l'aire sous une courbe, pour trouver le déplacement d'une voiture en accélération, et même pour mesurer la quantité de carburant qu'un avion utilise pendant le vol !
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Équipe enseignants Intégrales impropres
Considérons une intégrale définie. Selon l'intervalle d'intégration, les cas suivants peuvent se présenter :
l'intégrale est définie sur un intervalle infini ; ou
la fonction que tu intègres présente une discontinuité dans l'intervalle d'intégration.
Si l'une ou l'autre des circonstances ci-dessus se présente, l'intégrale est connue sous le nom d'Intégrale impropre.
Une intégraleimpropre est une intégrale définie qui est soit définie sur un intervalle infini, soit que la fonction de son intégrande contient une discontinuité dans l'intervalle.
Une fois que tu as identifié une intégrale impropre, l'étape suivante consiste à l'évaluer. L'évaluation des deux cas implique des limites. Voyons comment traiter chacun d'entre eux.
Considère l'intégrale définie suivante :
$$\int_{0}^{2}3e^{\text{-}x}\,\mathrm{d}x .$$
L'intégrale ci-dessus peut être considérée comme la surface comprise entre \(y=3e^{\text{-}x}\), les lignes verticales \(x=0\) et \(x=2\), et l'axe \(x\).
Fig. 1. Zone située sous une courbe exponentielle.
Mais que se passe-t-il si tu continues à aller plus loin vers la droite ?
Fig. 2. Zone supplémentaire sous la courbe exponentielle.
Tu peux aller encore plus loin, jusqu'à l'infini, comme dans l'exemple :
$$\int_{0}^{\infty}3e^{\text{-}x}\,\mathrm{d}x.$$
Pour évaluer une telle intégrale, tu dois prendre des limites.
Soit \(f(x)\) une fonction qui est continue pour \(a\leq x\). Si la limite existe, l'intégrale impropre \N(\int_{a}^{\infty}f(x)\N,\mathrm{d}x\N) est définie comme suit :
$$\int_{a}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Les autres types d'intégrales impropres impliquant des intervalles infinis sont définis de la même manière.
Soit \(f(x)\) une fonction continue pour \(x\leq b\). Si la limite existe, l'intégrale impropre \N(\int_{\text{-}\infty}^{b}f(x)\N,\rmath{d}x\N) est définie comme suit :
$$\int_{\text{-}\infty}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{a\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Si l'intégrale doit être effectuée sur tous les nombres réels, tu dois la diviser en deux intégrales, chacune d'entre elles impliquant les définitions ci-dessus.
Soit \(f(x)\) une fonction qui est continue partout. Si les deux limites existent, l'intégrale impropre \(\int_{\text{-}\infty}^{\infty}f(x)\N,\rmathrm{d}x\N) est définie comme suit :
$$\int_{\text{-}\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{\text{-}\infty}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Pour l'évaluation de ces types d'intégrales impropres, nous suivons les étapes suivantes :
Voyons un exemple d'intégrale sur un intervalle infini.
Évalue l'intégrale impropre suivante :
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x.$$
Réponse :
Tu devrais commencer par remarquer que, bien que la fonction soit discontinue en \(x=0\), la discontinuité n'est pas incluse dans ton intervalle d'intégration, donc tu peux y aller.
Fig. 3. La discontinuité n'est pas incluse dans l'intervalle d'intégration.
Tu peux maintenant suivre les étapes de l'évaluation des intégrales impropres.
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x.$$
2.Évalue l'intégrale définie.
Pour cette étape, tu peux trouver l'antidérivée de la fonction à l'aide de la règle des puissances,
$$\int \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{x}+C,$$$
et utilise ensuite le théorème fondamental du calcul, donc
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x=\lim_{b\rightarrow\infty} \left[ \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) \right].$$
3. Évalue la limite et simplifie.
$$ \begin{align} \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x &= 0 -(-1) \\n- &= 1. \Nend{align} $$
Il est également possible d'avoir une intégrale dont l'intégrande est une fonction qui présente une discontinuité dans l'intervalle donné. Dans ce cas, tu n'as pas le droit d'inclure la discontinuité sur l'intégrale, mais tu peux t'en approcher suffisamment.
Fig. 4. La fonction rationnelle est discontinue à l'origine.
Tu dois aussi prendre des limites pour évaluer les intégrales impliquant des discontinuités. Voyons comment procéder.
Soit \(f(x)\) une fonction continue sur l'intervalle \(a\leq x < b\) mais discontinue à \(x=b\). Son intégrale impropre est définie comme suit :
$$\int_{a}^{b} f(x) \N, \mathrm{d}x = \lim_{t\rrow b^{-}} \Nint_{a}^{t} f(x) \N, \Nmathrm{d}x.$$
Dans le cas ci-dessus, la discontinuité se trouvait sur la limite supérieure de l'intégration. Par conséquent, tu dois prendre la limite lorsque tu t'approches de la discontinuité par la gauche .
Fig. 5. Approche d'une discontinuité par la gauche.
Voyons maintenant ce qu'il faut faire si la discontinuité se trouve dans la limite inférieure de l'intégration.
Soit \(f(x)\) une fonction qui est continue pour \(a<x\leq b\) mais discontinue à \(x=a\). Son intégrale impropre est définie comme suit :
$$\int_{a}^{b} f(x) \N, \mathrm{d}x = \lim_{t\arrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) \N, \mathrm{d}x.$$
Pour un rappel sur les limites de gauche et de droite, voir Limites unilatérales.
Si la discontinuité se trouve sur la limite inférieure de l'intégration, tu prends la limite en t'en approchant par la droite.
Fig. 6. Approche d'une discontinuité par la droite.
Et si la discontinuité se trouve à l'intérieur de l'intervalle d'intégration ? Tu as alors besoin d'une limite de gauche et d'une limite de droite !
Soit \N(f(x)\Nune fonction qui est continue pour \N(a\Nleq x\Nleq b\N) sauf en un point \N(c\N) tel que \N(a<c<b\N). Son intégrale impropre est définie comme suit :
$$\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x.$$
Les étapes à suivre pour évaluer ce type d'intégrales impropres sont à peu près les mêmes que dans les autres cas, tu dois juste faire attention à la discontinuité. Voici les étapes à suivre :
Voyons un exemple d'intégrale impropre impliquant une discontinuité.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int_{-3}^{3}\frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$
Réponse :
Note que la fonction est discontinue à \(x=0\), tu dois donc la diviser en deux intégrales
$$\int_{-3}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = \int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x + \int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$
2. Évalue la ou les intégrales résultantes.
Ensuite, tu dois évaluer chaque intégrale. Cela peut se faire en trouvant l'antidérivée de l'intégrande (à l'aide de la règle des puissances).
$$\int \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} +C,$$
puis en utilisant le théorème fondamental du calcul pour chaque paire de limites d'intégration, alors
$$\int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} \right) -\left(-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{(-3)^2}\right) \right],$$
et
$$\int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} \droite) -\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2}\droite) \droite].$$
3. Evalue les limites obtenues.
Tu peux noter qu'aucune des limites requises n'existe. C'est une information suffisante pour conclure que l'intégrale diverge !
En fait, si tu trouves qu'aucune des limites n'existe, tu peux t'arrêter là et conclure que l'intégrale diverge. Il n'est pas nécessaire d'évaluer l'autre limite !
Dans l'exemple ci-dessus, tu as trouvé que la valeur de l'intégrale n'existe pas. Mais qu'est-ce que cela signifie ? Nous parlons de la convergence de l'intégrale.
Tu as vu dans quelles circonstances on peut trouver les valeurs des intégrales impropres. Dans ces cas-là, on dit que les intégrales convergent.
Supposons que nous ayons une intégrale impropre. Si toutes les limites impliquées dans son évaluation existent, on dit que l'intégrale converge. Si l'une des limites n'existe pas, la valeur de l'intégrale n'existe pas et on dit qu'elle diverge.
Généralement, nous dirons que l'intégrale diverge ou qu'elle converge vers une certaine valeur.
Dans nos exemples précédents, tu as trouvé que
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x$$
converge, et sa valeur est \(1\).
Tu as aussi trouvé que la valeur de
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$$
n'existe pas car la limite impliquée dans son évaluation n'existe pas, tu peux donc dire qu'elle diverge.
Voyons d'autres exemples d'intégrales impropres.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x.$$
Réponse :
Commence par remarquer que la fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\) n'est pas définie lorsque \(x=0\), tu as donc affaire à une intégrale impropre.1. Ecris l'intégrale impropre comme une limite.Tu dois commencer par écrire l'intégrale impropre comme une limite, donc
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \int_{t}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x.$$
2. Évalue l'intégrale obtenue.
Ensuite, trouve l'antidérivée de la fonction de l'intégrande (tu peux jeter un coup d'œil à nos Intégrales impliquant des fonctions logarithmiques pour te rafraîchir la mémoire).
$$\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{x},$$
et enfin, utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{2} - \ln{2} \ln{2} \ln{2} \l{t{rightarrow 0^{+}} \ln{t}.$$
3. Evalue la limite obtenue.
Malheureusement, la dernière limite n'existe pas, donc l'intégrale n'existe pas non plus.
L'intégrale suivante apparaît assez fréquemment en physique et en statistique. Elle est utilisée pour modéliser les limites d'un comportement exponentiel.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \N-, \Nmathrm{d}x.$$
Réponse :
1. Ecris l'intégrale impropre comme une limite.
Comme d'habitude, commence par écrire l'intégrale comme une limite, donc
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \,\mathrm{d}x=\lim_{b\rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \N- \Nmathrm{d}x.$$
2. Évalue l'intégrale obtenue.
Trouve ensuite l'antidérivée de la fonction exponentielle
$$\int e^{-x} \,\mathrm{d}x = -e^{-x} + C.$$
Enfin, tu peux utiliser le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \,\mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow \infty} \left[ \left(-e^{-b} \leright) - \left(-e^{0}\leright) \leright].$$
3. Évalue la limite obtenue.
La limite ci-dessus de l'exponentielle est égale à \(0\). En outre, tout nombre réel non nul élevé à la puissance de \(0\) est égal à \(1\). Par conséquent
$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \N-, \Nmathrm{d}x &= 0 - (-1) \N- &=1. \Nend{align}$$
Tu as besoin de te rappeler comment évaluer des limites comme celle de l'exemple ci-dessus ? Consulte notre article sur les limites !
Malheureusement, il n'existe pas de formule pour les intégrales impropres. Tu dois identifier le type d'intégrale impropre auquel tu as affaire, puis utiliser la méthode correspondante , comme indiqué ci-dessus dans l'article.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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