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Diviser par zéro est considéré comme un tabou mathématique car l'opération elle-même n'a pas de sens. Dans ce cas, si le numérateur est différent de zéro, on dit que l'opération est indéfinie.
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Lequel des éléments suivants n' est pas une forme indéterminée ?
Vrai/Faux : L'expression \(\infty+\infty\) est une forme indéterminée.
Cette règle est utilisée pour évaluer une limite qui se traduit par une forme indéterminée de \(0/0\) ou \( \infty/\infty\).
Considère la limite suivante.\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x^x.\N]L'expression résultante est une forme indéterminée de ____.
Considérons la limite suivante.\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{x^3}\Nà droite).\N]L'expression résultante est une forme indéterminée de ____.
Identifie laquelle des expressions suivantes correspond à une forme indéterminée.
Peux-tu utiliser la règle de L'Hôpital pour évaluer une limite qui n'aboutit pas à une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{x \à 4} \frac{x+4}{x-4}.\]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{x \à 2} \frac{x^2-4}{x-2}.\]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{ x \à \infty} \frac{e^x}{x}.\N}]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
Lequel des éléments suivants n' est pas une forme indéterminée ?
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Vrai/Faux : L'expression \(\infty+\infty\) est une forme indéterminée.
Cette règle est utilisée pour évaluer une limite qui se traduit par une forme indéterminée de \(0/0\) ou \( \infty/\infty\).
Considère la limite suivante.\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x^x.\N]L'expression résultante est une forme indéterminée de ____.
Considérons la limite suivante.\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{x^3}\Nà droite).\N]L'expression résultante est une forme indéterminée de ____.
Identifie laquelle des expressions suivantes correspond à une forme indéterminée.
Peux-tu utiliser la règle de L'Hôpital pour évaluer une limite qui n'aboutit pas à une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{x \à 4} \frac{x+4}{x-4}.\]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{x \à 2} \frac{x^2-4}{x-2}.\]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
Considère la limite suivante.\[ \lim_{ x \à \infty} \frac{e^x}{x}.\N}]S'agit-il d'une forme indéterminée ?
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Équipe enseignants Formes indéterminées
Il existe d'autres types d'opérations que tu pourrais trouver et qui sont également problématiques. Peux-tu diviser \(0\) par \(0\) ? La réponse est que... pas tout à fait. Cependant, tu peux trouver lalimite du quotient de deux nombres lorsque les deux approchent de zéro. De façon assez surprenante, tu peux avoir des réponses différentes selon la façon dont cette division est abordée. Ce type de scénario, ainsi que d'autres bizarreries similaires, sont connus sous le nom de formes indéterminées. Tu apprendras ici comment y faire face.
Commence par rappeler ce qu'est une forme indéterminée.
Une forme ind éterminée est une expression de deux fonctions dont la limite ne peut pas être évaluée par substitution directe.
Les formes indéterminées les plus courantes sont :
\[ \frac{0}{0}\]
et
\[ \frac{\pm \infty}{ \pm \infty}\]
Les formes indéterminées ci-dessus sont généralement résolues à l'aide de la règle de L'Hôpital, car elles sont déjà écrites de la manière dont tu as besoin pour que la règle fonctionne.
Il est essentiel que tu comprennes ce qu'est la règle de L'Hôpital et comment l'utiliser pour évaluer les limites. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire, consulte nos articles connexes.
Cependant, ce ne sont pas les seules formes indéterminées. Il existe d'autres formes indéterminées, que l'on appelle généralement les autres formes indéterminées.
Les autres formes indéterminées sont les suivantes :
Ces formes indéterminées peuvent également être résolues à l'aide de la règle de L'Hôpital, mais comme la règle requiert des expressions rationnelles, tu devras faire un peu d'algèbre avant d'appliquer la règle.
Comme tu viens de le découvrir précédemment, tu trouveras des formes indéterminées chaque fois que tu essaieras d'évaluer des limites par substitution directe.
Considère la limite suivante :
\[ \lim_{x \à 4} \frac{x^2-16}{x-4}\].
Si tu essaies de substituer \(x\N) à \N(4\N) dans la limite ci-dessus, tu trouveras que :
\[ \begin{align} \Nlim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \frac{4^2-16}{4-4} \\N- &= \frac{16-16}{4-4} \N- &= \frac{0}{0} \N- [end{align}\N]
qui est une forme indéterminée de :
\[ \frac{0}{0}\]]
Pour évaluer correctement cette limite, tu peux factoriser la différence des carrés, afin d'annuler les termes similaires, c'est-à-dire :
\[ \N- Début{alignement} \Nlim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \frac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}} \N- &= \Nlim_{x \Nà 4} (x+4) \N- &= 4+4 \N&= 8\Nend{align}\N]
Chaque fois que tu essaies d'évaluer une limite par substitution directe juste pour trouver l'une des opérations ci-dessus impliquant \(0\) ou l'infini, tu as affaire à une forme indéterminée.
Parfois, tu constateras que la limite en question ne peut être simplifiée d'aucune façon, ou peut-être que la simplification ne te vient tout simplement pas à l'esprit. Dans ce cas, tu peux utiliser la règle de L'Hôpital.
Larègle de L'Hôpital est une méthode d'évaluation des limites qui se traduisent par des formes indéterminées.
La règle de L'Hôpital te dit que, si une limite du quotient de deux fonctions s'évalue à une forme indéterminée, alors :\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\].
À condition que les limites existent.
C'est-à-dire que tu peux réécrire la limite d'un quotient de deux fonctions comme la limite du quotient de leurs dérivées.
Si la limite n'aboutit pas à une forme indéterminée, tu ne peux pas utiliser la règle de L'Hôpital !
Cela devient particulièrement utile parce que les fonctions comme les fonctions puissances ont tendance à devenir plus simples à mesure que tu les différencies.
Dans l'exemple précédent, tu as évalué la limite :
\[ \lim_{x \à 4} \frac{x^2-16}{x-4}\].
En factorisant le numérateur. Si cette factorisation particulière ne te vient pas à l'esprit, tu peux aussi utiliser la règle de L'Hôpital, en obtenant :
\[ \N- début{alignement} \N- Lim_{x \Nà 4} \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \frac{2x}{1} \N- &= \Nfrac{2(4)}{1} \N- &= 8\Nend{align} \]
La plupart des formes indéterminées (mais pas toutes) impliquent l'infini d'une manière ou d'une autre. Tu peux classer les formes indéterminées en fonction de l'opération qui est indéterminée.
L'une des autres formes indéterminées que tu trouveras est la suivante
\[ \infty - \infty\]
Ces expressions apparaissent généralement lors de l'addition ou de la soustraction d'expressions rationnelles, il est donc conseillé de calculer les fractions et de les simplifier autant que possible.
Évalue la limite :
\[ \lim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \Nà droite)\N].
Solution :
Si tu devais évaluer la limite par substitution directe, tu trouverais que :
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \Nà gauche( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\Nà droite)= \infty - \infty\N].
Il s'agit donc d'une forme indéterminée.
Au lieu de l'évaluer directement, essaie de soustraire les deux fractions, c'est-à-dire :
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right)= \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{x-1}{x^2}\right)\N].
Tu peux donc inspecter la limite par substitution directe.
N'oublie pas que pour utiliser la règle de L'Hôpital, tu dois avoir une forme indéterminée de \( 0/0\) ou \(\infty/\infty\). Inspecte toujours d'abord la limite par substitution directe.
Le numérateur est négatif et le dénominateur est positif lorsque tu t'approches de \(0\) par la droite, le résultat sera donc l'infini négatif, c'est-à-dire :
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{x^2} \Nà droite) = -\Ninfty\N].
Après avoir soustrait (ou, dans certains cas, ajouté) les fractions, tu auras une expression rationnelle. Tu peux donc utiliser la règle de L'Hôpital si la limite ne s'évalue pas directement.
Évalue la limite
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{\Ncos{x}}{x}-\Nfrac{1}{x}\Nà droite)\N]
Solution :
Encore une fois, si tu devais évaluer la limite directement, tu trouverais que :
\[ \lim_{x \à 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \infty-\infty\].
En soustrayant les fractions, tu obtiens :
\[ \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\Nright) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\cos{x}-1}{x}\N].
Le cosinus de \N(0\N) est \N(1,\N) de sorte que le numérateur et le dénominateur s'approchent tous deux de \N(0\N) à mesure que \N(x \Ndevient 0.\N) Cela suggère l'utilisation de la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire :
\[ \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \Nà 0^+}\frac{\sin{x}}{1}\].
Puisque le sinus de \(0\) est \(0\), tu peux maintenant évaluer la limite, en obtenant :
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{\Ncos{x}}{x}-\Nfrac{1}{x}\Nà droite) =0\N].
Cette forme indéterminée se présente sous la forme de l'expression
\N[ 0 \Ncdot \Ninfty.\N]
Tu ne peux pas utiliser la règle de L'Hôpital à cause du produit de deux fonctions, il te suffit donc de réécrire le produit sous forme de fraction en te rappelant que
\[ f(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}.\N- [f(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot \frac{1}{\cdot g(x)}.\N]
Soit
\[ h(x) = \frac{1}{g(x)},\]
donc
\[ \begin{align} f(x) \cdot g(x) &= f(x) \cdot \frac{1}{h(x)} \\ &= \frac{f(x)}{h(x)}. \N- [Fin{align}\N]
Cela signifie que tu peux maintenant utiliser la règle de L'Hôpital !
Évalue la limite
\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} x\N, e^{-x}.\N]
Solution :
Comme d'habitude, commence par essayer d'évaluer la limite directement. La limite en tant que \(x \Nà \Nfty\N) de \N(e^{-x}\N) est \N(0\N), tu as donc affaire à une forme indéterminée de \N( \Nfty \Ncdot 0\N). Pour utiliser L'Hôpital, note que tu peux écrire \(e^{-x}\) comme \(e^x\) au dénominateur, c'est à dire
\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} x\N,e^{-x} = \Nlim_{x \Nà \Nfty}\Nfrac{x}{e^x}.\N]
Tu as maintenant une forme indéterminée de \( \infty/\infty\), alors utilise la règle de L'Hôpital,
\[ \begin{align} \_lim_{x \à \infty} x\N,e^{-x} &= \_lim_{x \à \infty} \frac{1}{e^x}\\N- &= 0. \Nend{align}\N]
Ces formes indéterminées se présentent comme suit
\N- [0^\Ninfty,\N]
\[ 0^0,\]
et
\N- [1^\Ninfty.\N]
Tu peux utiliser les propriétés des logarithmes pour traiter n'importe laquelle des formes indéterminées ci-dessus. Considère le cas suivant
\N- f(x)^{g(x)}.\N- f(x)^{g(x)}.
En utilisant le logarithme naturel, tu peux trouver que
\[ \ln{ \ln{ gauche( f(x)^{g(x)}\r} = g(x) \ln{\ln{ gauche( f(x) \r},\r]
ce qui signifie que tu peux transformer l'exponentiation en un produit en utilisant le logarithme naturel.
Les limites qui résultent de l'une des formes indéterminées ci-dessus se présentent généralement sous la forme suivante
\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x)^{g(x)}.\N]
Comme la fonction logarithme naturel est une fonction continue, tu peux évaluer le logarithme naturel de la limite, puis annuler le logarithme naturel en utilisant la fonction exponentielle.
Évalue la limite
\N-[\Nlim_{x \Nà 0^+} x^x.\N]
Solution :
Commence par étiqueter la limite, à savoir
\[ L = \lim_{x \à 0^+}x^x.\]
À partir de là, tu peux prendre le logarithme naturel des deux côtés, c'est-à-dire
\[ \ln{L}=\ln{\left( \lim_{x \to 0^+} x^x \right)}.\]
Comme le logarithme naturel est une fonction continue, tu peux le déplacer à l'intérieur de la limite et utiliser les propriétés des logarithmes naturels, donc
\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \Nà 0^+} \left( \ln{x^x} \right) \ln{L} &= \ln{x \Nà 0^+} x\ln{x}. \N- [Fin{align}\N]
Comme \(x \à 0^+\), le logarithme naturel va à l'infini négatif, l'expression ci-dessus est donc une forme indéterminée de \(0 \cdot \infty\), que tu peux travailler à l'aide d'un peu d'algèbre
\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to 0^+} x\ln{x} \N- &= \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{\N{x}}{\Nfrac{1}{x}}, \Nfin{align}\N]
et utilise ensuite la règle de L'Hôpital, donc
\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \N- &= \Nlim_{x \Nà 0^+} (-x) \N- &= 0. \N-end{align} \]
Enfin, annule le logarithme naturel en utilisant la fonction exponentielle, donc
\N[ \N- L &= e^0 \N- &= 1. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Essaie de travailler sur d'autres exemples pour maîtriser l'évaluation des limites des formes indéterminées !
Évalue la limite
\N-[\Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche(\Nfrac{1}{x}-\Ncsc{x} \Nà droite).\N]
Solution :
Commence par rappeler que la fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, donc
\[ \N- \N{ x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nc{x} \Nà droite) = \N- \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}-\Nfrac{1}{\Nsin{x}}\Nà droite).\N- \N- \N- \Nà gauche( \Nfrac{1}{x}{\Nà droite).\N]
Lorsque \(x\) s'approche de zéro depuis la droite, les deux termes vont à l'infini, tu as donc une forme indéterminée de \( \infty-\infty\). Contourne le problème en soustrayant les fractions
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \left( \frac{\sin{x}-x}{x\sin{x}}\right),\]
qui est maintenant une forme indéterminée de \(0/0\). Utilise la règle de L'Hôpital, c'est-à-dire
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\cos{x}-1}{\sin{x}+x\cos{x}},\N].
La dérivée de \(x\sin{x}\) est \(\sin{x}+x\cos{x}\).
Mais tu verras qu'il s'agit d'une autre forme indéterminée de \(0/0\). Utilise à nouveau la règle de L'Hôpital, donc
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\right) = \lim_{x \Nà 0^+} \frac{\sin{x}}{\cos{x}+\cos{x}-x\sin{x}},\]
La dérivée de \(x\cos{x}\) est \(\cos{x}-x\sin{x}\).
qui peut maintenant être évaluée, ce qui donne
\[ \lim_{ x \Nà 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{\sin{x}}\Nright) =0.\N].
Voici un exemple impliquant le produit de zéro et de l'infini.
Évalue la limite
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x}.\N]
Solution :
Rappelle-toi que la fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente. Puisque \(\tan{0}=0\), la cotangente va à l'infini lorsqu'elle est approchée par la droite, il s'agit donc d'une forme indéterminée de \(0 \cdot \infty.\) Pour résoudre ce problème, réécris la cotangente comme la réciproque de la tangente, c'est-à-dire
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x} = \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{x}{\Ntan{x}},\N]
qui est maintenant une forme indéterminée de \(0/0\), donc utilise la règle de L'Hôpitals
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x} = \Nlim_{x \Nà 0^+} \Nfrac{1}{\Nsec^2{x}}.\N]
La sécante de \(0\) est égale à \(1\), donc
\N[ \Nlim_{x \Nà 0^+} x\Ncot{x}=1.\N]
Il est temps de faire une exponentiation.
Évalue la limite
\[ \lim_{x \Nà \nfty}x^{^1/_x}. \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \N]
Solution :
Comme \(x\) va à l'infini, \(1/x\) va à zéro, il s'agit donc d'une forme indéterminée de \(\infty^0\). Nomme la limite \N(L\N) et trouve son logarithme naturel, c'est à dire
\[ \ln{L} = \ln{\left( \lim_{x \à \infty} x^{^1/_x} \nright)}, \]
et utilise le fait que le logarithme naturel est une fonction continue pour l'introduire à l'intérieur de la limite, donc
\[ \ln{L} = \lim_{ x\to \infty} \ln{\left( x^{^1/_x}\right)}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Maintenant, utilise les propriétés des logarithmes pour écrire
\N-[ \N- \N-début{alignement} \ln{L} &= \lim_{x \à \infty} \n- gauche( \frac{1}{x} \ln{x}\r droite) \n{L} &= \nlim_{x \nà \nfty} \frac{\ln{x}}{x}\end{align}.\]
La limite ci-dessus est maintenant une forme indéterminée de \(\infty/\infty\), tu peux donc utiliser la règle de L'Hôpital, et obtenir
\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} \N- &=\frac{0}{1} \\N-= 0.\Nend{align}\N]
Enfin, annule le logarithme naturel en prenant l'exponentielle, ce qui signifie que
\N[ \N- L &= e^0 \N- &= 1. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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