Fonctions de coordonnées polaires

Signification des fonctions en coordonnées polaires

Une fonction en coordonnées pol aires ou une fonction polaire est une fonction de la forme suivante

\N[ r = f(\Ntheta), \N]

où \(r\N) et \N(\Ntheta\N) satisfont que

\[ \begin{align} x &= r \cos \theta, \mbox{ and } \\NY y &= r \sin \Ntheta . \N- [end{align}\N-]

Alors qu'une fonction en coordonnées rectangulaires prend une valeur \(x\N) et renvoie une valeur \N(y\N), une fonction polaire prend un angle et renvoie une distance par rapport à l'origine.

Fig. 1. Système de coordonnées polaires.

Les fonctions polaires diffèrent des courbes polaires en ce sens qu'une fonction ne peut avoir qu'une seule sortie pour n'importe quelle entrée, alors qu'une courbe peut avoir plusieurs sorties pour n'importe quelle entrée donnée. Par exemple, l'équation

\[ r^2 = \cos (2\theta )\]

définit une courbe polaire, mais ne définit pas une fonction polaire. En particulier, lorsque

\[ \Ntheta = \Nfrac{\pi}{6}, \N]

à la fois

\[ r = \sqrt{\frac{1}{2}} \mbox{ et } r = -\sqrt{\frac{1}{2}} \]

satisfont que

\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{1}{2}}. \N- [end{align}\N]

Pour plus d'informations sur les courbes polaires qui peuvent ne pas être des fonctions polaires, voir l'article Courbes polaires.

Dérivation de fonctions écrites en coordonnées polaires

Il peut être très utile de transformer des fonctions écrites en coordonnées rectangulaires en fonctions polaires, et vice versa. Certaines fonctions s'écrivent plus naturellement dans un système de coordonnées que dans l'autre, et la conversion entre les systèmes de coordonnées peut donc simplifier considérablement les calculs tels que la dérivation et la recherche d'intégrales. En général, les fonctions avec

\N[ x^2 + y^2 \N]

sont susceptibles d'avoir de belles formes polaires.

Voici quelques identités importantes à connaître lorsque l'on travaille avec des fonctions en coordonnées polaires :

• \N( y = r\sin \Ntheta\N)

• \N(x = r\cos \Ntheta \N)

• \N(x^2 + y^2 = r^2 \N)

• \N(\Ntan \Ntheta = \Nfrac{x}{y} \N)

Si tu choisis d'utiliser la relation

\N[ \Ntheta = \Ntan^{-1}\Nà gauche( \Nfrac{x}{y} \Nà droite), \N]

n'oublie pas de faire attention au quadrant dans lequel se trouvent tes points, car pour toute valeur de \(x) et \(y), il existe de nombreuses valeurs de \(\theta) satisfaisant à

\N- [\Ntan \Ntheta = \Nfrac{x}{y}. \N]

Pour plus d'informations sur le choix de l'angle correct, consulte l'article Coordonnées polaires.

Étapes de dérivation des fonctions en coordonnées polaires

De rectangulaire à polaire

Si tu convertis une fonction ou une équation écrite en coordonnées rectangulaires en une fonction ou une équation en coordonnées polaires, tu peux suivre deux étapes :

Étape 1 : Remplace chaque occurrence de \(x\) par \(r \cos \theta \), chaque instance de \(y\) par \(r \sin\theta \), et chaque instance de \(x^2 + y^2\) par \( r^2\).

Étape 2 : simplifie l'expression. L'identité\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \]peut être particulièrement utile à cette étape.

Voyons quelques exemples.

Parfois, tu n'es pas sûr d'avoir fini de simplifier.

De polaire à rectangulaire

La conversion d'une fonction écrite en coordonnées polaires en une fonction écrite en coordonnées rectangulaires peut être un peu plus délicate, mais suivre les étapes ci-dessous donne souvent un bon début.

Étape 1 : Remplace chaque occurrence de \(\theta\) par des expressions en termes de \(x\), \(y\), et \(r\). Les relations

\[ \begin{align} \cos\theta &= \frac{x}{r} \\ \sin\theta &= \frac{y}{r}\\ \tan\theta &= \frac{y}{x} \N- [end{align}\N]

sont souvent utiles ici, tout comme les identités trigonométriques double et demi-angle.

Étape 2 : Réarrange l'équation et remplace chaque occurrence de \(r\) par des expressions en termes de \(x\) et \(y\), en utilisant la relation suivante

\N[x^2 + y^2 = r^2 \N]

et en élevant au carré les termes de \(r\) si nécessaire.

Étape 3 : Simplifie l'équation.

Voyons quelques exemples.

Voyons un exemple où tu dois en fait simplifier un peu.

Exemples de fonctions en coordonnées polaires

De nombreuses courbes familières peuvent être écrites comme des fonctions en coordonnées polaires. Deux de ces familles de courbes sont les cercles et les lignes. D'autres courbes polaires importantes, dont beaucoup sont des fonctions polaires, sont abordées dans l'article Courbes polaires.

Pour chacun des types de courbes ci-dessous, examinons leurs équations polaires en utilisant une combinaison de raisonnement géométrique et algébrique. L'idée est que les cercles et les lignes ont tous deux de belles définitions géométriques qui simplifient l'algèbre dans certains cas.

En général, avant d'effectuer les étapes décrites ci-dessus pour convertir les formes polaires et rectangulaires, il peut être utile de se demander si l'équation avec laquelle tu travailles possède des propriétés géométriques qui peuvent simplifier les calculs.

Les cercles

Il existe quatre types de cercles que l'on peut écrire particulièrement bien en coordonnées polaires. Ce sont :

• les cercles centrés sur l'origine

• les cercles de rayon a centrés sur le point \( (0,a)\)

• les cercles de rayon a centrés sur le point \N( (a,0)\N)

• les cercles de rayon \(\sqrt{a^2+b^2}\) centrés sur le point \( (a, b)\)

La formule polaire générique pour un cercle de rayon a centré sur \N( (b, c)\N) est assez compliquée et souvent peu utile, mais ces quatre cas particuliers apparaissent souvent et il est important de les comprendre.

Cercles centrés sur l'origine

Pour dériver la fonction pour un cercle de rayon a centré sur l'origine, nous rappelons d'abord la définition géométrique d'un cercle.

Dans ce cas, le point \N(O\N) se trouve être l'origine, ce qui signifie que tout point du cercle doit être à une distance \N(a\N)de l'origine.

Tu peux écrire cette condition géométrique en termes de coordonnées polaires.

Étant donné un point \( (r,\theta )\), il est sur le cercle si \(r=a\), puisque le centre du cercle est à l'origine et que la coordonnée \(r\) décrit la distance à partir de l'origine. Il n'y a pas de conditions sur la coordonnée \(\Ntheta\N), puisqu'un cercle centré sur l'origine peut avoir des points à n'importe quel angle. Ainsi, la fonction décrivant le cercle de rayon \(a\) centré sur l'origine en coordonnées polaires est la suivante

\N-[r=a.\N]

Cette fonction décrit un cercle parce qu'elle prend un angle \(\a.\a) et renvoie toujours \(a.\a) comme distance correspondante à partir de l'origine.

Fig. 2. Cercle centré sur l'origine en coordonnées polaires.

Remarque que tu n'as pas eu à faire de travail algébrique dans ce cas ; l'équation découle directement de la définition géométrique d'un cercle.

Il est important de noter que le graphique du cercle ne décrit pas une fonction en coordonnées rectangulaires, car il ne satisfait pas au test de la ligne verticale. Cependant, il s'agit bien d'une fonction lorsqu'elle est écrite en coordonnées polaires. C'est l'un des avantages de travailler avec les coordonnées polaires : de nombreuses courbes qui ne décrivent pas de fonctions en coordonnées rectangulaires définissent des fonctions en coordonnées polaires.

Cercles centrés sur l'axe horizontal

La fonction décrivant un cercle de rayon \(a\) passant par le point \( (a,0) \) en coordonnées polaires est

\N[ r^2 = 2a\cos\theta .\N]

Tu peux le prouver en commençant par l'équation d'un cercle en coordonnées rectangulaires, puis en convertissant l'équation en coordonnées polaires.

Tout d'abord, en coordonnées rectangulaires, l'équation d'un cercle de rayon a passant par le point \( (a,0)\) est la suivante

\N- (x-a)^2 + y^2 = a^2.\N]

En faisant les mêmes remplacements que dans les exemples précédents, tu obtiens que

\N- (r\sin\theta - a)^2 + (r\sin\theta )^2 = a^2.\N- (r\sin\theta )^2 = a^2.\N- (r\sin\N)

Il s'agit maintenant de simplifier avec l'algèbre pour obtenir :

\[r^2 \cos^2 \theta - 2ar\cos\theta + a^2 + r^2\sin^2\theta = a^2,\N].

ou

\N-[r^2 = 2ar\cos\theta ,\N]

ce qui est exactement ce que tu espérais.

Cercles centrés sur l'axe vertical

La fonction décrivant un cercle de rayon \(a\N) passant par le point \N( (0,a)\N) en coordonnées polaires est la suivante

\[ r = 2a \sin\theta .\]

Tout comme précédemment, tu peux le prouver en commençant par l'équation d'un cercle en coordonnées rectangulaires, puis en convertissant l'équation en coordonnées polaires.

Cercles centrés sur un point arbitraire

C'est l'exemple le plus général. Tu peux prendre l'équation de la fonction décrivant un cercle de rayon \( \sqrt{a^2 + b^2}\) passant par le point \( (a,b)\) en coordonnées polaires et la remplacer par l'origine, ou un point sur l'axe horizontal, ou un point sur l'axe vertical, pour obtenir n'importe laquelle des trois équations énumérées ci-dessus.

L'équation de la fonction décrivant un cercle de rayon \( \sqrt{a^2 + b^2}\) passant par le point \( (a,b)\) est la suivante

\[ r = 2a\cos\theta + 2b\sin\theta .\]

Tu peux le prouver en commençant par l'équation d'un cercle en coordonnées rectangulaires, puis en convertissant l'équation en coordonnées polaires, comme dans les exemples ci-dessus.

Fig. 3. Cercle en coordonnées polaires centré sur un point arbitraire.

Lignes

Les lignes peuvent également être écrites sous forme de fonctions polaires. Il existe trois équations polaires différentes pour les lignes avec lesquelles nous travaillons généralement, en fonction des informations qui nous sont données :

• Lignes passant par l'origine et dont la pente est \N( \Ntan a\N)

• Lignes dont le point \( (a, b)\) est le plus proche de l'origine

• Lignes de pente \(m\) passant par le point \( (a, b)\)

Lignes passant par l'origine

La droite passant par l'origine et dont la pente est ( \tan a\) est définie par

\N[ \Ntheta = a.\N]

La ligne verticale passant par l'origine a pour équation

\N[ \Ntheta = \Nfrac{\pi}{2}.\N]

Ces deux équations découlent directement de la définition de la tangente. Puisque \(\theta = a\) est l'ensemble de tous les points \( (r, \theta )\) qui font un angle \(a\) avec l'axe positif \(x\), cela donne une ligne qui passe par l'origine.

Fig. 4. Droite passant par l'origine en coordonnées polaires.

La pente d'une ligne est son élévation par rapport à sa course. C'est la même chose que la tangente que fait l'angle par rapport à l'origine.

Fig. 5. Recherche de la pente d'une droite passant par l'origine en coordonnées polaires.

Ainsi, la droite passant par l'origine et dont la pente est \ ( \tan a\) a pour équation \(\theta = a \).

Lignes déterminées par leur point le plus proche de l'origine

L'équation polaire de la ligne dont le point \N( (a, b)\Nest le plus proche de l'origine est la suivante

\N[ r = a\sec (\Ntheta - b).\N]

Ici, au lieu de supposer que \N(a, b)\Nest en coordonnées cartésiennes (comme tu l'as fait jusqu'à présent), tu dois supposer que le point \N(a, b)\Nest en coordonnées polaires.

Pour comprendre pourquoi c'est le cas, jette un coup d'œil à l'image ci-dessous. Sur cette image, le point étiqueté \(A = (r, \theta) \) est un point arbitraire sur la ligne.

Fig. 6. Ligne en coordonnées polaires

Puisque le point \(P = (a,b) \) est le point de la droite le plus proche de l'origine, le segment de droite \(OP\) est perpendiculaire à la droite. Ainsi, le triangle \(\Delta OAP\) est un triangle rectangle. Puisque \ (\Delta OAP\) est un triangle droit,

\[ \Ncos (\Ntheta - b) = \Nfrac{a}{r}.\N]

Tu peux réarranger ceci pour obtenir que

\[ r = \frac{a}{\cos (\theta - b)} = a\sec (\theta - b),\]

ce qui est exactement ce que tu voulais.

Lignes déterminées par la pente et un point

La droite de pente \(m\) passant par un point \( (0,b)\) est donnée par

\[ r = \frac{b}{\sin \theta - m \cos\theta }.\]

Ici, tu dois supposer que \N((a, b)\N) est en coordonnées rectangulaires.

Tout d'abord, rappelle-toi que l'équation d'une droite de pente \(m) passant par un point \( (0,b) \) est \(y = mx+b\). En faisant le même remplacement que dans les exemples précédents, tu obtiens

\N[ r\sin\theta - b = mr\cos\theta .\N]

Il te suffit ensuite de simplifier pour obtenir que

\[ r = \frac{b}{\sin \theta - m \cos\theta }.\]

Calcul des coordonnées polaires sphériques

Les coordonnées sphériques sont des généralisations des coordonnées polaires à trois dimensions. Pour plus d'informations sur les coordonnées sphériques, consulte l'article Coordonnées polaires. Tu peux utiliser les équations de cet article pour convertir des fonctions en coordonnées sphériques en fonctions en coordonnées rectangulaires, et vice-versa.