Dans cet article, nous discutons en détail de ce qu'est une fonction linéaire, de ses caractéristiques, de son équation, de sa formule, de son graphique, de son tableau, et nous passons en revue plusieurs exemples.
- Définition d'une fonction linéaire
- Équation d'une fonction linéaire
- Formule de la fonction linéaire
- Graphique d'une fonction linéaire
- Tableau de fonctions linéaires
- Exemples de fonctions linéaires
- Fonctions linéaires - points clés à retenir
Définition de la fonction linéaire
Qu'est-ce qu'une fonction linéaire?
Une fonction linéaire est une fonction polynomiale dont le degré est égal à 0 ou 1. Cela signifie que chaque terme de la fonction est soit une constante, soit une constante multipliée par une seule variable dont l'exposant est soit 0, soit 1.
Lorsqu'elle est représentée graphiquement, une fonction linéaire est une ligne droite dans un plan de coordonnées.
Par définition, une ligne est droite, donc dire "ligne droite" est redondant. Nous utilisons souvent le terme "ligne droite" dans cet article, mais il suffit de dire "ligne".
Caractéristiques des fonctions linéaires
Lorsque nous disons que
est une fonction linéaire de
, nous voulons dire que le graphique de la fonction est une ligne droite.
La pente d'une fonction linéaire est également appelée taux de variation.
Une fonction linéaire croît à un rythme constant.
L'image ci-dessous montre :
- le graphique de la fonction linéaire
et
- un tableau d'exemples de valeurs de cette fonction linéaire.
Le graphique et le tableau des exemples de valeurs d'une fonction linéaire, StudySmarter Originals
Remarque que lorsque augmente de 0,1, la valeur de
augmente de 0,3, ce qui signifie que
augmente trois fois plus vite que
.
Par conséquent, la pente du graphique de , 3, peut être interprétée comme le taux de changement de
par rapport à
.
Une fonction linéaire peut être une ligne croissante, décroissante ou horizontale.
Les fonctions linéairescroissantes ont unepente positive .
Les fonctions linéairesdécroissantes ont unepente négative .
Les fonctions linéaireshorizontales ont une pente nulle.
L'ordonnée à l'origine d' une fonction linéaire est la valeur de la fonction lorsque la valeur x est nulle.
Cette valeur est également appelée valeur initiale dans les applications du monde réel.
Fonctions linéaires et non linéaires
Les fonctions linéaires sont un type particulier de fonction polynomiale. Toute autre fonction qui ne forme pas une ligne droite lorsqu'elle est représentée sur un plan de coordonnées est appelée fonction non linéaire.
Voici quelques exemples de fonctions non linéaires :
- toute fonction polynomiale d'un degré égal ou supérieur à 2, telle que
- les fonctions quadratiques
- les fonctions cubiques
- les fonctions rationnelles
- fonctions exponentielles et logarithmiques
Lorsque nous pensons à une fonction linéaire en termes algébriques, deux choses nous viennent à l'esprit :
L'équation et
Les formules
Équation d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction algébrique, et la fonction linéaire parente est :
Qui est une ligne qui passe par l'origine.
En général, une fonction linéaire est de la forme :
Où et
sont des constantes.
Dans cette équation,
est la pente de la ligne
est l'ordonnée à l'origine de la droite
est la variable indépendante
ou
est la variable dépendante
Formule de la fonction linéaire
Il existe plusieurs formules qui représentent les fonctions linéaires. Toutes peuvent être utilisées pour trouver l'équation de n'importe quelle ligne (sauf les lignes verticales), et celle que nous utilisons dépend des informations disponibles.
Comme les lignes verticales ont une pente indéfinie (et échouent au test de la ligne verticale), ce ne sont pas des fonctions !
Forme standard
La forme standard d'une fonction linéaire est :
Où sont des constantes.
Forme de l'ordonnée à l'origine
La forme de l'ordonnée à l'origine d'une fonction linéaire est la suivante :
Où :
est un point sur la ligne.
est la pente de la ligne.
Rappelle-toi : la pente peut être définie comme
, où
et
sont deux points quelconques de la ligne.
Forme point-pente
La forme point-pente d'une fonction linéaire est :
Où :
est un point sur la ligne.
est un point fixe quelconque sur la ligne.
Forme de l'ordonnée à l'origine
La forme de l'ordonnée à l'origine d'une fonction linéaire est :
Où :
est un point sur la ligne.
et
sont respectivement l'ordonnée à l'origine des x et l'ordonnée à l'origine des y.
Graphique d'une fonction linéaire
Le graphique d'une fonction linéaire est assez simple : il s'agit simplement d'une ligne droite sur le plan de coordonnées. Dans l'image ci-dessous, les fonctions linéaires sont représentées sous la forme d'une intersection de pente. (La variable indépendante,
, est multipliée par un nombre qui détermine la pente (ou gradient) de cette ligne, et
détermine l'endroit où la ligne traverse l'axe des ordonnées (appelé l'ordonnée à l'origine).
Les graphiques de deux fonctions linéaires, StudySmarter Originals
Représentation graphique d'une fonction linéaire
De quelles informations avons-nous besoin pour représenter graphiquement une fonction linéaire ? D'après les formules ci-dessus, nous avons besoin de :
deux points sur la ligne, ou
d'un point sur la ligne et de sa pente.
Utilisation de deux points
Pour représenter graphiquement une fonction linéaire à l'aide de deux points, il faut soit qu'on nous donne deux points à utiliser, soit que nous introduisions les valeurs de la variable indépendante et que nous résolvions la variable dépendante pour trouver deux points.
Si l'on nous donne deux points, la représentation graphique de la fonction linéaire consiste simplement à tracer les deux points et à les relier par une ligne droite.
En revanche, si l'on nous donne la formule d'une équation linéaire et que l'on nous demande de la représenter graphiquement, il y a plus d'étapes à suivre.
Trace le graphique de la fonction :
Solution :
- Trouve deux points sur la ligne en choisissant deux valeurs pour
.
- Prenons les valeurs
et
.
- Prenons les valeurs
- Substitue les valeurs que nous avons choisies pour
dans la fonction et résous les valeurs y correspondantes.
- Nos deux points sont donc :
et
.
- Reporte les points sur une plaque de coordonnées et relie-les par une ligne droite.
- N'oublie pas de prolonger la ligne au-delà des deux points, car une ligne n'a pas de fin !
- Le graphique se présente donc comme suit :
Le graphique d'une droite utilisant deux points, StudySmarter Originals
Utiliser la pente et l'ordonnée à l'origine
Pour représenter graphiquement une fonction linéaire à l'aide de sa pente et de son ordonnée à l'origine, nous traçons l'ordonnée à l'origine sur un plan de coordonnées et nous utilisons la pente pour trouver un deuxième point à tracer.
Fais le graphique de la fonction :
Solution :
- Trace l'ordonnée à l'origine, qui est de la forme :
.
- L'ordonnée à l'origine de cette fonction linéaire est :
- L'ordonnée à l'origine de cette fonction linéaire est :
- Écris la pente sous forme de fraction (si ce n'est pas déjà le cas !)
et identifie la "montée" et la "descente".
- Pour cette fonction linéaire, la pente est
.
- Donc,
et
.
- Donc,
- Pour cette fonction linéaire, la pente est
- En partant de l'ordonnée à l'origine, déplace-toi verticalement par la "montée" puis horizontalement par la "descente".
- Note que : si la montée est positive, nous nous déplaçons vers le haut, et si la montée est négative, nous nous déplaçons vers le bas.
- Et note que : si la course est positive, nous nous déplaçons vers la droite, et si la course est négative, nous nous déplaçons vers la gauche.
- Pour cette fonction linéaire,
- Nous "montons" d'une unité.
- Nous "courons" vers la droite de 2 unités.
- Relie les points avec une ligne droite, et prolonge-la au-delà des deux points.
- Ainsi, le graphique ressemble à :
Utiliser la pente et l'ordonnée à l'origine pour tracer le graphique d'une droite, StudySmarter Originals
Domaine et étendue d'une fonction linéaire
Pourquoi prolongeons-nous le graphique d'une fonction linéaire au-delà des points que nous utilisons pour le tracer ? Nous le faisons parce que le domaine et l'étendue d'une fonction linéaire sont tous deux l'ensemble de tous les nombres réels !
Domaine
Toute fonction linéaire peut prendre n'importe quelle valeur réelle de comme entrée et donner une valeur réelle de
comme sortie. Cela peut être confirmé en regardant le graphique d'une fonction linéaire. À mesure que l'on se déplace le long de la fonction, pour chaque valeur de
, il n'y a qu'une seule valeur correspondante de
.
Par conséquent, tant que le problème ne nous donne pas un domaine limité, le domaine d'une fonction linéaire est :
Plage
De plus, les sorties d'une fonction linéaire peuvent aller de l'infini négatif à l'infini positif, ce qui signifie que l'étendue est également l'ensemble de tous les nombres réels. Cela peut également être confirmé en regardant le graphique d'une fonction linéaire. À mesure que l'on se déplace le long de la fonction, pour chaque valeur de , il n'y a qu'une seule valeur correspondante de
.
Par conséquent, tant que le problème ne nous donne pas un intervalle limité, et , l'intervalle d'une fonction linéaire est :
Lorsque la pente d'une fonction linéaire est 0, il s'agit d'une ligne horizontale. Dans ce cas, le domaine est toujours l'ensemble des nombres réels, mais l'étendue est juste b.
Tableau des fonctions linéaires
Les fonctions linéaires peuvent également être représentées par un tableau de données qui contient des paires de valeurs x et y. Pour déterminer si un tableau donné de ces paires est une fonction linéaire, nous suivons trois étapes :
Calcule les différences entre les valeurs x.
Calcule les différences entre les valeurs y.
Compare le rapport
pour chaque paire.
Si ce rapport est constant, le tableau représente une fonction linéaire.
Nous pouvons également vérifier si un tableau de valeurs x et y représente une fonction linéaire en déterminant si le taux de variation de par rapport à
(également connu sous le nom de pente) reste constant.
En général, un tableau représentant une fonction linéaire ressemble à ceci :
| Valeur x | valeur y |
| 1 | 4 |
| 2 | 5 |
| 3 | 6 |
| 4 | 7 |
Identifier une fonction linéaire
Déterminer si une fonction est une fonction linéaire dépend de la façon dont la fonction est présentée.
Si une fonction est présentée de façon algébrique :
alors il s'agit d'une fonction linéaire si la formule ressemble à :
.
Si une fonction est présentée graphiquement :
alors c'est une fonction linéaire si le graphique est une ligne droite.
Si une fonction est présentée à l'aide d'un tableau :
il s'agit d'une fonction linéaire si le rapport entre la différence des valeurs y et la différence des valeurs x est toujours constant. Voyons un exemple de cette fonction
Détermine si le tableau donné représente une fonction linéaire.
| Valeur x | valeur y |
| 3 | 15 |
| 5 | 23 |
| 7 | 31 |
| 11 | 47 |
| 13 | 55 |
Solution :
Pour déterminer si les valeurs données dans le tableau représentent une fonction linéaire, nous devons suivre les étapes suivantes :
- Calcule les différences entre les valeurs x et les valeurs y.
- Calcule les rapports de la différence en x sur la différence en y.
- Vérifie si le rapport est le même pour toutes les paires X,Y.
- Si le rapport est toujours le même, la fonction est linéaire !
Appliquons ces étapes au tableau donné :
Déterminer si un tableau de valeurs représente une fonction linéaire, StudySmarter Originals.
Types particuliers de fonctions linéaires
Il existe quelques types spéciaux de fonctions linéaires auxquels nous aurons probablement affaire en calcul. Ce sont :
Les fonctions linéaires représentées comme des fonctions par morceaux et
les paires de fonctions linéaires inverses.
Fonctions linéaires par morceaux
Dans notre étude du calcul, nous aurons affaire à des fonctions linéaires qui peuvent ne pas être définies uniformément dans tout leur domaine. Il se peut qu'elles soient définies de deux façons ou plus, car leur domaine est divisé en deux parties ou plus.
Dans ce cas, on parle de fonctions linéaires par morceaux.
Trace le graphique de la fonction linéaire par morceaux suivante :
Le symbole ∈ ci-dessus signifie "est un élément de".
Solution :
Cette fonction linéaire a deux domaines finis :
et
En dehors de ces intervalles, la fonction linéaire n'existe pas. Par conséquent, lorsque nous tracerons le graphique de ces lignes, nous ne ferons en fait que tracer les segments de ligne définis par les points d'extrémité des domaines.
- Détermine les extrémités de chaque segment de droite.
- Pour
, les extrémités sont
et
.
Remarque que dans le domaine de x+2, le 1 est entouré d'une parenthèse au lieu d'un crochet. Cela signifie que le 1 n'est pas inclus dans le domaine de x+2 ! Il y a donc un "trou" dans la fonction.
- Pour
, les points d'extrémité sont
et
.
- Pour
- Calcule les valeurs y correspondantes à chaque extrémité.
- Sur le domaine
:
valeur x valeur y -2 1
- Sur le domaine
:
valeur x valeur y 1 2
- Sur le domaine
- Reporte les points sur un plan de coordonnées et relie les segments par une ligne droite.
Le graphique d'une fonction linéaire par morceaux, StudySmarter Originals
Fonctions linéaires inverses
De même, nous traiterons également des fonctions linéaires inverses, qui sont l'un des types de fonctions inverses. Pour expliquer brièvement, si une fonction linéaire est représentée par :
Alors son inverse est représentée par :
telle que
Trouve l'inverse de la fonction :
Solution :
- Remplace
par
.
- Remplace
par
, et
par
.
- Résous cette équation pour
.
- Remplace
par
.
Si nous représentons graphiquement et
sur le même plan de coordonnées, nous remarquerons qu'ils sont symétriques par rapport à la ligne
. Il s'agit d'une caractéristique des fonctions inverses.
Le graphique d'une paire de fonctions linéaires inverses et leur ligne de symétrie, StudySmarter Originals
Exemples de fonctions linéaires
Applications des fonctions linéaires dans le monde réel
Les fonctions linéaires ont plusieurs utilisations dans le monde réel. En voici quelques-unes :
Problèmes de distance et de taux en physique
Calcul des dimensions
Déterminer le prix des choses (pense aux taxes, aux frais, aux pourboires, etc. qui sont ajoutés au prix des choses).
Disons que tu aimes jouer à des jeux vidéo.
Tu t'abonnes à un service de jeux qui facture des frais mensuels de 5,75 $, plus des frais supplémentaires de 0,35 $ pour chaque jeu téléchargé.
Nous pouvons écrire tes frais mensuels réels à l'aide de la fonction linéaire :
Où est le nombre de jeux que tu télécharges en un mois.
Fonctions linéaires : Exemples de problèmes résolus
Écris la fonction donnée sous forme de paires ordonnées.
Solution :
Les paires ordonnées sont : et
.
Trouve la pente de la droite pour ce qui suit.
Solution :
- Écris la fonction donnée sous forme de paires ordonnées.
- Calcule la pente à l'aide de la formule :
où
correspond à
respectivement.
La pente de la fonction est donc de 1.
Trouve l'équation de la fonction linéaire donnée par les deux points :
Solution :
- En utilisant la formule de la pente, calcule la pente de la fonction linéaire.
- En utilisant les valeurs données par les deux points et la pente que nous venons de calculer, nous pouvons écrire l'équation de la fonction linéaire sous la forme point-pente.
- La forme point-pente d'une ligne.
- Remplace les valeurs de
.
- distribue le signe négatif.
- distribue les 4.
- simplifie.
est l'équation de la droite.
La relation entre Fahrenheit et Celsius est linéaire. Le tableau ci-dessous présente quelques-unes de leurs valeurs équivalentes. Trouve la fonction linéaire représentant les données du tableau.
| Celsius (°C) | Fahrenheit (°F) |
| 5 | 41 |
| 10 | 50 |
| 15 | 59 |
| 20 | 68 |
Solution :
- Pour commencer, nous pouvons choisir deux paires de valeurs équivalentes dans le tableau. Ce sont les points de la ligne.
- Choisissons
et
.
- Choisissons
- Calcule la pente de la droite entre les deux points choisis.
La pente est donc de 9/5.
- Écris l'équation de la droite en utilisant la forme point-pente.
- Ecris l'équation de la droite en utilisant la forme point-pente d'une droite.
- Remplace les valeurs de
.
- distribue la fraction et annule les termes.
- simplifie.
- Note que d'après le tableau,
- Nous pouvons remplacer
, la variable indépendante, par
, pour Celsius, et
- Nous pouvons remplacer
, la variable dépendante, par
, pour Fahrenheit.
- Nous avons donc :
est la relation linéaire entre Celsius et Fahrenheit.
- Nous pouvons remplacer
Disons que le coût de la location d'une voiture peut être représenté par la fonction linéaire :
Où est le nombre de jours de location de la voiture.
Quel est le coût de la location de la voiture pour 10 jours ?
Solution :
- Substitue
dans la fonction donnée.
- substituer.
- simplifie.
Ainsi, le coût de la location de la voiture pour 10 jours est de 320 $.
Pour compléter le dernier exemple, disons que nous savons combien une personne a payé pour louer une voiture. Disons que nous savons combien quelqu'un a payé pour louer une voiture, en utilisant la même fonction linéaire.
Si Jake a payé 470 $ pour louer une voiture, combien de jours l'a-t-il louée ?
Solution :
Nous savons que , où
est le nombre de jours de location de la voiture. Donc, dans ce cas, nous remplaçons
par 470 et nous résolvons
.
- remplace les valeurs connues.
- combine les termes similaires.
- divise par 30 et simplifie.
- Jake a donc loué la voiture pour 15 jours.
Détermine si la fonction est une fonction linéaire.
Solution :
Nous devons isoler la variable dépendante pour nous aider à visualiser la fonction. Ensuite, nous pouvons vérifier si elle est linéaire en la représentant graphiquement.
- Déplace tous les termes, sauf la variable dépendante, d'un côté de l'équation.
- divise par -2 pour simplifier.
- Nous pouvons maintenant voir que la variable indépendante,
, a une puissance de 1. Cela nous indique qu'il s'agit d 'une fonction linéaire.
- Nous pouvons maintenant voir que la variable indépendante,
- Nous pouvons vérifier nos résultats en traçant le graphique :
Le graphique d'une ligne, StudySmarter Originals
Détermine si la fonction est une fonction linéaire.
Solution :
- Réarrange et simplifie la fonction pour obtenir une meilleure visualisation.
- distribue le
.
- déplace tous les termes sauf la variable dépendante d'un côté.
- divise par 2 pour simplifier.
- Maintenant, nous pouvons voir que puisque la variable indépendante a une puissance de 2, il ne s'agit pas d'une fonction linéaire.
- Nous pouvons vérifier que la fonction n'est pas linéaire en la représentant graphiquement :
Le graphique d'une fonction non linéaire, StudySmarter Originals
Fonctions linéaires - Points clés
- Une fonction linéaire est une fonction dont l'équation est :
et dont le graphique est une ligne droite.
- Une fonction de toute autre forme est une fonction non linéaire.
- La formule de la fonction linéaire peut prendre plusieurs formes :
- Forme standard :
- Forme de l'ordonnée à l'origine :
- Forme point-pente :
- Forme de l'ordonnée à l'origine :
- Forme standard :
- Si la pente d'une fonction linéaire est égale à 0, il s'agit d'une ligne horizontale, que l'on appelle une fonction constante.
- Uneligne verticale n'est pas une fonction linéaire car elle ne satisfait pas au test de la ligne verticale.
- Le domaine et l'étendue d'une fonction linéaire sont l'ensemble de tous les nombres réels.
- Mais l'étendue d'une fonction constante est juste
, l'ordonnée à l'origine.
- Mais l'étendue d'une fonction constante est juste
- Une fonction linéaire peut être représentée à l'aide d'un tableau de valeurs.
- Les fonctions linéaires par morceaux sont définies de deux façons ou plus, car leur domaine est divisé en deux parties ou plus.
- Les paires de fonctions linéaires inverses sont symétriques par rapport à la ligne
.
- Une fonction constante n' a pas d'inverse car elle n'est pas une fonction biunivoque.
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