Circulation dans une rue animée - pixabay.com
Pour mesurer le bruit, les scientifiques utilisent une échelle logarithmique. Cette échelle prend en compte différents facteurs, comme la position et la source du bruit. De nombreux calculs liés à la mesure du son et du bruit font intervenir les logarithmes d'une certaine manière, et les intégrales ne sont pas l'exception. Nous allons apprendre ici comment traiter les intégrales qui impliquent des fonctions logarithmiques.
Intégrales impliquant des fonctions logarithmiques
L'une des règles de différenciation les plus essentielles est la règle de la puissance, qui nous permet de différencier n'importe quelle fonction puissance. Grâce à cette règle, l'intégration d'une fonction puissance est aussi simple que sa dérivée. Rappelons-le à l'aide d'un exemple rapide.
Évalue l'intégrale \(\int x^2\mathrm{d}x\).
Pour intégrer une fonction puissance, nous devons augmenter la puissance de la variable de 1 et diviser par la valeur de la nouvelle puissance.
$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C$$
$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^3+C$$
C'est assez simple, non ? Cela fonctionne aussi avec les puissances négatives !
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$$
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1}x^{-1}+C$$
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\text{-}\frac{1}{x}+C$$
Mais qu'en est-il si nous essayons d'appliquer cette règle lorsque la puissance est égale à \(\text{-}1\) ?
$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1+1}x^{-1+1}+C$$
Nous diviserions par zéro, ce qui n'est pas autorisé !
La règle d'intégration des puissances ne s'applique pas lorsque la puissance est \(\text{-}1\). Heureusement, il existe un moyen de contourner ce problème.
Nous allons maintenant rappeler comment différencier une fonction logarithme naturel.
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\dfrac{1}{x}$$
En utilisant les propriétés des puissances, nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus.
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=x^{\text{-}1}$$
Dans l'exemple ci-dessus, nous avons trouvé comment traiter une puissance égale à \(\text{-}1\). Nous sommes maintenant prêts à écrire l'antidérivée de la fonction puissance lorsque la puissance est égale à \(\text{-}1\).
L'antidérivée d'une fonction puissance lorsque sa puissance est égale à \(\text{-}1\) est la valeur absolue de la fonction logarithme naturel.
$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\ln{|x|}+C$$
Tu peux aussi trouver la formule ci-dessus écrite de l'une des façons suivantes :
$$\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln{|x|}+C$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln{|x|}+C$$
Attends, pourquoi y a-t-il une valeur absolue ? Il s'avère que le domaine de la fonction logarithme naturel est constitué uniquement de nombres positifs. Comme la fonction \( \frac{1}{x} \) peut prendre des valeurs négatives, nous devons inclure les deux scénarios, ce qui peut être résumé en prenant la valeur absolue.
Grâce à cette formule, l'intégrale de toutes les fonctions puissance devient assez simple.
Évalue l'intégrale suivante :
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x$$
Nous commençons par noter que l'intégrale peut être divisée en 4 intégrales.
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\int x^4\mathrm{d}x-2\int x^2\mathrm{d}x+\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x-\int x^{\text{-}3}\mathrm{d}x$$
Nous pouvons maintenant intégrer chaque fonction puissance individuellement. N'oublie pas d'ajouter la constante d'intégration !
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+\ln{|x|}+\frac{1}{2}x^{\text{-}2}+C$$
Formule d'intégration des fonctions logarithmiques
Et si nous devions intégrer la fonction logarithme naturel ? Il s'avère que l'antidérivation de la fonction logarithme naturel n'est pas simple, mais voyons tout de même ce qu'il en est.
L'antidérivée de la fonction logarithme naturel est donnée par :
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x(\ln{x}-1)+C$$
Tu es prêt à te lancer dans la démonstration ? Allons-y !
Comme indiqué précédemment, la fonction logarithme naturel n'est pas la dérivée d'une fonction simple, son intégration n'est donc pas simple.
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x$$
Dans ce cas, nous devons recourir à différentes techniques d'intégration. Essayons d'utiliser l'intégration par parties.
$$u=\ln{x} \rightarrow \mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$.
$$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x \rightarrow v=x$$$
Nous utilisons maintenant la formule d'intégration par parties \(\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u\).
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=(\ln{x})(x)-\int x\cdot\frac{\mathrm{d}x}{x}$$
Réécris l'expression ci-dessus pour qu'elle soit plus claire et plus jolie.
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x\ln{x}-\int\mathrm{d}x$$
Rappelle-toi que l'intégrale de \(\mathrm{d}x\) est juste \(x\). N'oublie pas d'ajouter la constante d'intégration !
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x\ln{x}-x+C$$
Enfin, nous factorisons \(x\) et nous avons terminé !
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x(\ln{x}-1)+C$$
Et si le logarithme a une base différente de \(e\) ? Nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes !
Un logarithme dont la base est différente de \(e\) peut être réécrit à l'aide de la propriété suivante :
$$\log_{a}{x}=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}$$
Où \(a\) est un nombre réel supérieur à \(0\).
Notre stratégie pour traiter les logarithmes consiste à les réécrire en termes de logarithmes naturels. Voyons comment utiliser cette propriété sur une intégrale.
Évalue l'intégrale \( \int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x \).
- Utilise les propriétés des logarithmes pour réécrire l'intégrale.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\ln{x}}{\ln{2}}\,\mathrm{d}x$$
Note que \( \ln{2} \r}) est une constante et qu'elle peut donc être retirée de l'intégrale.
- Retire \( \frac{1}{\ln{2}} \) de l'intégrale.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}\int\ln{x}\,\mathrm{d}x$$
- Intègre la fonction logarithme naturel.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}x(\ln{x}-1)+C$$
Après avoir examiné l'exemple ci-dessus, nous pouvons généraliser la formule d'intégration des fonctions logarithmiques pour inclure n'importe quel type de logarithme.
L'antidérivée d'une fonction logarithmique est donnée par :
$$\int\log_{a}{x}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{a}}x(\ln{x}-1)+C$$
Où \(a\) est un nombre réel supérieur à \(0\).
Exemples d'intégration de fonctions logarithmiques
La meilleure façon de s'améliorer en matière d'intégration, c'est de s'entraîner ! Voyons d'autres exemples d'intégrales impliquant des fonctions logarithmiques.
Évalue l'intégrale \( \int \ln{2x}\, \mathrm{d}x \).
Nous pouvons évaluer cette intégrale facilement en effectuant la substitution \(2x=u\).
$$2x=u \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}x$$$.
- Substitue \(2x=u\) et \( \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u\) dans l'intégrale.
$$\int\ln{2x}\,\mathrm{d}x=\int\ln{u} \cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}u$$
- Enlève \(\frac{1}{2}\) de l'intégrale.
$$\int \ln{2x} \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2} \int \ln{u} \mathrm{d}u$$$
- Intègre la fonction logarithme naturel.
$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} u(\ln{u}-1)+C$$$
- Substitue \( 2x=u \) dans l'intégrale et simplifie.
$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x= \frac{1}{2} (2x)(\ln{2x}-1)+C$$.
$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x = x(\ln{2x}-1)+C$$
N'oublie pas d'utiliser toutes les propriétés pertinentes des logarithmes avant de procéder à l'intégration.
Évalue l'intégrale \( \int \ln{x^2} \mathrm{d}x \).
À première vue, nous pourrions penser qu'il s'agit d'une intégrale compliquée parce qu'elle implique \N( x^2 \N), mais il n'y a pas \N( 2x \N) pour utiliser l'intégration par substitution. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes, cela devient assez facile.
- Utilise la propriété des logarithmes \N( \ln{a^b} = b \ln{a} \N) pour réécrire l'intégrale.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = \int 2 \ln{x} \mathrm{d}x$$$
- Enlève \N( 2 \N) de l'intégrale.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = 2 \int \ln{x} \mathrm{d}x$$$
- Intègre la fonction logarithme naturel.
$$ \lnint \ln{x^2} \mathrm{d}x = 2x(\ln{x}-1) + C$$
Nous pouvons également distribuer 2 à l'intérieur et l'utiliser pour l'écrire en tant qu'exposant dans le logarithme naturel.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = x( 2\ln{x} -2) + C$$
$$ \ln{x^2} \mathrm{d}x = x(\ln{x^2} -2) + C$$.
Nous utiliserons ici la propriété de quotient des logarithmes.
Évalue \( \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \, \mathrm{d}x \).
- Utilise les propriétés des logarithmes pour écrire le quotient sous forme de différence.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int (\ln{x}-\ln{(x+1)}) \N- \N- \N- \NMathrm{d}x $$
- Utilise les propriétés des intégrales pour diviser l'intégrale.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \N- \Nmathrm{d}x - \Nint \Nln{(x+1)} \Nmathrm{d}x $$
- Soit \( u=x+1\) donc \(\mathrm{d}x=\mathrm{d}u \) et substitue dans la deuxième intégrale.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \N- \Nmathrm{d}x - \Nint \Nln{u} \Nmathrm{d}u $$
- Intègre les fonctions logarithmiques naturelles.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1) + u(\ln{u}-1)+C$$$
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1)+(x+1)(\ln{(x+1)}-1)+C$$
- Utilise l'algèbre pour simplifier.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x\ln{x} - x\ln{(x+1)} - \ln{(x+1)}$$$.
- Simplifie en utilisant les propriétés des logarithmes.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x\ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)}-\ln{(x+1)} $$
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