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Supposons que tu veuilles savoir si la quantité de radioactivité dans l'échantillon de roche provenant d'un astéroïde sera dangereuse pour les gens dans 100 ans : les fonctions exponentielles peuvent t'aider à le découvrir. Comment diable, demandes-tu ? Eh bien, les fonctions exponentielles augmentent ou diminuent à un rythme constant, tout comme le rythme auquel un élément radioactif se désintègre.
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Équipe enseignants Fonctions exponentielles
Les fonctions exponentielles connaissent une croissance ou une décroissance plus rapide que les polynômes, et grâce à cette propriété, elles conviennent pour décrire une variété de phénomènes de la vie quotidienne, comme la croissance exponentielle d'un virus (ça te rappelle quelque chose ?) ou la décroissance des éléments radioactifs mentionnée ci-dessus.
Nous allons donc examiner ici les fonctions exponentielles, leurs propriétés et la façon de les représenter graphiquement.
Les fonctions exponentielles peuvent être utilisées pour modéliser des choses qui ne prennent pas de valeurs négatives et qui croissent ou se décomposent très rapidement. Tu les verras souvent en observant des choses comme le nombre de bactéries dans une culture, ou dans des investissements qui rapportent des intérêts composés. Ce sont des exemples de croissance exponentielle. Tu peux aussi trouver des exemples où les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser la désintégration des isotopes radioactifs. Ce sont des exemples de décroissance exponentielle.
Examinons un scénario courant de la vie réelle que nous pouvons rencontrer et qui peut être modélisé à l'aide de fonctions exponentielles.
L'une des utilisations les plus courantes des fonctions exponentielles est l'étude des populations qui croissent très rapidement. Supposons que tu commences avec 10 mouches, et que chaque semaine tu en aies deux fois plus. Combien de mouches as-tu en 3 mois ?
Réponse :
Nomme la fonction de comptage des mouches . La population initiale de mouches est de 10, donc
.
Au bout d'une semaine, tu as deux fois plus de mouches, donc
Après 2 semaines, la population a encore doublé, donc
Après 3 semaines, la population a de nouveau doublé, donc
Tu peux maintenant voir la tendance générale et obtenir la formule suivante
En 3 mois, combien y a-t-il de mouches ? Remarque que x est mesuré en semaines, alors convertis d'abord 3 mois en 12 semaines. Ensuite
Ainsi, en seulement 3 mois, tu as plus de quarante mille mouches !
Une fonction exponentielle est une fonction qui a la forme suivante
où et
sont des constantes,
, et x est un nombre réel. Plutôt que de commencer par la forme la plus générale, examinons d'abord la forme la plus simple
(qui est le cas où
) pour avoir une meilleure idée du comportement des fonctions exponentielles.
Les principales caractéristiques d'une fonction exponentielle de base sont les suivantes :
La fonction est une fonction exponentielle avec
. C'est une fonction croissante et le graphique est concave vers le haut. C'est un exemple de croissance exponentielle.
Fig. 1 : Fonction exponentielle a > 1.
La fonction est une fonction exponentielle avec
. C'est une fonction décroissante, mais elle est concave vers le haut comme dans l'exemple précédent. C'est un exemple de décroissance exponentielle.
La fonction exponentielle peut être écrite d'une manière plus générale.
Une fonction exponentielle est une fonction qui a la forme où
et
sont des constantes,
, et x est un nombre réel.
Les constantes B, k et C prennent le graphique de la fonction exponentielle de base et le décalent, l'inversent ou l'étirent.
Seule la valeur absolue de k et de B affecte la vitesse à laquelle la fonction exponentielle augmente ou diminue, tandis que le signe négatif n'est responsable que du basculement sur un axe. Par exemple, si ,la fonction est renversée sur l'axe des y (parce que k est négatif), et elle augmente aussi plus rapidement (parce que la valeur absolue de k est supérieure à 1). La vitesse à laquelle la fonction augmente ou diminue est liée à sa dérivée. Tu trouveras plus d'informations dans Dérivée de la fonction exponentielle.
Il existe 8 combinaisons possibles de signes pour et
qui te permettent de savoir si une fonction exponentielle sera croissante ou décroissante, ainsi que concave vers le haut ou vers le bas.
Trace le graphique de la fonction , en veillant à trouver tous les points importants et l'asymptote horizontale.
Réponds :
1. Trouve d'abord l'ordonnée à l'origine en introduisant .
Remarque que l'ordonnée à l 'origine de la fonction exponentielle de base se trouve à , et que celle de cette fonction se trouve à
. L'ordonnée à l'origine peut également être trouvée en utilisant la formule
.
2. Puisque tout le graphique est décalé de 3 vers le bas, cela signifie que l'asymptote horizontale est également décalée de 3 vers le bas. L'équation de l'asymptote horizontale est donc .
3. La valeur de B est 5, ce qui ne fera pas basculer le graphique sur l 'axe des x car .
4. La valeur de k est -4, ce qui fait basculer le graphique sur l'axe des y car .
5. Ensuite, tu peux faire un tableau des valeurs de la fonction.
| x | f(x) |
| -2 | 1277 |
| -1 | 77 |
| 0 | -2 |
| 1 | -2.69 |
Fig. 3 : graphique final de la fonction.Peux-tu dire si quelque chose est une fonction exponentielle juste en regardant un graphique ? La réponse courte est : pas vraiment. Comme le domaine d'une fonction exponentielle est constitué de tous les nombres réels et qu'il est impossible de créer un graphique de taille infinie, tu ne peux pas être absolument certain qu'un graphique est vraiment un graphique exponentiel. Cependant, tu peux regarder un graphique avec quelques points étiquetés et décider s'il pourrait être exponentiel ou s'il n'est certainement pas exponentiel.
Voici des façons de regarder un graphique et de déterminer s'il ne s'agit pas d'une fonction exponentielle :
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle ne l'est pas.
Fig. 4 : Vérifie le graphique pour voir s'il est exponentiel.
Réponds :
Tout d'abord, ce graphique est concave vers le haut, ce qui signifie qu'il pourrait s'agir d'une fonction exponentielle. Mais le graphique commence par diminuer, puis à , il devient croissant. Tu peux donc affirmer que ce n'est PAS le graphique d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle n'est définitivement pas exponentielle.
Fig. 5 : Vérifie si le graphique est exponentiel.
Réponds :
Ce graphique est toujours croissant. Et bien qu'il ne semble pas avoir d'asymptote horizontale, celle-ci pourrait se trouver ailleurs que dans la zone représentée. D'autre part, ce graphique est concave vers le bas pour , et concave vers le haut pour
, tu peux donc affirmer qu'il ne s'agit PAS d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle n'est définitivement pas exponentielle.
Fig. 6 : Vérifie si le graphique est exponentiel, StudySmarter Originals
Réponds :
Cette fonction est certainement croissante, et elle est toujours concave vers le bas. Il se peut qu'elle ait une asymptote horizontale, mais c'est difficile à dire à partir de l'image. Mais le domaine de ce graphique n'inclut aucune valeur négative de x, ce qui signifie qu'il ne s'agit PAS d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle ne l'est pas.
Fig. 7 : Vérifie si le graphique est exponentiel.
Réponse :
Ce graphique semble avoir une asymptote horizontale à , il est toujours décroissant, il est toujours concave vers le haut et il semble que le domaine soit constitué de tous les nombres réels. Il pourrait donc s'agir d'une fonction exponentielle, si l'on se base uniquement sur ce que l'on voit.
Tu peux t'interroger sur la dérivée ou l'intégrale d'une fonction exponentielle. Pour les dérivées, voir Dérivée de la fonction exponentielle. Pour les intégrales, voir Intégrales des fonctions exponentielles .
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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