Formation de sommes de Riemann

Formules en notation Sigma

Avant de poursuivre, nous allons présenter quelques formules en notation Sigma qui nous faciliteront la vie lorsque nous travaillerons avec des sommes.

Les formules ci-dessus, ainsi que les propriétés de base des sommes, sont très utiles pour calculer des aires approximatives à l'aide de la notation sigma. Voyons un exemple qui les utilise !

Former des sommes de Riemann

L'une des façons d'obtenir une approximation de l'aire située sous une courbe est de diviser l'aire en rectangles. Nous y parvenons de la manière suivante :

• Commence par diviser l'intervalle de la surface en sous-intervalles. Plus il y en a, mieux c'est !
• Associe un rectangle à chaque sous-intervalle.
• La largeur de chaque rectangle est égale à la longueur du sous-intervalle correspondant.
• La hauteur de chaque rectangle peut être trouvée en évaluant la fonction en un point quelconque du sous-intervalle.
  • L'approximation du point d'extrémité gauche utilise la valeur la plus à gauche du sous-intervalle.
  • L'approximation de l'extrémité droite utilise la valeur la plus à droite du sous-intervalle.

Mais qu'est-ce qui limite notre choix à la valeur la plus à gauche ou à la valeur la plus à droite ? Rien du tout ! Tant que nous prenons n'importe quel point à l'intérieur de l'intervalle, tout va bien !

Définition de la somme de Riemann

Après avoir divisé la surface située sous une courbe en rectangles, nous les additionnons et nous obtenons une approximation de la surface. C'est ce qu'on appelle une somme de Riemann, du nom du mathématicien Bernhard Riemann, qui a travaillé sur cette idée au 19ème siècle.

Avant de définir la somme de Riemann, nous devons nous mettre dans le contexte. Soit $f\left(x\right)$une fonction définie sur un intervalle fermé $a\le x\le b$et que $P=\left\{x_i\right\}$pour $i=0,1,2,...,n$est une partition régulière de $a\le x\le b$. Nous avons un ensemble de n sous-intervalles de la forme $x_{i-1}\le x\le x_i$, tous d'une longueur de $\Delta x=\frac{b-a}{n}$.

Une partition régulière de l'intervalle - StudySmarter Originals

Jusqu'à ce point, nous avons la même configuration pour les approximations du point d'extrémité droite et du point d'extrémité gauche en utilisant des sous-intervalles également espacés. La différence vient du point que nous utilisons pour trouver la hauteur des rectangles.

Les approximations du point d'extrémité droite et du point d'extrémité gauche sont des cas particuliers des sommes de Riemann.

Sommes de Riemann et approximation du point médian

Comme nous pouvons utiliser n'importe quelle valeur à l'intérieur de chaque sous-intervalle pour trouver les sommes de Riemann, pourquoi ne pas utiliser le point médian ? C'est ce qu'on appelle l'approximation du point médian.

Comme d'habitude, cela se comprend mieux avec un exemple. Jetons un coup d'œil à une approximation par le point médian !

Rappelle-toi que nous obtenons de meilleures approximations lorsque nous divisons l'intervalle en plusieurs sous-intervalles !

Jusqu'à présent, nous avons fait des approximations de surfaces sans savoir quelle approximation est la meilleure. Existe-t-il un moyen de savoir quelle somme de Riemann est la meilleure ? Malheureusement, si nous ne connaissons pas la valeur réelle de l'aire sous la courbe, il est impossible de savoir quelle approximation est la meilleure. D'ailleurs, il serait inutile de faire une approximation tout en connaissant la valeur réelle !

Il existe cependant un moyen d'écraser la valeur de l'aire entre deux valeurs.

Somme de Riemann supérieure

Nous sommes autorisés à prendre n'importe quelle valeur à l'intérieur de chaque sous-intervalle pour former notre somme de Riemann. Et si nous prenions la valeur maximale de $f$

dans chaque sous-intervalle ? La somme de Riemann obtenue par ce processus est appeléesomme de Riemann supérieure .

Dans ce cas, nous pouvons garantir que notre approximation sera supérieure ou égale à la valeur réelle de l'aire puisque nous prenons des morceaux plus grands de l'aire ! Si l'on considère que A est la surface située sous la courbe et que $S_U$est une somme de Riemann supérieure, nous pouvons écrire l'inégalité suivante :

$S_U\ge A$

Nous pouvons voir que la valeur de notre approximation est supérieure à l'approximation du point médian. Nous savons également que cette valeur est supérieure à l'aire réelle sous la courbe !

Somme de Riemann inférieure

Et si nous prenions la valeur minimale de $f$ dans

chaque sous-intervalle ? On obtient une somme de Riemann inférieure !

Cette fois, nous pouvons garantir que notre approximation sera inférieure ou égale à la valeur réelle de l'aire puisque nous prenons de plus petits morceaux de l'aire ! Si l'on considère que A est la surface située sous la courbe et que $S_L$est une somme de Riemann inférieure, nous pouvons écrire l'inégalité suivante :

$S_L\le A$

Nous avons obtenu une approximation de 4,28. Cela signifie que la valeur réelle de l'aire sous la courbe se situe entre 4,28 et 5,08 !

Sommes de Riemann et aire sous la courbe

Nous avons vu comment les sommes de Riemann inférieures et supérieures nous donnent une limite pour l'aire sous une courbe. Celle-ci dépend également du nombre de sous-intervalles que nous divisons la surface sous la courbe. Que se passe-t-il si nous utilisons un nombre infini de sous-intervalles ?

Pensons à l'expression ci-dessus : en augmentant n, nous obtenons des rectangles plus fins, qui s'inscriront alors parfaitement sous la courbe. En additionnant tous ces rectangles, nous obtenons l'aire sous la courbe ! Voyons une illustration à l'aide de 70 rectangles.

Approximation de l'aire sous la courbe à l'aide de 70 rectangles - StudySmarter Originals

Cela semble très bien correspondre à l'aire sous la courbe, n'est-ce pas ? Imagine maintenant ce qui se passerait si nous utilisions encore plus de rectangles !

Résumé