Formation de sommes de Riemann: Calcul, Intégrales

Table des mateères

Former des sommes de Riemann aire parabole rectangles StudySmarter Approximation de l'aire sous une courbe à l'aide de rectangles - StudySmarter Originals

La première étape consiste à diviser l'intervalle d'intégration en autant de sous-intervalles que nous le souhaitons. Rappelle-toi que plus on utilise de sous-intervalles, meilleure est l'approximation. Les approximations du point d'extrémité droite et du point d'extrémité gauche utilisent les points mêmes que nous obtenons en faisant une partition pour trouver la hauteur de chaque rectangle. Cependant, nous ne sommes pas limités à ces points !

Formules en notation Sigma

Avant de poursuivre, nous allons présenter quelques formules en notation Sigma qui nous faciliteront la vie lorsque nous travaillerons avec des sommes.

Les expressions suivantes donnent respectivement la somme d'entiers consécutifs, le carré d'entiers et le cube d'entiers :

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Les formules ci-dessus, ainsi que les propriétés de base des sommes, sont très utiles pour calculer des aires approximatives à l'aide de la notation sigma. Voyons un exemple qui les utilise !

Évalue la somme suivante : $S = \sum_{i = 1}^{10} (i^{2} + 2 i - 1)$

Utilisons les propriétés de la sommation et les formules ci-dessus pour évaluer la somme donnée !

Utilise les propriétés de la sommation pour réécrire la somme.

$S = \sum_{i = 1}^{10} i^{2} - 2 {\sum i}_{i = 1}^{10} - {\sum 1}_{i = 1}^{10}$

Utilise $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ avec $n = 10$ pour évaluer la première somme.

$S = \frac{10 (10 + 1) (2 (10) + 1)}{6} - 2 \sum_{i = 1}^{10} i - {\sum 1}_{i = 1}^{10}$

Simplifie.

$S = 385 - 2 \sum_{i = 1}^{10} i - \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utilise $\sum_{i = 1}^{10} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ avec $n = 10$ pour évaluer la deuxième somme.

$S = 385 - \frac{10 (10 + 1)}{2} - \sum_{i = 1}^{10} 1$

Simplifie.

$S = 385 - 55 - \sum_{i = 1}^{10} 1$

La dernière somme consiste simplement à additionner 10 fois 1, ce qui est identique à 10 fois 1.

$S = 385 - 55 - 10$

Simplifie.

$S = 320$

Former des sommes de Riemann

L'une des façons d'obtenir une approximation de l'aire située sous une courbe est de diviser l'aire en rectangles. Nous y parvenons de la manière suivante :

Commence par diviser l'intervalle de la surface en sous-intervalles. Plus il y en a, mieux c'est !
Associe un rectangle à chaque sous-intervalle.
La largeur de chaque rectangle est égale à la longueur du sous-intervalle correspondant.
La hauteur de chaque rectangle peut être trouvée en évaluant la fonction en un point quelconque du sous-intervalle.
- L'approximation du point d'extrémité gauche utilise la valeur la plus à gauche du sous-intervalle.
- L'approximation de l'extrémité droite utilise la valeur la plus à droite du sous-intervalle.

Mais qu'est-ce qui limite notre choix à la valeur la plus à gauche ou à la valeur la plus à droite ? Rien du tout ! Tant que nous prenons n'importe quel point à l'intérieur de l'intervalle, tout va bien !

Bien sûr, nos approximations seront différentes, mais nous devrions nous concentrer sur l'augmentation du nombre d'intervalles plutôt que de nous préoccuper du point à utiliser pour la hauteur des rectangles.

Définition de la somme de Riemann

Après avoir divisé la surface située sous une courbe en rectangles, nous les additionnons et nous obtenons une approximation de la surface. C'est ce qu'on appelle une somme de Riemann, du nom du mathématicien Bernhard Riemann, qui a travaillé sur cette idée au 19ème siècle.

Avant de définir la somme de Riemann, nous devons nous mettre dans le contexte. Soit $f (x)$ une fonction définie sur un intervalle fermé $a \leq x \leq b$ et que $P = {x_{i}}$ pour $i = 0, 1, 2, . . ., n$ est une partition régulière de $a \leq x \leq b$ . Nous avons un ensemble de n sous-intervalles de la forme $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ , tous d'une longueur de $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .

Former des sommes de Riemann partition régulière StudySmarter Une partition régulière de l'intervalle - StudySmarter Originals

Jusqu'à ce point, nous avons la même configuration pour les approximations du point d'extrémité droite et du point d'extrémité gauche en utilisant des sous-intervalles également espacés. La différence vient du point que nous utilisons pour trouver la hauteur des rectangles.

Une somme de Riemann pour la fonction $f (x)$ pour la partition P est définie comme suit :

$\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$

Où $x_{i}^{*}$ est une valeur quelconque à l'intérieur de l'intervalle $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ avec $x_i \ dans P$.

Les approximations du point d'extrémité droite et du point d'extrémité gauche sont des cas particuliers des sommes de Riemann.

Sommes de Riemann et approximation du point médian

Comme nous pouvons utiliser n'importe quelle valeur à l'intérieur de chaque sous-intervalle pour trouver les sommes de Riemann, pourquoi ne pas utiliser le point médian ? C'est ce qu'on appelle l'approximation du point médian.

L'approximation du point médian $M_{n}$ de l'aire située sous une courbe est un cas particulier de somme de Riemann obtenue en choisissant le point médian de chaque sous-intervalle. C'est-à-dire :

$M_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}) Δ x$

Comme d'habitude, cela se comprend mieux avec un exemple. Jetons un coup d'œil à une approximation par le point médian !

Utilise une approximation du point médian pour calculer approximativement l'aire ci-dessous $f (x) = x^{2} + 1$ dans l'intervalle $0 \leq x \leq 2$ en divisant l'intervalle en $10$ sous-intervalles de même taille.

Trouve la longueur de chaque sous-intervalle.

$Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$

Puisque la longueur de chaque sous-intervalle est de 0,2, notre partition sera constituée des points 0, 0,2, 0,4, ..., 1,6, 1,8 et 2. Cela peut se résumer comme suit :

$x_{i} = 0.2 i$

Nous utilisons l'approximation du point médian, donc le point médian entre chaque deux valeurs de la partition sera utilisé pour trouver la hauteur des rectangles.

Utilise la formule de l'approximation du point médian avec n=10 et $Δ x = 0.2$ .

$M_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}) (0.2)$

Plutôt que d'écrire $\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}$ nous pouvons utiliser l'expression de $x_{i}$ et simplifier.

$\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2} = \frac{0.2 (i - 1) + 0.2 i}{2} = 0.2 i - 0.1$

Nous pouvons substituer cette expression dans notre formule et utiliser les propriétés de la sommation pour trouver notre approximation.

$M_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i - 0.1) (0.2)$

Soustrais 0,2 de la somme.

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i - 0.1)$

Évalue la fonction à $0.2 i - 0.1$

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} ({(0.2 i - 0.1)}^{2} + 1)$

Développe le binôme et simplifie.

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} (0.04 i^{2} - 0.04 i + 1.01)$

Utilise les propriétés de la sommation pour réécrire la somme.

$M_{10} = 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i^{2} - 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utilise $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ pour évaluer la première somme.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utilise $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ pour évaluer la deuxième somme.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \frac{10 (11)}{2} + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Évalue la dernière somme.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \frac{10 (11)}{2} + 2.02$

Évalue à l'aide d'une calculatrice.

$M_{10} = 4.66$

Rappelle-toi que nous obtenons de meilleures approximations lorsque nous divisons l'intervalle en plusieurs sous-intervalles !

Jusqu'à présent, nous avons fait des approximations de surfaces sans savoir quelle approximation est la meilleure. Existe-t-il un moyen de savoir quelle somme de Riemann est la meilleure ? Malheureusement, si nous ne connaissons pas la valeur réelle de l'aire sous la courbe, il est impossible de savoir quelle approximation est la meilleure. D'ailleurs, il serait inutile de faire une approximation tout en connaissant la valeur réelle !

Il existe cependant un moyen d'écraser la valeur de l'aire entre deux valeurs.

Somme de Riemann supérieure

Nous sommes autorisés à prendre n'importe quelle valeur à l'intérieur de chaque sous-intervalle pour former notre somme de Riemann. Et si nous prenions la valeur maximale de $f$

dans chaque sous-intervalle ? La somme de Riemann obtenue par ce processus est appeléesomme de Riemann supérieure .

Une somme de Riemann pour la fonction $f (x)$ pour la partition $P = {x_{i}}$ est appeléesomme de Riemann supérieure si les valeurs $x_{i}^{*}$ sont considérées comme la valeur maximale de chaque sous-intervalle.

Dans ce cas, nous pouvons garantir que notre approximation sera supérieure ou égale à la valeur réelle de l'aire puisque nous prenons des morceaux plus grands de l'aire ! Si l'on considère que A est la surface située sous la courbe et que $S_{U}$ est une somme de Riemann supérieure, nous pouvons écrire l'inégalité suivante :

$S_{U} \geq A$

Trouvons maintenant une somme de Riemann supérieure de la fonction de notre exemple précédent, $f (x) = x^{2} + 1$ dans le même intervalle $0 \leq x \leq 2$ en divisant également l'intervalle en 10 sous-intervalles. Nous allons commencer par jeter un coup d'œil à son graphique.

Formation des sommes de Riemann parabole StudySmarter Graphique de la parabole f(x) divisée avec une approximation du point d'extrémité gauche - StudySmarter Originals

Nous pouvons remarquer que cette fonction est une fonction croissante, par conséquent, la plus grande valeur de chaque sous-intervalle est la valeur la plus à droite. Par conséquent, l'approximation de l'extrémité droite nous donnera une somme de Riemann supérieure.

Utilise la formule pour l'approximation de l'extrémité droite.

$R_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (x_{i}) Δ x$

Substitue $x_{i} = i Δ x$ et $Δ x = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$ dans la formule.

$R_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i) 0.2$

Détermine le facteur 0,2 et évalue la fonction.

$R_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} ({(0.2 i)}^{2} + 1)$

Utilise les propriétés de la sommation pour réécrire la somme.

$R_{10} = 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i^{2} + 0.2 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utilise $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ pour évaluer la première somme.

$R_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} + 0.2 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Évalue la dernière somme.

$R_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} + 0.2 (10)$

Évalue à l'aide d'une calculatrice.

$R_{10} = 5.08$

Nous pouvons voir que la valeur de notre approximation est supérieure à l'approximation du point médian. Nous savons également que cette valeur est supérieure à l'aire réelle sous la courbe !

Somme de Riemann inférieure

Et si nous prenions la valeur minimale de $f$ dans

chaque sous-intervalle ? On obtient une somme de Riemann inférieure !

Une somme de Riemann pour la fonction $f (x)$ pour la partition $P = {x_{i}}$ est appeléesomme de Riemann inférieure si les valeurs $x_{i}^{*}$ sont considérées comme la valeur minimale de chaque sous-intervalle.

Cette fois, nous pouvons garantir que notre approximation sera inférieure ou égale à la valeur réelle de l'aire puisque nous prenons de plus petits morceaux de l'aire ! Si l'on considère que A est la surface située sous la courbe et que $S_{L}$ est une somme de Riemann inférieure, nous pouvons écrire l'inégalité suivante :

$S_{L} \leq A$

Il est temps de trouver une somme de Riemann inférieure à celle de nos exemples précédents. Dans ce cas, la plus petite valeur de chaque sous-intervalle est la valeur la plus à gauche, donc une approximation du point d'extrémité gauche nous donnera une somme de Riemann inférieure.

Utilise la formule pour l'approximation de l'extrémité gauche.

$L_{10} = \sum_{i = 0}^{9} f (x_{i}) Δ x$

Substitue $x_{i} = i Δ x$ et $Δ x = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$ dans la formule.

$L_{10} = \sum_{i = 0}^{9} f (0.2 i) 0.2$

Détermine le facteur 0,2 et évalue la fonction.

$L_{10} = 0.2 \sum_{i = 0}^{9} ({(0.2 i)}^{2} + 1)$

Utilise les propriétés de la sommation pour réécrire la somme.

$L_{10} = 0.008 \sum_{i = 0}^{9} i^{2} + 0.2 \sum_{i = 0}^{9} 1$

La dernière somme se compose toujours de 10 termes, elle peut donc être évaluée comme l'addition de 1 dix fois ensemble.

Évalue la dernière somme.

$L_{10} = 0.008 \sum_{i = 0}^{9} i^{2} + 0.2 (10)$

Pour la première somme, note que le terme contenant $i = 0$ ne contribue pas à la somme car $0^{2} = 0$ Cette somme peut donc être évaluée comme si elle allait de $i = 1$ à 9.

Utilise $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ pour évaluer la somme.

$L_{10} = 0.008 \frac{9 (10) (19)}{6} + 0.2 (10)$

Évalue à l'aide d'une calculatrice.

$L_{10} = 4.28$

Nous avons obtenu une approximation de 4,28. Cela signifie que la valeur réelle de l'aire sous la courbe se situe entre 4,28 et 5,08 !

Sommes de Riemann et aire sous la courbe

Nous avons vu comment les sommes de Riemann inférieures et supérieures nous donnent une limite pour l'aire sous une courbe. Celle-ci dépend également du nombre de sous-intervalles que nous divisons la surface sous la courbe. Que se passe-t-il si nous utilisons un nombre infini de sous-intervalles ?

Soit $f (x)$ soit une fonction continue sur un intervalle $a \leq x \leq b$ . L'aire sous la courbe est alors obtenue comme la limite à l'infini d'une somme de Riemann :

$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$

Où $x_{i}^{*}$ est une valeur quelconque à l'intérieur de l'intervalle $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ et $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .

Pensons à l'expression ci-dessus : en augmentant n, nous obtenons des rectangles plus fins, qui s'inscriront alors parfaitement sous la courbe. En additionnant tous ces rectangles, nous obtenons l'aire sous la courbe ! Voyons une illustration à l'aide de 70 rectangles.

Formation de sommes de Riemann parabole rectangles fins StudySmarter Approximation de l'aire sous la courbe à l'aide de 70 rectangles - StudySmarter Originals

Cela semble très bien correspondre à l'aire sous la courbe, n'est-ce pas ? Imagine maintenant ce qui se passerait si nous utilisions encore plus de rectangles !

Résumé

Former des sommes de Riemann - Points clés à retenir

Une somme de Riemann consiste à diviser l'aire située sous une courbe en rectangles et à les additionner.
- Les sommes de Riemann sont étroitement liées aux approximations du point d'extrémité gauche et du point d'extrémité droite. Toutes deux sont des cas particuliers d'une somme de Riemann.
Une somme de Riemann inférieure est une somme de Riemann obtenue en utilisant la plus petite valeur de chaque sous-intervalle pour calculer la hauteur de chaque rectangle.
- La valeur d'une somme de Riemann inférieure est toujours inférieure ou égale à la surface située sous la courbe.
Une somme de Riemann supérieure est une somme de Riemann obtenue en utilisant la plus grande valeur de chaque sous-intervalle pour calculer la hauteur de chaque rectangle.
- La valeur d'une somme de Riemann supérieure est toujours supérieure ou égale à la surface située sous la courbe.
L'aire sous une courbe est limitée entre une somme de Riemann inférieure et une somme de Riemann supérieure.
Si l'on prend la limite d'une somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini, on obtient l'aire sous la courbe.

Fiches dans Formation de sommes de Riemann 6

Commence à apprendre

Toutes les sommes de Riemann sont soit une approximation de l'extrémité gauche, soit une approximation de l'extrémité droite.

Faux.

L'approximation de l'extrémité droite est un cas particulier de somme de Riemann.

Vrai.

Une somme de Riemann supérieure est toujours supérieure ou égale à la surface exacte située sous la courbe.

Vrai.

Une somme de Riemann inférieure est toujours inférieure ou égale à la surface exacte sous la courbe.

Vrai.

Suppose que, dans un certain intervalle, une somme de Riemann inférieure d'une fonction est 24,92 et une somme de Riemann supérieure est 25,08. Que peut-on conclure de cette information ?

Que la zone située sous la courbe est comprise entre 24,92 et 25,08.

Une approximation de l'extrémité gauche nous donne toujours une somme de Riemann inférieure.

Faux.

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Questions fréquemment posées en Formation de sommes de Riemann

Qu'est-ce qu'une somme de Riemann?

Une somme de Riemann est un moyen d'approximer l'aire sous une courbe en somme des aires de rectangles.

Comment calcule-t-on une somme de Riemann?

Pour calculer une somme de Riemann, on divise l'intervalle en sous-intervalles, puis on somme les produits des hauteurs et largeurs des rectangles correspondants.

Quel est le but de la somme de Riemann?

Le but est d'approximer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle donné en utilisant des rectangles.

Quels sont les types de sommes de Riemann?

Les principaux types sont les sommes de Riemann à gauche, à droite, et centrées, selon comment est choisie la hauteur des rectangles.

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