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Lorsqu'une voiture roule sur une route, sa position, sa vitesse et son accélération changent à différents moments du trajet. Ces trois propriétés sont toutes intrinsèquement liées : si la vitesse de la voiture change, elle doit avoir accéléré ou décéléré, et cela entraînera alors un changement de la position de la voiture également.
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Équipe enseignants Intégrales du Mouvement
Le calcula> est l'étude du changement. C'est pourquoi l'utilisation du calcul fait partie intégrante de l'étude du mouvement, jeu de mots oblige.
L'intégration du mouvement est une méthode qui permet d'étudier la façon dont les objets se déplacent dans l'espace, grâce à l'utilisation de l'intégration. Avant d'aborder ce sujet, il est important de récapituler quelques idées relatives à l'intégration.
L'intégration est une méthode qui peut être utilisée pour trouver l'aire sous un graphique.
Fig. 1,. L'intégrale de cette fonction entre \(a\) et \(b\) donne la valeur de l'aire ombrée.
L'intégrale définie entre \(a\) et \(b\) de la fonction ci-dessus donne l'aire sous le graphique. Si la fonction est \N(f(t),\N), cela s'écrit
\N[ \Nint_a^b f(t) \N, \Ntextrm{d}t. \N]
Pour plus d'informations sur les intégrales, ainsi que sur la façon de trouver l'intégrale d'une certaine fonction, voir Intégrales.
Le déplacement, la vitesse et l'accélération sont les facteurs les plus importants lorsque l'on travaille avec un objet en mouvement. Toutes ces définitions supposent qu'un objet se déplace dans une seule direction, le long de la ligne réelle.
Ledéplacement (s(t)\) est la distance qui sépare un objet d'une certaine position, considérée comme l'origine.
Le déplacement est directionnel, ce qui signifie qu'il peut être positif ou négatif selon la direction dans laquelle l'objet se trouve par rapport à l'origine.
Lavitesse \(v(t)\) est le taux de changement du déplacement.
L'accélération \(a(t)\) est le taux de changement de la vitesse.
Si l'accélération est égale à 0, l'objet se déplace à la même vitesse.
Si l'accélération est positive, l'objet accélère s'il se déplace à la même vitesse.
accélère s'il se déplace vers l'avant,
ou ralentit s'il recule.
Si l'accélération est négative, l'objet ralentit s'il se déplace vers l'avant ou ralentit s'il se déplace vers l'arrière.
ralentira s'il se déplace vers l'avant,
ou accélère s'il recule.
Dans les définitions ci-dessus, \(t\) représente le temps. Puisque ces définitions utilisent le taux de changement, tu peux être sûr que la différenciation sera utilisée lorsque tu travailleras avec elles. Les formules suivantes sont valables :
\[ \N- v(t) & = \frac{\Nmathrm{d}s}{\Nmathrm{d}t}]. \N- a(t) & = \Nfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}. \Nend{align} \]
Etant donné les fonctions \(s(t), v(t) \N et \N( a(t),\N) représentant le déplacement, la vitesse et l'accélération, les formules intégrales indéfinies suivantes existent :
\[ \begin{align} \Nint v(t) \N, \Nmathrm{d}t & = s(t) + c \N \Nint a(t) \N, \Nmathrm{d}t & = v(t) + c. \Nend{align} \]
N'oublie pas d'inclure ta constante d'intégration lorsque tu réalises des intégrales indéfinies.
Cela est logique étant donné les relations de dérivation de la section précédente, puisqu'il s'agit simplement des formules inverses. Voyons quelques exemples d'utilisation de ces formules.
Une particule se déplace à la vitesse \( v(t) = 6t^2, \) et a un déplacement \(100\) après 5 secondes. Trouve la fonction de vitesse de cette particule.
Solution :
La première étape consiste à prendre l'intégrale indéfinie de la particule.
\[ \begin{align} s(t) & = \int v(t) \, \mathrm{d}t \\ & = \int 6 t^2 \, \mathrm{d}t \\ & = 2 t^3 + c. \end{align} \]
Maintenant, tu peux substituer \(t=5\) au vecteur de déplacement pour trouver la valeur de la constante d'intégration.
\[ \begin{align} v(5) = 100 & = 2 \cdot 5^3 + c \\ & = 2 \cdot 125 + c \\ & = 250 + c. \end{align} \]
Par conséquent, tu as que
\[ \begin{align} 250 + c & = 100 \\ \implies c & = -150. [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N] \]
Par conséquent, la fonction de déplacement doit être
\N[ s(t) = 2 t^3 - 150. \N]
Voyons maintenant une situation où tu dois trouver la fonction de vitesse à partir du vecteur d'accélération.
Une particule se déplace avec une accélération \N( a(t) = \cos{t}) et est immobile à \N(t=0.\N). \N) et est immobile à \N(t=0.\N) Trouve la fonction de vitesse pour cette particule.
Solution :
Intègre d'abord la fonction d'accélération.
\N- [\N-] v(t) & = \Nint a(t) \N, \Nmathrm{d}t \N- & = \Nint \Ncos{t} \, \mathrm{d}t \\ & = \sin{t} + c. \end{align} \]
Maintenant, puisque la particule est immobile à \N(t=0,\N) la vitesse doit être \N(0.\N) Substitue ceci pour trouver la valeur de \N(c.\N)
\N[ v(0) = 0 = \Nsin(0) + c = c \N]
Par conséquent, \N(c\N)doit être \N(0.\N) Cela signifie que la fonction de vitesse finale doit être
\[ v(t) = \sin{t}. \]
Les intégrales définies peuvent être utilisées pour calculer le déplacement total entre deux moments \(t=a\) et \(t=b\). Le déplacement total est la distance entre la position de la particule à \(t=a\) et \(t=b\). On peut le trouver en prenant l'intégrale définie de la particule avec les bornes \(a\N) et \N(b\N) :
\[ \text{total displacement} = \int_a^b v(t) \rmathrm{d}t. \rm{d}t. \rm{d}t. \rm{d}t. \rm{d}t. \rm{d}]
Tu peux aussi trouver la distance totale que la particule a parcourue pendant ce temps, en prenant la valeur absolue de la vitesse avant de l'intégrer.
\[ \N-text{distance totale} = \Nint_a^b |v(t)| \N, \Nmathrm{d}t. \N]
La façon la plus simple de voir la différence entre le déplacement total et la distance totale est un exemple.
Si tu lances une balle à \(2\) mètres en l'air et que tu la rattrapes, le déplacement total est de \(0\) parce qu'elle est revenue à sa place initiale. La distance totale, cependant, est de 4 mètres, puisqu'elle a parcouru 2 mètres en l'air et 2 mètres en redescendant. Si l'objet se déplace toujours avec une vitesse positive, le déplacement total et la distance totale parcourue seront toujours les mêmes.
Voyons un exemple de calcul du déplacement et de la distance d'une particule.
Une particule se déplace à la vitesse \(v(t) = 8 -4t.\N-) Trouve le déplacement total et la distance totale de la particule entre les temps \(t=1\) et \(t=3.\).
Solution :
Trouve d'abord le déplacement total. Prends l'intégrale définie de la fonction de vitesse entre \(t=1\) et \(t=3.\)
\[ \begin{align} \Nint_1^3 8 - 4t \N, \Nmathrm{d}t & = [8t - 2t^2]_1^3 \N = (8 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2) - (8 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) \N = (24 - 18) - (8 - 2) \N = 6 - 6 \N = 0. \Nend{align} \]
Le déplacement total est donc de \(0.\)
Pour trouver la distance totale parcourue, tu dois trouver l'intégrale de la valeur absolue de la fonction.
\N[ \Nint_1^3 | 8 - 4t | \N, \Nmathrm{d}t. \N]
La fonction devient négative à \N(t=2,\N) et l'intégrale peut donc être divisée en deux à cet endroit.
\[ \begin{align} \N-int_1^3 | 8 - 4t | \N, \Nmathrm{d}t & = \Nint_1^2 8 - 4t \N, \Nmathrm{d}t + \Nint_1^2 -(8-4t) \N, \Nmathrm{d}t \N & = \Nint_2^3 8 - 4t \N, \Nmathrm{d}t + \Nint_1^2 -8+4t \N, \Nmathrm{d}t. \N-END{align} \]
Tu peux maintenant évaluer les intégrales sur la gauche pour en déduire la distance totale parcourue.
\[ \begin{align} \N-int_1^3 | 8 - 4t | \N-, \Nmathrm{d}t & = [8t - 2t^2]_1^2 + [-8t + 2t^2]_2^3 \N- & = [(8\cdot 2 - 2\cdot 2^2) - (8\cdot 1 - 2\cdot 1^2)] + [(-8\cdot 3 + 2\cdot 3^2) - (-8\cdot 2 - 2\cdot 2^2)] \cdot & = [(16 - 8) + (8 - 2)] + [(-24 + 18) - (-16 + 8)] \\ & = [8 - 6] + [-6 + 8] \\ & = 4. \N-{align} \]
La distance totale parcourue est donc de \N(4.\N).
Si une particule se déplace à la vitesse \(v_1(t)\) pendant les premières \(a\) secondes et se déplace ensuite à la vitesse \(v_2(t)\) pendant les \(b\) secondes suivantes, le déplacement peut être trouvé en additionnant ces deux intégrales.
\N[ \Ntexte{déplacement total} \int_0^a v_1(t) \, \mathrm{d}t + \int_a^b v_2(t) \, \mathrm{d}t. \]
Cette même technique peut également être utilisée pour un nombre fini de fonctions de vitesse distinctes et peut être utilisée pour trouver la distance totale parcourue en intégrant les valeurs absolues des vitesses à la place.
Une particule se déplace à la vitesse \(v_1(t) = t^2 \) pendant 3 secondes, puis à la vitesse \(v_2(t) = 3t\) pendant 6 secondes supplémentaires. Calcule la distance totale parcourue par la particule pendant ce temps.
Solution :
Tout d'abord, puisque la question demande la distance totale parcourue, tu dois prendre les valeurs absolues des vitesses. Mais comme les deux vitesses sont toujours positives, la distance totale parcourue sera égale au déplacement, et les valeurs absolues ne sont pas pertinentes. La distance totale parcourue est donc
\[ \begin{align} \int_0^3 3t^2 \, \textrm{d}t + \int_3^9 3t \, \textrm{d}t & = [t^3]_0^3 + \left[\frac{3}{2} t^2 \right]_3^9 \\N- & = (3^3 - 0^3) + \left(\frac{3}{2} \cdot 9^2 - \frac{3}{2} \cdot 3^2 \right) \c} & = 27 + (\frac{243}{2} - \frac{27}{2}) \c} & = 27 + 116 \c} & = 143 \end{align} \]
Le déplacement total et la distance totale parcourue sont donc de 143 unités.
Voyons quelques exemples plus compliqués de questions utilisant l'intégration et le mouvement.
L'accélération d'une particule est donnée par \N[a(t) = 6t\] et la position de la particule est \N(10\N) à \N(t=0\N) et \N(14\N) à \N(t=2.\NCalculez la fonction de déplacement de la particule.
Solution :
Cette fois, tu devras intégrer deux fois, puisque la fonction donnée est l'accélération et non la vitesse. En intégrant la fonction une fois, tu obtiendras
\[ \begin{align} v(t) & = \int a(t) \, \textrm{d}t \\ & = \int 6t \, \textrm{d}t \\ & = 3t^2 + c. \end{align}\]
Maintenant, tu peux intégrer la fonction de vitesse pour trouver la fonction de déplacement.
\[\N- s(t) & = \Nint v(t) \N, \Ntextrm{d}t \N & = \Nint 3 t^2 + c \N, \Ntextrm{d}t \N & = t^2 + ct + d. \Nend{align}] \]
\N(d\N) est une autre constante d'intégration. Tu peux maintenant substituer les conditions initiales pour trouver la fonction de déplacement exacte. Si \N(t=0:\N)
\[ \begin{align} s(0) = 10 & = 0^2 + c \cdot 0 + d \\ \implies d & = 10. \Nend{align} \]
Par conséquent, \N(d\N) doit être \N(0.\N) Si \N(t = 2:\N)
\[\N- s(2) = 14 & = 2^2 + c \Ncdot 10 + 10 \N- & = 14 + 10c \N- \Nimplique 0 & = 10c \Nend{align}] \]
Donc \N(c = 0.\N) Par conséquent, la formule finale pour le déplacement est la suivante
\N[ s(t) = t^2 + 10. \N]
Voyons maintenant un autre exemple de question un peu plus difficile.
La particule A se déplace à la vitesse A (v_A(t) = 2t^2) et la particule B se déplace à la vitesse B (v_B(t) = 4t). Les deux particules sont dans la même position au moment \N(t=0.\N)
Solution :
1) Puisque les particules ne se déplacent que dans une seule dimension, la distance entre elles sera simplement la valeur absolue de la différence entre leurs distances par rapport aux points de départ.
\[ \begin{align} \text{Distance entre A et B au temps 5} & = \int_0^5 v_A(t) \, \textrm{d}t - \int v_B(t) \, \textrm{d}t \\N & = \int v_A(t) - v_B(t) \N, \textrm{d}t. \N-END{align} \]
Maintenant, tu peux insérer les formules pour \N(v_A(t)\Net \N(v_B(t)\Ndans la formule ci-dessus pour obtenir la distance qui les sépare.
\[ \begin{align} \int_0^5 v_A(t) - v_B(t) \, \textrm{d}t & = \int_0^5 2t^2 - 4t \, \textrm{d}t \\N- & = \left[ \frac{2}{3} t^3 - 2 t^2 \right]_0^5 \N- & = \frac{2}{3} \cdot 5^3 - 2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 & = \frac{250}{3} - 50 \N- & = \Nfrac{100}{3}. \N-END{align} \]
La distance entre les deux particules au moment \(t=0\) est donc \(\frac{100}{3}.\N).
2) Ce problème peut être résolu de la même manière que la question 1, mais tu dois utiliser une variable, appelée \N(t',\N) comme limite supérieure de l'intégration, puis fixer le résultat comme étant égal à \N(0\N) et résoudre l'équation pour \N(t'.\N En utilisant les mêmes étapes que précédemment, tu obtiendras cela :
\[ \begin{align} \int_0^5 v_A(t) - v_B(t) \, \textrm{d}t & = \int_0^5 2t^2 - 4t \N, \textrm{d}t \N & = \left[ \frac{2}{3} t^3 - 2 t^2 \Nright]_0^{t'} \N- & = \frac{2}{3} t'^3 - 2 t'^2. \Nend{align} \]
Maintenant, tu peux fixer cette valeur à 0, et résoudre \Npour \N(t'.\N)
\[ \begin{align} \frac{2}{3} t'^3 - 2 t'^2 & = 0 \N- \Nimplique que t' (\frac{2}{3} t' - 2 ) = 0. \Nend{align} \]
Pour que cette équation soit vraie, il faut soit \N(t'=0\N) soit \N(\Nfrac{2}{3} t' - 2 = 0.\N) \N(t'=0\N) est simplement le point de départ, et ce n'est pas la réponse que la question recherche. Par conséquent, il doit s'agir de
\N[ \N- Début{alignement} \frac{2}{3} t' - 2 & = 0 \\\N-implique t' & = 2 \cdot \frac{3}{2} \\ \implies t' & = 3\ \end{align} \]
Par conséquent, les particules seront à nouveau dans la même position à \(t=3.\N-)
Les intégrales de mouvement sont essentielles dans les domaines de la physique tels que la mécanique classique et la relativité générale. Ces relations entre la position, la vitesse et l'accélération permettent aux scientifiques et aux ingénieurs de modéliser tout ce qui bouge, comme les voitures, les fusées et les objets dans l'espace. Bien sûr, les équations utilisées dans ces modèles ont tendance à être beaucoup plus compliquées que de simples polynômes ou fonctions trigonométriques.
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