Intégrales Impliquant des Fonctions Logarithmiques

Évalue l'intégrale \(\int x^2\mathrm{d}x\).

Pour intégrer une fonction puissance, nous devons augmenter la puissance de la variable de 1 et diviser par la valeur de la nouvelle puissance.

$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C$$

$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^3+C$$

C'est assez simple, non ? Cela fonctionne aussi avec les puissances négatives !

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$$

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1}x^{-1}+C$$

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\text{-}\frac{1}{x}+C$$

Mais qu'en est-il si nous essayons d'appliquer cette règle lorsque la puissance est égale à \(\text{-}1\) ?

$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1+1}x^{-1+1}+C$$

Nous diviserions par zéro, ce qui n'est pas autorisé !

Nous allons maintenant rappeler comment différencier une fonction logarithme naturel.

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\dfrac{1}{x}$$

En utilisant les propriétés des puissances, nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus.

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=x^{\text{-}1}$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x$$

Nous commençons par noter que l'intégrale peut être divisée en 4 intégrales.

$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\int x^4\mathrm{d}x-2\int x^2\mathrm{d}x+\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x-\int x^{\text{-}3}\mathrm{d}x$$

Nous pouvons maintenant intégrer chaque fonction puissance individuellement. N'oublie pas d'ajouter la constante d'intégration !

$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+\ln{|x|}+\frac{1}{2}x^{\text{-}2}+C$$

Évalue l'intégrale \( \int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x \).

• Utilise les propriétés des logarithmes pour réécrire l'intégrale.

$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\ln{x}}{\ln{2}}\,\mathrm{d}x$$

Note que \( \ln{2} \r}) est une constante et qu'elle peut donc être retirée de l'intégrale.

• Retire \( \frac{1}{\ln{2}} \) de l'intégrale.

$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}\int\ln{x}\,\mathrm{d}x$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}x(\ln{x}-1)+C$$

Évalue l'intégrale \( \int \ln{2x}\, \mathrm{d}x \).

Nous pouvons évaluer cette intégrale facilement en effectuant la substitution \(2x=u\).

$$2x=u \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}x$$$.

• Substitue \(2x=u\) et \( \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u\) dans l'intégrale.

$$\int\ln{2x}\,\mathrm{d}x=\int\ln{u} \cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}u$$

• Enlève \(\frac{1}{2}\) de l'intégrale.

$$\int \ln{2x} \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2} \int \ln{u} \mathrm{d}u$$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} u(\ln{u}-1)+C$$$

• Substitue \( 2x=u \) dans l'intégrale et simplifie.

$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x= \frac{1}{2} (2x)(\ln{2x}-1)+C$$.

$$\int \ln{2x} \,\mathrm{d}x = x(\ln{2x}-1)+C$$

Évalue l'intégrale \( \int \ln{x^2} \mathrm{d}x \).

À première vue, nous pourrions penser qu'il s'agit d'une intégrale compliquée parce qu'elle implique \N( x^2 \N), mais il n'y a pas \N( 2x \N) pour utiliser l'intégration par substitution. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes, cela devient assez facile.

• Utilise la propriété des logarithmes \N( \ln{a^b} = b \ln{a} \N) pour réécrire l'intégrale.

$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = \int 2 \ln{x} \mathrm{d}x$$$

• Enlève \N( 2 \N) de l'intégrale.

$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = 2 \int \ln{x} \mathrm{d}x$$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$ \lnint \ln{x^2} \mathrm{d}x = 2x(\ln{x}-1) + C$$

Nous pouvons également distribuer 2 à l'intérieur et l'utiliser pour l'écrire en tant qu'exposant dans le logarithme naturel.

$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = x( 2\ln{x} -2) + C$$

$$ \ln{x^2} \mathrm{d}x = x(\ln{x^2} -2) + C$$.

Évalue \( \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \, \mathrm{d}x \).

• Utilise les propriétés des logarithmes pour écrire le quotient sous forme de différence.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int (\ln{x}-\ln{(x+1)}) \N- \N- \N- \NMathrm{d}x $$

• Utilise les propriétés des intégrales pour diviser l'intégrale.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \N- \Nmathrm{d}x - \Nint \Nln{(x+1)} \Nmathrm{d}x $$

• Soit \( u=x+1\) donc \(\mathrm{d}x=\mathrm{d}u \) et substitue dans la deuxième intégrale.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \N- \Nmathrm{d}x - \Nint \Nln{u} \Nmathrm{d}u $$

• Intègre les fonctions logarithmiques naturelles.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1) + u(\ln{u}-1)+C$$$

• Substitue \( u=x+1 \).

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1)+(x+1)(\ln{(x+1)}-1)+C$$

• Utilise l'algèbre pour simplifier.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x\ln{x} - x\ln{(x+1)} - \ln{(x+1)}$$$.

• Simplifie en utilisant les propriétés des logarithmes.

$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x\ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)}-\ln{(x+1)} $$