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La relation entre les fonctions logarithmiques et les fonctions exponentielles
La fonction logarithmique est définie comme l'inverse de la fonction exponentielle. Voir Fonctionsa> inverses pour plus de détails sur la façon dont les fonctions et leurs inverses sont liés, mais en bref, deux fonctions f et g sont inverses l'une de l' autre si ...
Pour plus d'informations sur la façon dont les fonctions et leurs inverses sont liées, voir Fonctions inverses .
Lorsque tu regardes les graphiques d'une fonction exponentielle et de la fonction logarithmique correspondante, ils sont des réflexions l'un sur l'autre sur la ligne . En d'autres termes, si le point se trouve sur l'un des graphiques, alors le point se trouve sur l'autre graphique.
Règles des fonctions logarithmiques
Tu vas utiliser les règles des logarithmes:
- Règle du produit :
- Règle du quotient :
- Règle de réciprocité :
- Règle de la puissance :
- Règle proportionnelle (formule de changement de base) :
Simplifie l'expression .
Réponse :
Étape 1 : S'il s'agissait d'un logarithme de base 10, la réponse serait en utilisant les propriétés des fonctions inverses. L'idée est donc d'utiliser la règle des proportions (également connue sous le nom de formule de changement de base) pouren faire d'abord un logarithme en base 10. Il y a deux façons de procéder, et tu obtiendras la même réponse d'une façon ou d'une autre.
La première consiste à utiliser le fait que 10 est le nombre que tu élèves à une puissance :
La deuxième façon est de regarder le logarithme et de voir qu'il est en base 100, et de l'utiliser pour obtenir :
et de résoudre ensuite pour pour obtenir Les deux méthodes fonctionnent, et tu peux utiliser celle qui est la plus facile à comprendre et à retenir.
Tu obtiendras donc
Étape 2 : Utilise maintenant les propriétés des exposants,
L'expression complètement simplifiée est
Erreur courante - Fonctions logarithmiques
Chaque fois que tu utilises les règles des logarithmes, tu dois t'assurer que tu utilises des valeurs pour x qui ont un sens pour la fonction, ainsi que pour la fonction exponentielle, puisqu'elles sont inverses.
Par exemple, tu ne peux pas essayer d'utiliser des valeurs négatives pour dans car la fonction exponentielle est toujours positive. Une valeur négative de x rendrait négative (x et y s'inversent).Tu ne peux pas non plus utiliser une constante négative pour la base d'un logarithme car tu ne peux pas l'utiliser comme base d'une exponentielle. dans un logarithme parce que tu ne peux pas l'utiliser comme base d'une fonction exponentielle.
Une fonction logarithmique est toute fonction de la forme où , , et . Cela signifie que f(x) est égal au logarithme de base b de x.
Lorsque la base b n 'est pas indiquée, on considère qu'elle est égale à 10. Ainsi signifie la même chose que .
Quelle est l'inverse de la fonction ?
Réponse :
Rappelle-toi que lorsqu'aucune base n'est indiquée, on considère qu'elle est égale à 10. L'inverse de est .
Quel est l'inverse de la fonction ?
Réponse :
Rappelle-toi que les inverses fonctionnent dans les deux sens ! L'inverse de est .
Cite au moins 3 points sur le graphique de sans tracer le graphique de la fonction ou utiliser une calculatrice.
Réponse :
Ce problème semble plus délicat qu'il ne l'est en réalité. Tu sais déjà que l'inverse de est et que si est un point sur le graphique de alors est un point sur le graphique de .
Étape 1 : Les fonctions exponentielles ont une ordonnée à l'origine à , donc le point se trouve sur le graphique de .
Étape 2 : Pour obtenir deux autres points sur le graphique, évalue les points sur le graphique de . En choisissant deux valeurs aléatoires, .
Étape 3 : Évalue un autre point sur le graphique de
Etape 4 : Donc les points et sont sur le graphique de . Tu sais donc que les points et sont des points sur le graphique de .
Ainsi, sans utiliser de calculatrice, tu peux voir que trois points sur le graphique de sont , , , et .
Propriétés de la fonction logarithmique
Comme les deux fonctions sont équivalentes, tu peux utiliser les propriétés de la fonction exponentielle (voir Fonctions exponentielles ) lorsque tu réfléchis aux propriétés des fonctions logarithmiques. Une fonction exponentielle ne peut pas avoir un nombre négatif pour base, c'est pourquoi la base de la fonction logarithmique ne peut pas être négative non plus. La fonction exponentielle ne prend que des valeurs positives pour y, donc la fonction logarithmique ne peut utiliser que des nombres positifs pour x.
Cela conduit aux propriétés suivantes des fonctions logarithmiques:
- le domaine est
- l'étendue est
- il n'y a pas d'ordonnée à l'origine
- l'ordonnée à l'origine est à
- l'asymptote verticale a pour équation
Représentation graphique des fonctions logarithmiques
Examinons d'abord quelques exemples de fonctions logarithmiques pour voir comment la base b affecte le graphique.
Ici
Ils ont tous
- ont tous la même asymptote verticale à .
- ont la même interception x à .
- sont concaves vers le bas
- sont des fonctions croissantes.
Examinons la base des fonctions de l'exemple et utilisons la formule de changement de base.
En réalité, ils sont tous des multiples constants de .
Et si la base était une puissance fractionnaire de 2 ? Par exemple, si mais tu as maintenant
, , et , puis
ce qui signifie qu'il s'agit à nouveau de multiples constants de mais ils devraient également être inversés sur l'axe des x.
Logarithmes avec des fractions comme base | StudySmarter Originals
Comme tu peux le voir, ces trois nouvelles fonctions sont
- décroissantes,
- concaves vers le haut,
- ont comme asymptote verticale, et
- ont toutes la même ordonnée à l 'origine à .
Exemples de fonctions logarithmiques
Les fonctions logarithmiques sont utilisées pour modéliser des choses comme le bruit et l'intensité des tremblements de terre. Voyons quelques exemples concrets en action !
Les sons sont mesurés sur une échelle logarithmique à l'aide de l'unité décibels (dB). Le son peut être modélisé à l'aide de l'équation :
Où
- est la puissance du son,
- est le plus petit son qu'une personne puisse entendre, et
- est le nombre de décibels pour la puissance :
Disons que tu envisages d'acheter un nouveau haut-parleur. L'enceinte A dit qu'elle a un niveau sonore de 50 décibels, tandis que l'enceinte B dit qu'elle a un niveau sonore de 75 décibels. De combien le son de l'enceinte B est-il plus intense que celui de l'enceinte A ?
Réponse :
Étape 1 : À titre de comparaison, appelle le niveau de décibels du haut-parleur A, et le niveau de décibels du haut-parleur B. D'après les informations données, tu sais que :
- le locuteur A a où est la puissance du locuteur A
- le haut-parleur B a où est la puissance du locuteur B
Étape 2 : Si tu prends l'équation de l'enceinte A et que tu l'écris en termes de te permettra de la substituer à l'équation de l'enceinte B. Ainsi
Étape 3 : Substitue ce résultat à l'équation de l'enceinte B,
Le son émis par l'enceinte B est donc environ 316 fois plus intense que celui de l'enceinte A !
Les tremblements de terre sont mesurés sur une échelle logarithmique appelée échelle de Richter. La magnitude d'un tremblement de terre est une mesure de la quantité d'énergie libérée. Ici est l'amplitude de la plus petite onde qu'un sismographe (l'appareil qui mesure l'ampleur des mouvements de la terre) peut mesurer. La formule pour mesurer un tremblement de terre sur l'échelle de Richter est donc la suivante
où mesure l'amplitude de l'onde du tremblement de terre. En général, un tremblement de terre se mesure entre 2 et 10 sur l'échelle de Richter. Ceux qui atteignent moins de 5 sur l'échelle sont considérés comme relativement mineurs, et ceux qui dépassent 8 sur l'échelle sont susceptibles de causer beaucoup de dégâts. En fait, un tremblement de terre de magnitude 5 est 10 fois plus puissant qu'un tremblement de terre de magnitude 4.
Suppose qu'un tremblement de terre dans l'Indiana ait une magnitude de 8,1 sur l'échelle de Richter, mais qu'un tremblement de terre survenu le même jour en Californie ait été 1,26 fois plus intense. Quelle était la magnitude du tremblement de terre en Californie ?
Réponse :
Étape 1 : En utilisant la définition de l'échelle de Richter, et en utilisant pour l'amplitude du tremblement de terre de l'Indiana, le tremblement de terre de l'Indiana a eu une magnitude de 1,26 fois.
Étape 2 : Fais passer chaque côté en base 10 et résous la question suivante :
Tu peux maintenant utiliser le fait que le tremblement de terre de Californie était 1,26 fois plus intense que celui de l'Indiana, ou en d'autres termes, si est l'amplitude du tremblement de terre en Californie, alors . Donc
Cela signifie que le tremblement de terre en Californie mesurait environ 8,2 sur l'échelle de Richter.
Dérivées des fonctions logarithmiques
La dérivée de la fonction logarithmique est
Pour plus d'informations sur les dérivées des fonctions logarithmiques, voir Dérivée de la fonction logarithmique.
Fonctions logarithmiques - Points clés à retenir
- est équivalent à
- la formule d'une fonction logarithmique est la suivante où , et .
- est la même chose que
- Les logarithmes sont utilisés pour mesurer des choses comme les décibels et la force des tremblements de terre.
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