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Sauter à un chapitre clé
Les fonctions exponentielles connaissent une croissance ou une décroissance plus rapide que les polynômes, et grâce à cette propriété, elles conviennent pour décrire une variété de phénomènes de la vie quotidienne, comme la croissance exponentielle d'un virus (ça te rappelle quelque chose ?) ou la décroissance des éléments radioactifs mentionnée ci-dessus.
Nous allons donc examiner ici les fonctions exponentielles, leurs propriétés et la façon de les représenter graphiquement.
À quoi servent les fonctions exponentielles ?
Les fonctions exponentielles peuvent être utilisées pour modéliser des choses qui ne prennent pas de valeurs négatives et qui croissent ou se décomposent très rapidement. Tu les verras souvent en observant des choses comme le nombre de bactéries dans une culture, ou dans des investissements qui rapportent des intérêts composés. Ce sont des exemples de croissance exponentielle. Tu peux aussi trouver des exemples où les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser la désintégration des isotopes radioactifs. Ce sont des exemples de décroissance exponentielle.
Exemple de fonction exponentielle dans la vie réelle
Examinons un scénario courant de la vie réelle que nous pouvons rencontrer et qui peut être modélisé à l'aide de fonctions exponentielles.
L'une des utilisations les plus courantes des fonctions exponentielles est l'étude des populations qui croissent très rapidement. Supposons que tu commences avec 10 mouches, et que chaque semaine tu en aies deux fois plus. Combien de mouches as-tu en 3 mois ?
Réponse :
Nomme la fonction de comptage des mouches . La population initiale de mouches est de 10, donc
.
Au bout d'une semaine, tu as deux fois plus de mouches, donc
Après 2 semaines, la population a encore doublé, donc
Après 3 semaines, la population a de nouveau doublé, donc
Tu peux maintenant voir la tendance générale et obtenir la formule suivante
En 3 mois, combien y a-t-il de mouches ? Remarque que x est mesuré en semaines, alors convertis d'abord 3 mois en 12 semaines. Ensuite
Ainsi, en seulement 3 mois, tu as plus de quarante mille mouches !
Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?
Une fonction exponentielle est une fonction qui a la forme suivante
où et
sont des constantes,
, et x est un nombre réel. Plutôt que de commencer par la forme la plus générale, examinons d'abord la forme la plus simple
(qui est le cas où
) pour avoir une meilleure idée du comportement des fonctions exponentielles.
Quelles sont les caractéristiques d'une fonction exponentielle ?
Les principales caractéristiques d'une fonction exponentielle de base sont les suivantes :
- elle a la forme
où
est une constante
- elle est définie pour tout nombre réel
, donc le domaine est
- elle ne prend que des valeurs positives, son domaine est donc
- lorsque
, la fonction augmente (croissance exponentielle)
- lorsque
, la fonction diminue (décroissance exponentielle)
- le graphique est toujours concave vers le haut
- l'ordonnée à l' origine est
- il n'y a pas d'ordonnée à l 'origine
- la ligne
est une asymptote horizontale
La fonction est une fonction exponentielle avec
. C'est une fonction croissante et le graphique est concave vers le haut. C'est un exemple de croissance exponentielle.
Fig. 1 : Fonction exponentielle a > 1.
La fonction est une fonction exponentielle avec
. C'est une fonction décroissante, mais elle est concave vers le haut comme dans l'exemple précédent. C'est un exemple de décroissance exponentielle.
Quelle est l'équation générale d'une fonction exponentielle ?
La fonction exponentielle peut être écrite d'une manière plus générale.
Une fonction exponentielle est une fonction qui a la forme où
et
sont des constantes,
, et x est un nombre réel.
Les constantes B, k et C prennent le graphique de la fonction exponentielle de base et le décalent, l'inversent ou l'étirent.
- C déplace le graphique vers le haut ou vers le bas, ce qui modifie la position de l'asymptote horizontale et la position de l'ordonnée à l'origine.
- B renverse le graphique sur l'axe des x (si
), ce qui rend le graphique concave vers le bas et affectera également la position de l'ordonnée à l'origine. Il fait augmenter/diminuer le graphique plus rapidement (
) ou moins rapidement (
).
- k modifie le taux de croissance exponentielle ou de décroissance exponentielle. Il fait augmenter/diminuer le graphique plus rapidement (
) ou moins rapidement (
). Si
, le graphique est inversé sur l'axe des ordonnées.
- l'asymptote horizontale est l'équation
- l'ordonnée à l'origine est à
- le domaine est
- l'étendue dépend à la fois de B et de C. Si
(concave vers le haut), l'étendue est
. Si
(concave vers le bas), l'étendue est
.
Seule la valeur absolue de k et de B affecte la vitesse à laquelle la fonction exponentielle augmente ou diminue, tandis que le signe négatif n'est responsable que du basculement sur un axe. Par exemple, si ,la fonction est renversée sur l'axe des y (parce que k est négatif), et elle augmente aussi plus rapidement (parce que la valeur absolue de k est supérieure à 1). La vitesse à laquelle la fonction augmente ou diminue est liée à sa dérivée. Tu trouveras plus d'informations dans Dérivée de la fonction exponentielle.
Il existe 8 combinaisons possibles de signes pour et
qui te permettent de savoir si une fonction exponentielle sera croissante ou décroissante, ainsi que concave vers le haut ou vers le bas.
Trace le graphique de la fonction , en veillant à trouver tous les points importants et l'asymptote horizontale.
Réponds :
1. Trouve d'abord l'ordonnée à l'origine en introduisant .
Remarque que l'ordonnée à l 'origine de la fonction exponentielle de base se trouve à , et que celle de cette fonction se trouve à
. L'ordonnée à l'origine peut également être trouvée en utilisant la formule
.
2. Puisque tout le graphique est décalé de 3 vers le bas, cela signifie que l'asymptote horizontale est également décalée de 3 vers le bas. L'équation de l'asymptote horizontale est donc .
3. La valeur de B est 5, ce qui ne fera pas basculer le graphique sur l 'axe des x car .
4. La valeur de k est -4, ce qui fait basculer le graphique sur l'axe des y car .
5. Ensuite, tu peux faire un tableau des valeurs de la fonction.
| x | f(x) |
| -2 | 1277 |
| -1 | 77 |
| 0 | -2 |
| 1 | -2.69 |
Fig. 3 : graphique final de la fonction.Identifier une fonction exponentielle à partir d'un graphique
Peux-tu dire si quelque chose est une fonction exponentielle juste en regardant un graphique ? La réponse courte est : pas vraiment. Comme le domaine d'une fonction exponentielle est constitué de tous les nombres réels et qu'il est impossible de créer un graphique de taille infinie, tu ne peux pas être absolument certain qu'un graphique est vraiment un graphique exponentiel. Cependant, tu peux regarder un graphique avec quelques points étiquetés et décider s'il pourrait être exponentiel ou s'il n'est certainement pas exponentiel.
Voici des façons de regarder un graphique et de déterminer s'il ne s'agit pas d'une fonction exponentielle :
- S'il n'y a pas d'asymptote horizontale, il ne s'agit pas d'une fonction exponentielle.
- S'il change de concavité (il est parfois concave vers le haut et parfois concave vers le bas), il ne s'agit pas d'une fonction exponentielle.
- Si le domaine n'inclut pas tous les nombres réels, ce n'est pas une fonction exponentielle.
- Si elle n'est pas toujours décroissante ou toujours croissante, ce n'est pas une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle ne l'est pas.
Fig. 4 : Vérifie le graphique pour voir s'il est exponentiel.
Réponds :
Tout d'abord, ce graphique est concave vers le haut, ce qui signifie qu'il pourrait s'agir d'une fonction exponentielle. Mais le graphique commence par diminuer, puis à , il devient croissant. Tu peux donc affirmer que ce n'est PAS le graphique d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle n'est définitivement pas exponentielle.
Fig. 5 : Vérifie si le graphique est exponentiel.
Réponds :
Ce graphique est toujours croissant. Et bien qu'il ne semble pas avoir d'asymptote horizontale, celle-ci pourrait se trouver ailleurs que dans la zone représentée. D'autre part, ce graphique est concave vers le bas pour , et concave vers le haut pour
, tu peux donc affirmer qu'il ne s'agit PAS d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle n'est définitivement pas exponentielle.
Fig. 6 : Vérifie si le graphique est exponentiel, StudySmarter Originals
Réponds :
Cette fonction est certainement croissante, et elle est toujours concave vers le bas. Il se peut qu'elle ait une asymptote horizontale, mais c'est difficile à dire à partir de l'image. Mais le domaine de ce graphique n'inclut aucune valeur négative de x, ce qui signifie qu'il ne s'agit PAS d'une fonction exponentielle.
En regardant le graphique, décide si la fonction pourrait être exponentielle ou si elle ne l'est pas.
Fig. 7 : Vérifie si le graphique est exponentiel.
Réponse :
Ce graphique semble avoir une asymptote horizontale à , il est toujours décroissant, il est toujours concave vers le haut et il semble que le domaine soit constitué de tous les nombres réels. Il pourrait donc s'agir d'une fonction exponentielle, si l'on se base uniquement sur ce que l'on voit.
Fonctions exponentielles - Points clés
- Les fonctions exponentielles sont utilisées pour modéliser les choses qui croissent ou décroissent rapidement, mais pas les deux à la fois.
- Les fonctions exponentielles ont la formule
où a, B, k et C sont des constantes, et
- Les fonctions exponentielles ont une asymptote horizontale à
- Il ne suffit pas de regarder un graphique pour savoir si une fonction est vraiment une fonction exponentielle.
Tu peux t'interroger sur la dérivée ou l'intégrale d'une fonction exponentielle. Pour les dérivées, voir Dérivée de la fonction exponentielle. Pour les intégrales, voir Intégrales des fonctions exponentielles .
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