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Il y a deux faces à la puissante pièce de monnaie du calcul : Les dérivées et les intégrales. Il existe tout un ensemble d'études pour les premières, mais celui-ci est consacré aux secondes. L'idée d'une intégrale a été rendue assez claire et explicite jusqu'à présent.
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Équipe enseignants Formules d'intégration
Mais nous ne pouvons pas oublier les formules, la base même des mathématiques. L'intégration est jonchée d'une multitude de formules distinctes, ce qui rend la tâche facile pour faire une intégrale, en partie.
Jetons un coup d'œil à certaines de ces formules d'intégration:
Il peut sembler absurde, à première vue, que nous puissions avoir des formules pour les intégrales dès le départ. Mais il y a un hic, nous ne pouvons avoir des formules que pour des intégrales relativement simples, pas pour des fonctions plus composites.
Commençons par les bases, les formules fondamentales de l'intégration :
Les formules suivantes dont nous allons parler sont les formules fondamentales, sur lesquelles d'autres formules sont éventuellement construites.
C'est pourquoi il serait bon de les retenir par cœur :
$$ \begin{aligned} &\int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \ &\int e^x \, \mathrm{d}x=e^x+c \ &\int a^x \, \mathrm {d}x=\frac{a^x}{\log_e a}+c \&\int \frac{1}{x} \N°. \, \mathrm{d}x=\log_e x +c \end{aligned}$$.
Nous venons de voir des formules d'intégration pour des fonctions telles que la fonction linéaire, les fonctions quadratiques, la fonction exponentielle, les fonctions logarithmiques, et aussi des fonctions comme \(\frac{1}{1+x}, \frac{1}{1+x^2}\) et ainsi de suite.
Mais il existe toute une catégorie de fonctions importantes que nous n'avons pas encore abordée, les fonctions trigonométriques . Il y a quelques formules de base qu'il faut retenir pour les fonctions trigonométriques, à partir desquelles nous pouvons résoudre des fonctions trigonométriques plus compliquées. Ces formules d'intégration sont les suivantes :
$$ \begin{aligned} &\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c \ &\int \sin x \, \mathrm{d}x=-\cos x+c \ &\int \tan x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\cos x|+c \N &\int \cot x \, \mathrm{d}x=\log_e |\sin x|+c \N &\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp; ?\int \sec^2 x \, \mathrm{d}x=\tan x +c \c &\int \csc x \, \mathrm{d}x=\log_e |\frac{\tan x}{2}|+c \c &\int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x=\sec x+c \\ &\int \csc^2 x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \n &\int \csc x \cot x \n, \mathrm{d}x=-\cot x+c \n-end{aligned}$$$.
Tu peux te demander pourquoi il y a une constante d'intégration à la fin de chaque intégrale indéfinie. La raison est que si nous prenons la dérivée du résultat obtenu, la constante disparaît, car la dérivée est le contraire d'une intégrale.
Comme tu l'as peut-être remarqué, les intégrations que nous avons vues sont toutes liées à des intégrales indéfinies. Mais qu'en est-il des intégrales définies? Les intégrales de toutes les fonctions restent inchangées, la seule chose introduite étant les limites de l'intégration.
Tu trouveras ci-dessous quelques formules, des propriétés essentiellement, qui sont cruciales lors de l'intégration définie.
$$ \begin{aligned} &\int_a^b f(x) \N, \mathrm{d}x=F(b)-F(a) \N ; \text{where} \N-int f(x) \N, \Nmathrm{d}x=F(x)+c \N &\Nint_a^b f(x) \N, \Nmathrm{d}x=-\Nint_b^a f(x) \N, \Nmathrm{d}x \N &\int_a^b f(x) \N, \Mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x) \N, \Mathrm{d}x \N &\int_{-a}^a f(x) \N, \Mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\N, \Mathrm{d}x ; \N-{text{where}} \n- f(x) \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-{est une fonction paire} \\N- &\Nint_{-a}^a f(x) \N, \Nmathrm{d}x=0 \N ; \Ntext{où} \N- f(x) \N- \N- \Nest une fonction impaire} \\N- \Nend{aligned}$$.
Remarque qu'il n'y a pas de constante d'intégration dans l'intégration définie.
Pour résoudre des intégrales, nous devons connaître une multitude de formules d'intégration différentes, sans lesquelles il sera impossible de résoudre des intégrales (à moins que tu ne triches en utilisant WolframAlpha ou quelque chose comme ça !)
Tu trouveras ci-dessous une liste de presque toutes les formules d'intégration dont tu auras besoin pour résoudre des intégrales plus compliquées, qui comprennent différentes fonctions composites. Cela inclut les formules que tu as déjà vues plus tôt (trigonométriques, fondamentales) ainsi que les formules trigonométriques inverses, les formules hyperboliques, et bien d'autres encore. Il s'agit d'un tableau pratique que l'on doit avoir à portée de main lorsqu'on fait des intégrales :
Revoyons certaines des formules d'intégration fondamentales sous forme de tableau :
$$ \begin{aligned} &\int x^n\, \mathrm{d} x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \N &\int e^x \, \mathrm{d}x=e^x+c \N &\int a^x \, \mathrm{d}x=\frac{a^x}{\N-log_e a}+c \N &\int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x=\log_e x +c \ &\int k\, \mathrm{d} x=k x+c \end{aligned}$$$.
Tu trouveras ci-dessous le tableau des intégrales des fonctions trigonométriques inverses :
$$ \begin{aligned} &\int \sin^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+c \\&\int \cos^{-1} x \N, \mathrm{d} x=x \cos^{-1} x-\sqrt{1-x^2}+c \N&\int \tan^{-1} x \N, \mathrm{d} x=x \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c\\l&\int \cot^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c\ &\int \csc ^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \csc ^{-1} x+\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+c \ &\int \sec ^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \sec ^{-1} x-\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+c \end{aligned}$$.
Il existe d'autres formules d'intégration, qui sont énumérées ci-dessous : $$ \begin{aligned} &\int e^{c x} \sin b x \, \mathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \sin b x-b \cos b x) +c\\rm{d} &\Nint e^{c x} \Ncos b x \N, \Nmathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \Ncos b x+b \Nsin b x) +c\N&\Nint \frac{1}{x^2+a^2} \N- \NMathrm{d} x=\Nfrac{1}{a} \Ntan^{-1} \Nfrac{x}{a} +c\N&\Nint \Nfrac{1}{x^2-a^2} \, \mathrm{d} x= \left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{a-x}{a+x} \right) +c\\\displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{x-a}{x+a} \right)+c \end{array}\right. \n-{aligned}$$$
Revisitons les formules trigonométriques avec quelques formules au carré et des formules hyperboliques également :
$$ \begin{aligned} &\int \sin x \, \mathrm{d} x=-\cos x+c \N&\int \cos x \N, \mathrm{d} x=\sin x+c \N&\int \tan x \N, \mathrm{d} x=\ln |\sec x|+c \N&\N-int \Nsec x \N, \Nmathrm{d} x=\Nln |\tan x+\sec x|+c \N&\Nint \Nsin ^2 x \N, \Nmathrm{d} x=\Nfrac{1}{2}(x-\Nsin x \Ncos x)+c \N&\int \cos ^2 x \, \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+c \&\int \tan ^2 x \, \mathrm{d} x=\tan x-x+c \&\int \sec ^2 x \, \mathrm{d} x=\tan x+c \\ &\int \sin x \cos ^n x \, \mathrm{d} x=-\frac{\cos ^{n+1} x}{n+1}+c \N &\int \sin ^n x \cos x \, \mathrm{d} x=\frac{\sin ^{n+1} x}{n+1} +c\\\N-&\int \sinh x \N-, \mathrm{d}x=\cosh x +c\N- &\int \cosh x \N-, \mathrm{d}x=\sinh x +c\N- end{aligned} $$
Certaines des formules ci-dessus sont elles-mêmes dérivées des autres, nous les prenons comme des formules car elles apparaissent très souvent lors de la résolution d'intégrales.
Appliquons maintenant ces formules et résolvons quelques intégrales. Nous utiliserons les formules ci-dessus sans fournir de preuve, à moins qu'on ne nous demande d'en fournir une spécifiquement.
Résous l'intégrale indéfinie \( \displaystyle \int \cos 4x \, \mathrm{d}x\).
Solution :
Rappelons que \(\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c\), nous obtenons ici :
$$\int \cos 4x \, \mathrm{d}x= \frac{\sin 4x}{4}+c \ \ \ \ \ \ \ (\cause \int f(ax)\, \mathrm{d}x=\frac{F(ax)}{a}+c)$$.
Évalue l'intégrale définie \( \displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 \, \mathrm{d}x\).
Solution :
Nous allons d'abord l'intégrer comme nous le ferions normalement, puis appliquer les limites de l'intégration en utilisant la propriété de l'intégration définie (\(\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=F(b)-F(a)\)).
En utilisant la formule \N( \Ndisplaystyle \Nint x^n \N, \Nmathrm{d}x=\Nfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\N),
$$ \begin{aligned} \int_0^1 (x+1)^2 \, \mathrm{d}x &=\left[\frac{(x+1)^3}{3} \right]_0^1 \\N- &=\frac{(1+1)^3}{3}-\frac{(0+1)^3}{3} \\N- &=\frac{8-1}{3} \N- \Ndonc \Nint_0^1 (x+1)^2 \N, \Nmathrm{d}x &=\Nfrac{7}{3} \N-END{aligned}}$$$
Évalue l'intégrale \(\int \cos^2 x \, \mathrm{d}x\).
Solution :
Tout d'abord, nous allons utiliser l'identité trigonométrique à double angle \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) :
$$\int \cos^2 x \N, \mathrm{d}x=\int \frac{1+\cos 2x}{2}\N \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N$$$
Maintenant, en utilisant les formules intégrales \(\int x^n \, \mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\) et \(\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c\) :
$$\begin{aligned} \int \cos^2 x \, \mathrm{d}x &=\int \frac{1+\cos 2x}{2} \, \mathrm{d}x \\N &=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+c \end{aligned}$$.
Évaluer l'intégrale \(\int_{-\pi}^{\pi} \sec x \tan x \, \mathrm{d}x\).
Solution :
Remarque que les limites de l'intégration sont de la forme \(-a\) à \(a\), ce qui signifie que nous devons d'abord vérifier si la fonction donnée est paire ou impaire.
$$ \begin{aligned} f(-x) &=\sec (-x) \tan (-x) \\\ &=-\sec x \tan x \\N \Ndonc f(-x) &=-f(x) \Nend{aligned}$$$.
Par conséquent, la fonction est une fonction impaire. Nous allons donc utiliser la propriété de l'intégrale définie : \(\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x = 0\).
Ainsi ,
$$\int_{-\pi}^{\pi} \sec x \tan x \, \mathrm{d}x =0$$.
Evalue \(\int_{\pi / 3}^{\pi / 2} x \sin x\, \mathrm{d} x\)
Solution :
Remarque que l'intégrande est un produit de deux fonctions, nous devons donc utiliser l'intégration par parties :
\( \begin{align} &u=x \ \, \, \text{and} \, \, \mathrm{d} v=\sin x \, \mathrm{d}x \\ &\, \mathrm{d}u= \mathrm{d} x \, \, \ \text{and} \Nquad v=-\cos x \Nend{align}\N)
ce qui donne
$$ \begin{aligned} \int x \sin x \, \mathrm{d}x &=-x \cos x-\int-\cos x \, \mathrm{d}x \N &=-x \cos x+\sin x+c \end{aligned} $$
D'où ,
$$ \begin{aligned} \int_{\pi / 3}^{\pi / 2} x \sin x \, \mathrm{d}x &=[-x \cos x+\sin x]_{\pi / 3}^{\pi / 2} \N &=\left[\left(-\frac{\pi}{2}\right)\left(\cos \frac{\pi}{2}\right)+\sin \frac{\pi}{2}\right]-\left[\left(-\frac{\pi}{3}\right)\left(\cos \frac{\pi}{3}\right)+\sin \frac{\pi}{3}\right] \\ xml-ph-0000@deepl.internal &=(0+1)-\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ xml-ph-0001@deepl.internal &=1+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2} \N- &=\frac{6-3 \sqrt{3}+\pi}{6} \N-END{aligned}}$$
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