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Intégrales des fonctions exponentielles

Trouver la dérivée d'une fonction exponentielle est assez simple puisque sa dérivée est la fonction exponentielle elle-même, nous pourrions donc être tentés de supposer que trouver les intégrales des fonctions exponentielles n'est pas une grosse affaire.

C'est parti

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Dernière mise à jour: 01.01.1970
Temps de lecture: 9 min

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Ce n'est pas du tout le cas. La différenciation est une opération simple, alors que l'intégration ne l'est pas. Même si nous voulons intégrer une fonction exponentielle, nous devons prêter une attention particulière à l'intégrande et utiliser une technique d'intégration appropriée.

Intégrales des fonctions exponentielles

Nous commençons par rappeler comment différencier une fonction exponentielle.

La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est la fonction exponentielle naturelle elle-même.

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x$$

Si la base est différente de $e$, alors nous devons multiplier par le logarithme naturel de la base.

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^x=\ln{a}\, a^x$$

Bien sûr, nous devons aussi utiliser toutes les règles de différenciation nécessaires ! Voyons un exemple rapide utilisant la règle de la chaîne.

Trouve la dérivée de $f (x) = e^{2 x^{2}}$ .

Soit $u = 2 x^{2}$ et différencie en utilisant la règle de la chaîne.

$\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d u} e^{u} \frac{d u}{d x}$

Différencie la fonction exponentielle.

$\frac{d f}{d x} = e^{u} \frac{d u}{d x}$

Utilise la règle de puissance pour différencier $u = 2 x^{2}$ .

$\frac{d u}{d x} = 4 x$

Substitue $u = 2 x^{2}$ et $\frac{d u}{d x} = 4 x$ .

$\frac{d f}{d x} = e^{2 x^{2}} 4 x$

Réarrange l'expression.

$\frac{d f}{d x} = 4 x e^{2 x^{2}}$

Nous allons maintenant voir comment intégrer les fonctions exponentielles. La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même, on peut donc aussi considérer que la fonction exponentielle est sa propre antidérivée.

L'antidérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Si la base est différente de $e$, tu divises par le logarithme naturel de la base.

$$\int a^x\mathrm{d}x=\dfrac{1}{\ln{a}}a^x+C$$

N'oublie pas d'ajouter +C lorsque tu trouves l'antidérivée d'une fonction !

Voyons un exemple rapide de l'intégrale d'une fonction exponentielle.

Évalue l'intégrale $\int e^{3 x} d x$ .

Comme l'argument de la fonction exponentielle est 3x, nous devons faire une intégration par substitution.

Soit $u = 3 x$ . Trouve du à l'aide de la règle de la puissance.

$u = 3 x \to \frac{d u}{d x} = 3$

$\frac{d u}{d x} = 3 \to d u = 3 d x$

Isole dx.

$d x = \frac{1}{3} d u$

Substitue $u = 3 x$ et $d x = \frac{1}{3} d u$ dans l'intégrale.

$\int e^{3 x} d x = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Réarrange l'intégrale.

$\int e^{3 x} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{u} + C$

Remplace $u = 3 x$ dans l'intégrale.

$\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

N'oublie pas d'utiliser l'une des techniques d'intégration si nécessaire !

Nous pouvons éviter d'utiliser l'intégration par substitution si l'argument de la fonction exponentielle est un multiple de x.

Si l'argument de la fonction exponentielle est un multiple de x, alors son antidérivation est la suivante :

$\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$

Où $a$ est un nombre réel constant différent de 0.

La formule ci-dessus nous facilitera la vie lors de l'intégration des fonctions exponentielles !

Intégrales définies des fonctions exponentielles

Qu'en est-il de l'évaluation des intégrales définies qui impliquent des fonctions exponentielles ? Pas de problème ! Nous pouvons utiliser le théorème fondamental du calcul pour le faire !

Évalue l'intégrale définie $\int_{0}^{1} e^{x} d x$ .

Trouve l'antidérivée de $e^{x}$ .

$\int e^{x} = e^{x} + C$

Utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = {(e^{x} + C)}_{0}^{1}$

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = (e^{1} + C) - (e^{0} + C)$

Utilise les propriétés des exposants et simplifie.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1$

Jusqu'à présent, nous avons un résultat exact. Tu peux toujours utiliser une calculatrice si tu as besoin de connaître la valeur numérique de l'intégrale.

Utilise une calculatrice pour trouver la valeur numérique de l'intégrale définie.

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = 1.718281828 . . .$

Nous pouvons également évaluer les intégrales impropres en connaissant les limites suivantes de la fonction exponentielle.

La limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers l'infini négatif est égale à 0. Ceci peut être exprimé de deux façons avec les formules suivantes.

$\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0$

Ces limites nous permettront d'évaluer les intégrales impropres impliquant des fonctions exponentielles. Un exemple permet de mieux comprendre ce phénomène. C'est parti !

Évalue l'intégrale définie $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$ .

Commence par trouver l'antidérivée de la fonction donnée.

Soit $u = - 2 x$ . Trouve du à l 'aide de la règle de la puissance.

$u = - 2 x \to \frac{d u}{d x} = - 2$

$\frac{d u}{d x} = - 2 \to d u = - 2 d x$

Isole $d x$ .

$d x = - \frac{1}{2} d u$

Substitue $u = - 2 x$ et $d x = - \frac{1}{2} d u$ dans l'intégrale.

$\int e^{- 2 x} d x = \int e^{u} (- \frac{1}{2} d u)$

Réarrange l'intégrale.

$\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Substitue à nouveau $u = - 2 x$ .

$\int e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$

Pour évaluer l'intégrale impropre, nous utilisons le théorème fondamental du calcul, mais nous évaluons la limite supérieure lorsqu'elle va à l'infini. C'est-à-dire que nous laissons $brightarrow\infty$ dans la limite supérieure de l'intégration.

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = \lim_{b \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- 2 b} + C) - (- \frac{1}{2} e^{- 2 (0)} + C)$

Simplifie en utilisant les propriétés des limites.

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (\lim_{b \to \infty} e^{- 2 b} - e^{0})$

Lorsque $b$ va à l'infini, l'argument de la fonction exponentielle va à l'infini négatif, nous pouvons donc utiliser la limite suivante :

$\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0$

Nous notons également que $e^{0} = 1$ . Sachant cela, nous pouvons trouver la valeur de notre intégrale.

Évalue la limite comme $b \to \infty$ et remplace $e^{0} = 1$ .

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Simplifie.

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x = \frac{1}{2}$

Exemples d'intégrales de fonctions exponentielles

L'intégration est une opération un peu spéciale en calcul. Nous devons savoir quelle technique d'intégration doit être utilisée. Comment s'améliorer en matière d'intégration ? Avec de la pratique, bien sûr ! Voyons d'autres exemples d'intégrales de fonctions exponentielles !

Évalue l'intégrale $\int 2 x e^{x^{2}} d x$ .

Note que cette intégrale implique $x^{2}$ et $2 x$ dans l'intégrande. Puisque ces deux expressions sont liées par une dérivée, nous ferons l'intégration par substitution.

Soit $u = x^{2}$ . Trouve $d u$ en utilisant la règle de la puissance.

$u = x^{2} \to \frac{d u}{d x} = 2 x$

$\frac{d u}{d x} = 2 x \to d u = 2 x d x$

Réarrange l'intégrale.

$\int 2 x e^{x^{2}} d x = \int e^{x^{2}} (2 x d x)$

Substitue $u = x^{2}$ et $d u = 2 x d x$ dans l'intégrale.

$\int 2 x e^{x^{2}} d x = \int e^{u} d u$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{u} + C$

Substitue à nouveau $u = x^{2}$ .

$\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C$

Parfois, nous devrons utiliser l'intégration par parties plusieurs fois ! Tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur le sujet ? Jette un coup d'œil à notre article sur l'intégration par pièces !

Évalue l'intégrale $\int (x^{2} + 3 x) e^{x} d x$

Utilise LIATE pour faire un choix approprié de u et dv.

$u = x^{2} + 3 x$

$d v = e^{x} d x$

Utilise la règle de la puissance pour trouver du.

$d u = (2 x + 3) d x$

Intègre la fonction exponentielle pour trouver v.

$v = \int e^{x} d x = e^{x}$

Utilise la formule d'intégration par parties $\int u d v = u v - \int v d u$

$\int (x^{2} + 3 x) e^{x} d x = (x^{2} + 3 x) e^{x} - \int e^{x} (2 x + 3) d x$

L'intégrale résultante du côté droit de l'équation peut également être réalisée par intégration par parties. Nous nous concentrerons sur l'évaluation de $\int e^{x} (2 x + 3) d x$ pour éviter toute confusion.

Utilise LIATE pour faire un choix approprié de u et dv.

$u = 2 x + 3$

$d v = e^{x} d x$

Utilise la règle de la puissance pour trouver du.

$d u = 2 d x$

Intègre la fonction exponentielle pour trouver v.

$v = \int e^{x} d x = e^{x}$

Utilise la formule d'intégration par parties.

$\int e^{x} (2 x + 3) d x = (2 x + 3) e^{x} - \int e^{x} (2 d x)$

Intègre la fonction exponentielle.

$\int e^{x} (2 x + 3) d x = (2 x + 3) e^{x} - 2 e^{x}$

Substitue l'intégrale ci-dessus dans l'intégrale d'origine et ajoute la constante d'intégration C.

$\int (x^{2} + 3 x) e^{x} d x = (x^{2} + 3 x) e^{x} - [(2 x + 3) e^{x} - 2 e^{x}] + C$

Simplifie en factorisant $e^{x}$ .

$\int (x^{2} + 3 x) e^{3 x} d x = e^{x} (x^{2} + x - 1) + C$

Voyons un autre exemple impliquant une intégrale définie.

Évalue l'intégrale $\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x$ .

Commence par trouver l'antidérivée de la fonction. Nous pouvons ensuite évaluer l'intégrale définie à l'aide du théorème fondamental du calcul.

Intégrer la fonction exponentielle.

$\int e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C$

Utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie.

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = {(- \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C)}_{1}^{2}$

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = (- \frac{1}{4} e^{- 4 (2)} + C) - (- \frac{1}{4} e^{- 4 (1)} + C)$

Simplifie.

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = - \frac{1}{4} (e^{- 8} - e^{- 4})$

Utilise les propriétés des exposants pour simplifier davantage l'expression.

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = \frac{e^{- 4} - e^{- 8}}{4}$

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = \frac{e^{- 8} (e^{4} - 1)}{4}$

$\int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x = \frac{e^{4} - 1}{e^{8}}$

Erreurs courantes lors de l'intégration des fonctions exponentielles

Il se peut que nous soyons fatigués à un certain moment après avoir pratiqué pendant un certain temps. C'est là que les erreurs commencent à apparaître ! Jetons un coup d'œil à quelques erreurs courantes que nous pourrions commettre lors de l'intégration de fonctions exponentielles.

Nous avons vu un raccourci pour intégrer les fonctions exponentielles lorsque leur argument est un multiple de x.

$\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$

Cela nous fait gagner beaucoup de temps, c'est certain ! Cependant, une erreur courante consiste à multiplier par la constante au lieu de diviser.

$\int e^{a x} d x \neq a e^{a x} + C$

Cela peut t'arriver si tu viens de différencier une fonction exponentielle, peut-être faisais-tu de l'intégration par parties.

L'erreur suivante concerne toutes les anti-dérivées.

Une autre erreur fréquente lors de l'intégration (pas seulement des fonctions exponentielles !) est d'oublier d'ajouter la constante d'intégration. C'est-à-dire d'oublier d'ajouter +C à la fin de l'antidérivée.

Veille toujours à ajouter +C à la fin d'une anti-dérivée !

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Résumé

Intégrales des fonctions exponentielles - Points clés à retenir

L'antidérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. C'est-à-dire :∫exdx=ex+C
- Si l'argument de la fonction exponentielle est un multiple de x, alors : $\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$ où $a$ est un nombre réel constant différent de 0.
Voici deux limites utiles pour évaluer les intégrales impropres impliquant des fonctions exponentielles :
- $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$
- $\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0$
Tu peux faire appel à différentes techniques d'intégration pour trouver les intégrales des fonctions exponentielles.

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Questions fréquemment posées en Intégrales des fonctions exponentielles

Qu'est-ce qu'une intégrale d'une fonction exponentielle ?

L'intégrale d'une fonction exponentielle est une opération mathématique utilisée pour calculer l'aire sous la courbe de cette fonction.

Comment intégrer e^x ?

L'intégrale de e^x est elle-même, soit ∫e^x dx = e^x + C, où C est la constante d'intégration.

Quelle est la formule de l'intégrale de a^x ?

L'intégrale de a^x est ∫a^x dx = (a^x / ln(a)) + C, pour a > 0 et a ≠ 1.

Pourquoi les intégrales sont-elles importantes en mathématiques ?

Les intégrales sont cruciales pour déterminer les aires, volumes et pour résoudre des problèmes en physique et en ingénierie.

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