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Lorsque l'on travaille avec des objets qui se déplacent dans l'espace, il est logique de considérer qu'ils se déplacent sur une certaine durée, \(t.\N-) Le temps pourrait être dessiné comme une autre dimension sur un graphique, mais la plupart du temps, ce n'est pas nécessaire puisque le temps continue toujours de la même manière (en supposant que vous n'ayez pas affaire à quelque chose qui voyage à une vitesse proche de celle de la lumière.) Pour cette raison, il est souvent utile de définir la position sur les axes \(x.\N-) et \(y.\N-) en utilisant le temps, mais sans écrire le temps comme un troisième axe. C'est quelque chose qui ne fonctionne pas très bien avec les équations cartésiennes, mais qui est beaucoup plus simple avec les fonctions à valeurs vectorielles, ce qui les rend incroyablement utiles en physique, en apprentissage automatique et dans bien d'autres domaines.
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Équipe enseignants Fonctions à valeurs vectorielles
Avant d'entrer dans les détails des fonctionsa> à valeur vectorielle, il est important de bien comprendre les vecteurs.
Un vecteur est un objet mathématique qui possède à la fois une direction et une magnitude.
Fig. 1. Un vecteur peut être considéré comme une flèche qui pointe d'un endroit à un autre.
Les vecteurs peuvent être écrits de deux manières différentes,
Forme du vecteur colonne : \N( \Ndébut{bmatrice} x \Ny \Nfin{bmatrice}, \N)
Forme composante : \N( x \vec{i} + y \Nvec{j}. \N)
Ces deux vecteurs sont équivalents. Numériquement, les vecteurs peuvent être additionnés et soustraits en ajoutant ou en soustrayant les composants individuels. De même, ils peuvent être multipliés par des quantités scalaires en multipliant les composants individuels. Sous forme de composants, cela revient à rassembler les termes similaires et à développer les parenthèses.
Graphiquement, l'addition de vecteurs se fait en les empilant pointe à pointe, et la soustraction en les empilant pointe à pointe, mais en orientant le second vecteur dans la direction opposée. Multiplier des nombres par un scalaire \(\lambda\) revient à empiler \(\lambda\) des mêmes vecteurs, pointe contre pointe, et si \(\lambda\) est négatif, le produit pointera dans la direction opposée.
Enfin, étant donné un vecteur \( v = x \vec{i} + y \vec{j},\N) la magnitude \(|\vec{v}|\N) et l'angle de direction \N(\Ntheta\N) d'un vecteur peuvent être calculés à l'aide des formules suivantes :
\[ \begin{align} \c{v} | & = \sqrt{ x^2 + y^2 }, \\n- \theta & = \tan^{-1}\gauche({\frac{x}{y}}\ droite) \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-{align} \]
Pour plus d'informations sur tout cela, voir Vecteurs.
Les fonctions à valeurs vectorielles sont semblables aux fonctions à valeurs réelles, mais elles produisent un vecteur au lieu d'un scalaire.
Une fonction à valeur vector ielle est une fonction qui prend une valeur scalaire en entrée et donne un vecteur en sortie. Une fonction à valeur vectorielle d'une variable ressemble à ceci,
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} f(t) \\ g(t) \end{bmatrix} = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j}. \]
Ici, \( f(t)\Net \N(g(t)\Nsont des équations paramétriques.
À partir de cette définition, tu peux déduire le domaine et l'étendue d'une fonction à valeur vectorielle.
Le domaine d' une fonction à valeur vectorielle est un sous-ensemble de \N(\Nmathbb{R},\N).
L'étendue d' une fonction vectorielle à \(n\)dimensions est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n.\N).
Ici, tu te concentreras sur les vecteurs en 2 dimensions, ce qui signifie que l'étendue des fonctions sera un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2.\) Il est important de noter qu'il s'agit d'un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2\) et non de l'ensemble de \(\mathbb{R}^2,\) car tu rencontreras de nombreuses fonctions à valeur vectorielle qui ne peuvent pas sortir en tout point de \(\mathbb{R}^2.\).
Il existe de nombreux types de fonctions à valeurs vectorielles, mais tu verras ici quelques-unes des plus simples.
La formule vectorielle d'une ligne droite est la suivante
\[ \c{r}(t) = \begin{bmatrix} a_1 \\c a_2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix}. \]
Ici, \(\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{b} \) est le vecteur position d'un point \(a\) sur la ligne, et \( \vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} \) est un vecteur qui est parallèle à la ligne.
Fig. 2. Une droite est définie par une fonction à valeur vectorielle utilisant un point sur la droite, \(a,\N) et un vecteur parallèle à la droite, \N(\Nvec{b}.\N).
L'équation vectorielle d'un cercle de rayon \(a\) est la suivante
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} a \cos{t} \\\N a \sin{t} \Nend{bmatrix} \N]
Fig. 3. La fonction à valeur vectorielle pour un cercle peut être réalisée à l'aide des fonctions sinus et cosinus.
Une ellipse peut être définie de la même manière, mais en utilisant \N(a\N)comme ordonnée sur l'axe \N(x\N)et \N(b\N)comme ordonnée sur l'axe \N(y\N)-.
\N[ \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrice} a \Ncos{t} \Nb \Nsin{t} \Nfin{bmatrice} \N]
Fig. 4. La fonction à valeur vectorielle d'une ellipse peut être définie de façon similaire à celle d'un cercle, mais en tenant compte des différentes interceptions de l'axe.
Il existe de nombreuses façons de définir les spirales en mathématiques, mais une méthode simple consiste à les définir de la même façon que les spirales et les cercles, mais en ajoutant un terme \(t\) devant les fonctions trigonométriques.
\[ \c{r}(t) = \cbegin{bmatrix} a t \cos{t} \c b t \sin{t} \cend{bmatrix} \c]
Fig. 5, Le graphique d'une spirale, où \(a = b = \frac{1}{2}. \N-)
Lorsque tu as appris à représenter graphiquement des équations cartésiennes telles que \N(y = f(x),\N), tu as probablement commencé par dessiner un tableau de valeurs pour \N(x,\N), puis tu as indiqué les valeurs correspondantes de \N(y.\N) Tu pouvais ensuite tracer ces points et les joindre pour créer une estimation de la courbe. Tu peux faire exactement la même chose pour représenter graphiquement les fonctions à valeurs vectorielles, mais en commençant par la variable \(t\N) et en utilisant ces valeurs de \(t\N) pour calculer les valeurs correspondantes de \(x\N) et \N(y.\N).
Esquisse le graphique de \( \vec{r} = t^2 \vec{i} + t \vec{j}, \N) pour les valeurs de \(-4 < t < 4. \N).
Solution
Crée d'abord un tableau à trois colonnes, intitulé \N(t, x, y.\N) Tu peux remplir la colonne \N(t) avec les nombres entiers de \N(-4) à \N(4.\N).
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
A partir de là, tu peux commencer à remplir les valeurs. Rappelle-toi que \(x\) sera le coefficient du terme \(\vec{i}\), et \(y\) sera le coefficient du terme \(\vec{j}\). Commençons par remplir la colonne \(x\) en élevant au carré toutes les valeurs de la colonne \(t\).
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | 16 | |
| -3 | 9 | |
| -2 | 4 | |
| -1 | 1 | |
| 0 | 0 | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 4 | |
| 3 | 9 | |
| 4 | 16 |
Remplis ensuite la colonne \(y\). Ce sera exactement la même chose que les valeurs de la colonne \N(t\N).
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | 16 | -4 |
| -3 | 9 | -3 |
| -2 | 4 | -2 |
| -1 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
Reporte ensuite les paires \((x,y)\) sur un graphique.
Fig. 6. La forme de ces points semble ressembler à une parabole.
D'après la forme des points tracés et le fait que la fonction comporte un terme \(t^2\), elle semble être une parabole. Tu peux tracer une courbe entre ces points pour obtenir la courbe suivante :
Fig. 7. La courbe terminée est la parabole \(x = y^2.\)
Pour voir d'autres exemples, voir Représentation graphique des fonctions vectorielles.
La formule la plus importante pour les fonctions à valeurs vectorielles est la formule de la longueur d'arc, ou la longueur d'une courbe entre deux points.
La longueur de la courbe entre les points \(t=a\) et \(t=b.\)
La longueur \(L\) d'une courbe \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) entre deux points \N(a\N) et \N(b\N) est
\N- L = \Nint_a^b \Nsqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2} \, \mathrm{d}t. \]
Cela permet de mesurer toute la longueur de la courbe, comme si tu avais posé un bout de ficelle sur la courbe, puis que tu l'avais coupé et mesuré. Voyons quelques exemples à l'aide de cette formule.
Trouve la longueur de l'arc de
\[ \vec{r} = \begin{bmatrix} \sin{(3t)} \\\Ncos{(3t)} \Nend{bmatrix} \N]
pour \N(-4 < t < 2.\N)
Solution
Ici, \(f(t) = \sin{(3t)}\) et \(g(t) = \cos{(3t)}.\) La formule requiert les dérivées de ces fonctions, tu dois donc les différencier toutes les deux.
\[ \N- f'(t) & = 3 \Ncos{(3t)} \N- g'(t) & = 3 \Nsin{(3t)}. \Nend{align} \]
À partir de là, tu peux substituer ces données dans la formule de la longueur de l'arc.
\[ \begin{align} L & = \int_{-4}^{2} \sqrt{(3 \cos{(3t)})^2 + (3 \sin{(3t)})^2} \N- \N, \Nmathrm{d}t \N = \Nint_{-4}^2 \Nsqrt{ 9 \Ncos^2{(3t)} + 9 \Nsin^2{(3t)} } \N-, \Nmathrm{d}t \N & = \Nint_{-4}^{2} \sqrt{9 (\cos^2{(3t)} + \sin^2{(3t)}) \N- \N, \Nmathrm{d}t. \N-END{align} \]
A partir de là, tu peux utiliser la formule \N(\Nsin^2{x} + \Ncos^2{x} = 1. \N)
\[ \begin{align} L & = \int_{-4}^{2} \sqrt{9 \cdot 1} \, \mathrm{d}t \\ & = \int_{-4}^{2} 3 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- & = [3t]_{-4}^{2} \N- & = 3 \Ncdot 2 - 3 \Ncdot (-4) \N- & = 18. \N-END{align} \]
La longueur de l'arc est donc de 18 unités.
La dérivée des fonctions à valeur vectorielle peut être trouvée en différenciant chaque composante de la fonction à valeur vectorielle. La dérivée de \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) est :
\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t(t) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(t) \vec{i} + \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\mathrm{d}}(t) \vec{j}, \]
en supposant que les dérivées de \(f(t)\N et \N(g(t)\N) par rapport à \N(t\N) existent. C'est logique, car cela revient à utiliser la règle de l'addition pour différencier n'importe quelle autre fonction. La dérivée d'une fonction à valeur vectorielle en un point pointera dans la direction de déplacement de la fonction, sur une tangente à la courbe.
Si la fonction à valeur vectorielle, appelée \N(\Nvec{s}(t),\N) représente la position sur le plan \N(xy) à l'instant \N(t,\N), alors la dérivée de cette fonction sera le vecteur vitesse \N(\Nvec{v}(t).\N). La magnitude du vecteur vitesse à l'instant \N(t) est la vitesse de déplacement à l'instant \N(t.\N) De même, la différentielle du vecteur vitesse sera le vecteur accélération, \N( \Nvec{a}(t). \) Voyons maintenant comment différencier certaines fonctions à valeur vectorielle.
La position d'une particule dans l'espace est donnée par la fonction à valeur vectorielle
\N[ \Nvec{s}(t) = \Ndébut{bmatrix} 3t^2 \N e^t \Nfin{bmatrix}. \N]
Trouve les fonctions à valeurs vectorielles pour la vitesse et l'accélération de la particule.
Solution
Si tu différencies la fonction de position, tu obtiendras la fonction de vitesse. Ce sera ,
\[ \vec{v}(t) = \vec{s}'(t) = \begin{bmatrix} 6t \\N e^t \Nend{bmatrix}. \N]
Ensuite, tu peux différencier à nouveau pour trouver la fonction d'accélération.
\N[ \Nvec{a}(t) = \Nvec{v}'(t) = \Nbegin{bmatrix} 6 \N e^t \Nend{bmatrix}. \N]
Pour en savoir plus sur la différenciation des fonctions à valeurs vectorielles, voir Calcul des fonctions à valeurs vectorielles.
Le domaine d' une fonction à valeur vectorielle est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).
L'étendue d' une fonction vectorielle à \(n\)dimensions est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n.\N).
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