Intégrales Impliquant des Fonctions Logarithmiques

Évalue l'intégrale $\int x^2\mathrm{d}x$.

Pour intégrer une fonction puissance, nous devons augmenter la puissance de la variable de 1 et diviser par la valeur de la nouvelle puissance.

$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+C$$

$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}{x}^3+C$$

C'est assez simple, non ? Cela fonctionne aussi avec les puissances négatives !

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}{x}^{-2+1}+C$$

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1}{x}^{-1}+C$$

$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\text{-}\frac{1}{x}+C$$

Mais qu'en est-il si nous essayons d'appliquer cette règle lorsque la puissance est égale à $\text{-}1$ ?

$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1+1}{x}^{-1+1}+C$$

Nous diviserions par zéro, ce qui n'est pas autorisé !

Nous allons maintenant rappeler comment différencier une fonction logarithme naturel.

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\ln x={\displaystyle \frac{1}{x}}$$

En utilisant les propriétés des puissances, nous pouvons réécrire l'équation ci-dessus.

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\ln x=x^{\text{-}1}$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int (x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x$$

Nous commençons par noter que l'intégrale peut être divisée en 4 intégrales.

$$\int (x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\int x^4\mathrm{d}x-2\int x^2\mathrm{d}x+\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x-\int x^{\text{-}3}\mathrm{d}x$$

Nous pouvons maintenant intégrer chaque fonction puissance individuellement. N'oublie pas d'ajouter la constante d'intégration !

$$\int (x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\frac{1}{5}{x}^5-\frac{2}{3}{x}^3+\ln |x|+\frac{1}{2}{x}^{\text{-}2}+C$$

Évalue l'intégrale $\int {\log }_{2}x\mathrm{d}x$.

• Utilise les propriétés des logarithmes pour réécrire l'intégrale.

$$\int {\log }_{2}x\mathrm{d}x=\int \frac{\ln x}{\ln 2}\mathrm{d}x$$

Note que \( \ln{2} \r}) est une constante et qu'elle peut donc être retirée de l'intégrale.

• Retire $\frac{1}{\ln 2}$ de l'intégrale.

$$\int {\log }_{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln 2}\int \ln x\mathrm{d}x$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$\int {\log }_{2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln 2}x(\ln x-1)+C$$

Évalue l'intégrale $\int \ln 2x\mathrm{d}x$.

Nous pouvons évaluer cette intégrale facilement en effectuant la substitution $2x=u$.

$$2x=u\to \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}x$$$.

• Substitue $2x=u$ et $\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u$ dans l'intégrale.

$$\int \ln 2x\mathrm{d}x=\int \ln u\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}u$$

• Enlève $\frac{1}{2}$ de l'intégrale.

$$\int \ln 2x\text{Nmathrm}dx=\text{Nfrac}12\int \ln u\mathrm{d}u$$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$\int \ln 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}u(\ln u-1)+C$$$

• Substitue $2x=u$ dans l'intégrale et simplifie.

$$\int \ln 2x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(2x)(\ln 2x-1)+C$$.

$$\int \ln 2x\mathrm{d}x=x(\ln 2x-1)+C$$

Évalue l'intégrale $\int \ln x^2\mathrm{d}x$.

À première vue, nous pourrions penser qu'il s'agit d'une intégrale compliquée parce qu'elle implique \N( x^2 \N), mais il n'y a pas \N( 2x \N) pour utiliser l'intégration par substitution. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes, cela devient assez facile.

• Utilise la propriété des logarithmes \N( \ln{a^b} = b \ln{a} \N) pour réécrire l'intégrale.

$$\int \ln x^2\mathrm{d}x=\int 2\ln x\mathrm{d}x$$$

• Enlève \N( 2 \N) de l'intégrale.

$$\int \ln x^2\mathrm{d}x=2\int \ln x\mathrm{d}x$$$

• Intègre la fonction logarithme naturel.

$$\text{lnint}\ln x^2\mathrm{d}x=2x(\ln x-1)+C$$

Nous pouvons également distribuer 2 à l'intérieur et l'utiliser pour l'écrire en tant qu'exposant dans le logarithme naturel.

$$\int \ln x^2\mathrm{d}x=x(2\ln x-2)+C$$

$$\ln x^2\mathrm{d}x=x(\ln x^2-2)+C$$.

Évalue $\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x$.

• Utilise les propriétés des logarithmes pour écrire le quotient sous forme de différence.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=\int (\ln x-\ln (x+1))\text{N}-\text{N}-\text{N}-\text{NMathrm}dx$$

• Utilise les propriétés des intégrales pour diviser l'intégrale.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=\int \ln x\text{N}-\text{Nmathrm}dx-\text{Nint}\text{Nln}(x+1)\text{Nmathrm}dx$$

• Soit $u=x+1$ donc $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ et substitue dans la deuxième intégrale.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=\int \ln x\text{N}-\text{Nmathrm}dx-\text{Nint}\text{Nln}u\text{Nmathrm}du$$

• Intègre les fonctions logarithmiques naturelles.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=x(\ln x-1)+u(\ln u-1)+C$$$

• Substitue $u=x+1$.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=x(\ln x-1)+(x+1)(\ln (x+1)-1)+C$$

• Utilise l'algèbre pour simplifier.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=x\ln x-x\ln (x+1)-\ln (x+1)$$$.

• Simplifie en utilisant les propriétés des logarithmes.

$$\int \ln (\frac{x}{x+1})\mathrm{d}x=x\ln (\frac{x}{x+1})-\ln (x+1)$$