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Sauter à un chapitre clé
Une façon intéressante de définir les fonctionsa> est d'utiliser une variable comme limite d'intégration d'une intégrale. Ceci est particulièrement utile car cela nous aide à construire le pont entre les dérivées et les intégrales, qui est une partie centrale du théorème fondamental du calcula>. Pour cette raison, il est important d'étudier ce que l'on appelle la fonction d'accumulation.
Définition de la fonction d'accumulation
Tu seras généralement confronté à deux types d'intégrales lorsque tu étudieras le calcul : les intégrales définies et les intégrales indéfinies. En général, lorsque tu trouves une intégrale définie, tu obtiens un nombre comme réponse.
La valeur de l'intégrale définie
\N[ \Nint_0^2 x\N,\Nmathrm{d}x\N]
peut être trouvée en trouvant d'abord son anti-dérivée, ou intégrale indéfinie (sans avoir besoin d'ajouter une constante d'intégration), c'est-à-dire
\N[ \Nint x\N,\Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2}x^2,\N]
puis en utilisant la partie évaluation du théorème fondamental du calcul, alors
\N[ \Nint_0^2 x\N,\Nmathrm{d}x = \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(2)^2\Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(0)^2\Ndroite),\N]
ce qui te donnera un nombre comme résultat, c'est à dire
\N[ \Nint_0^2 x\N,\Nmathrm{d}x = 2.\N]
Cependant, tu peux laisser l'une des limites d'intégration comme variable, transformant ainsi l'intégrale définie en une fonction. Cette fonction est connue sous le nom de fonction d'accumulation.
Soit \N( f\N) une fonction intégrable dans l'intervalle \N( [a,b]\N). Une fonction d'accumulation est une fonction \N( F(x) \N), pour
\N(a<x<b\N), telle que
\N[ F(x) = \Nint_a^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t,\N]
ou
\N- F(x) = \Nint_x^b f(t)\N,\Nmathrm{d}t.\N]
Fondamentalement, une fonction d'accumulation est une fonction obtenue en résolvant une intégrale définie tout en laissant l'une des limites d'intégration comme variable.
Trouve la fonction d'accumulation
\[ F(x)=\int_0^x t\N,\Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Pour trouver une fonction d'accumulation, tu dois traiter l'intégrale impliquée de la même manière que tu traites une intégrale définie, donc commence par trouver l'anti-dérivée, c'est-à-dire
\N[ \Nint t\N,\Nmathrm{d}t = \Nfrac{1}{2}t^2,\N]
et utilise ensuite la partie évaluation du théorème fondamental du calcul, ce qui te donne
\[ \begin{align} \Nint_0^x t\N,\Nmathrm{d}t &= \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(x)^2 \Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(0)^2\Ndroite) \N &= \Nfrac{1}{2}x^2. \N- [end{align}\N]
Cela signifie que
\[ F(x)= \frac{1}{2}x^2.\]
En général, la fonction d'accumulation dépend des limites d'intégration, donc le fait d'avoir des limites d'intégration différentes devrait modifier la fonction d'accumulation.
Trouve la fonction d'accumulation
\N- G(x)=\int_1^x t\N,\Nmathrm{d}t.\N- G(x)=\int_1^x t\N,\Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Tu as déjà trouvé l'intégrale indéfinie dans l'exemple précédent, donc
\N[ \Nint t\N,\Nmathrm{d}t = \Nfrac{1}{2}t^2.\N]
Cette fois, tu dois utiliser la partie évaluation du théorème fondamental du calcul avec différentes limites d'intégration.
\[ \begin{align} \Nint_1^x t\N,\Nmathrm{d}t &= \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(x)^2 \Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(1)^2\Ndroite) \N &= \Nfrac{1}{2}x^2-\Nfrac{1}{2}. \N- [Fin{align}\N]
Cela signifie que, cette fois, la fonction d'accumulation pour ces limites d'intégration est
\[ G(x)= \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}.\]
Dans les derniers exemples, les fonctions d'accumulation coïncident avec les antidérivées de \(f(x)\N), c'est-à-dire
\N-[ F'(x) = x,\N]
et
\N- G'(x) = x,\N]
Ce ne sera pas toujours le cas. Considère l'exemple suivant.
Trouve la fonction d'accumulation
\[ H(x)=\int_x^1 t\N,\Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Tu peux passer directement à la partie évaluation du théorème fondamental du calcul, cette fois avec des limites d'intégration différentes, donc
\[ \begin{align} \Nint_x^1 t\N,\Nmathrm{d}t &= \Ngauche(\Nfrac{1}{2}(1)^2 \Ndroite) - \Ngauche(\Nfrac{1}{2}(x)^2\Ndroite) \N &= \Nfrac{1}{2}-\Nfrac{1}{2}x^2. \N- [Fin{align}\N]
Cela signifie que cette fois, la fonction d'accumulation pour ces limites d'intégration est
\[ H(x)= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2.\]
Cette fois, tu peux trouver que
\N- H'(x) = -x,\N]
Donc, si la variable \(x\) est dans la limite inférieure d'intégration, la fonction d'accumulation différera d'une antidérivée par un signe !
L'intégrale de la fonction d'accumulation
Tu as peut-être remarqué qu'une fonction d'accumulation est définie à l'aide de deux variables, alors que la réponse est une fonction d'une seule variable. Comment cela est-il possible ?
Pour illustrer ce processus, considère l'intégrale définie
\N[ \Nint_1^2 x^2 \N,\Nmathrm{d}x.\N]
En résolvant l'intégrale définie ci-dessus, tu obtiendras un nombre comme résultat, c'est-à-dire
\N[ \Nint_1^2 x^2 \N,\Nmathrm{d}x = \Nfrac{7}{3}.\N]
Où est passé le \N(x \N) ? Rappelle-toi que dans les intégrales définies, la variable d'intégration disparaît, ce qui signifie que tu peux utiliser n'importe quelle variable à l'intérieur d'une intégrale définie, donc
\N[ \Nint_1^2 t^2\N,\Nmathrm{d}t\N]
et
\N[ \Nint_1^2 y^2\N,\Nmathrm{d}y\N]
donnera le même résultat. Comme la variable la plus couramment utilisée dans les fonctions est \N(x\N), pour éviter toute confusion, tu dois utiliser une autre variable dans l'intégrale définie, et généralement, la lettre \N(t\N) est choisie. De cette façon, la valeur de l'intégrale définie
\N[ \Nint_a^x f(t) \N, \Nmathrm{d}t \N]
dépend de la valeur de \(x,\N) et s'écrit donc comme une fonction de \N(x\N), c'est-à-dire
\N[ F(x) = \Nint_a^x f(t) \N, \Nmathrm{d}t.\N]
Graphique de la fonction d'accumulation
L'une des interprétations de base des intégrales définies est qu'elles te donnent une mesure de la surface située sous une courbe dans un intervalle donné. En d'autres termes, l'intégrale définie
\N[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x\N]
te donne l'aire nette signée entre \(x=a\), \( f(x)\), \( x=b\), et l'axe \(x-\).
Figure 1. Zone délimitée entre \(x=a,\N) \N( f(x),\N) \N( x=b,\N) et l'axe \N(x-\N)
Rappelle-toi qu'une aire signée est positive si elle se trouve au-dessus de l'axe \N(x-\N)et négative si elle se trouve au-dessous de l'axe \N(x-\N). L'aire nette signée est obtenue en soustrayant toutes les aires situées en dessous de l'axe des x des aires situées au-dessus de l'axe des x.
Cela signifie qu'une fonction d'accumulation est une fonction qui te donne la surface nette signée sous la courbe \( f \N) en fonction de l'une de ses limites d'intégration.
Si la variable se trouve dans la limite d'intégration supérieure, la fonction d'accumulation \N( \int_a^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t \N) se rapporte à la surface signée à droite de \N(a\N).
Figure 2. Zone signée sous \( f(t) \) à droite de \(a\)
Si la variable se trouve plutôt dans la limite inférieure d'intégration, la fonction d'accumulation \N( \int_x^b f(t)\N,\Nmathrm{d}t \N) se rapporte à la zone signée à gauche de \N(b\N).
Figure 3. Zone signée sous \( f(t) \) à gauche de \(b\)
Trouver une fonction d'accumulation à partir d'un graphique
Parfois, on te demandera de trouver certaines valeurs d'une fonction d'accumulation à partir d'un graphique plutôt que d'une expression mathématique. Voici les tâches les plus courantes qui te sont demandées.
Trouver la valeur de la fonction d'accumulation
Suppose que l'on te donne la fonction d'accumulation
\N[ g(x) = \Nint_{-2}^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t]
et qu'on te donne aussi le graphique de \( f \N).
Figure 4. Graphique de la fonction \( f \)
Même si tu ne connais pas l'expression mathématique de \(f \), tu peux quand même trouver la fonction d'accumulation en regardant le graphique et en le reliant à des formes géométriques ! Par exemple, tu peux trouver \N(g(0)\N) en notant que cela deviendra
\N[ g(0) = \Nint_{-2}^0 f(t)\N,\Nmathrm{d}t,\N]
qui est la zone entre \N( x=-2 \N) et \N( x=0 \N). Cette zone est mise en évidence dans la figure suivante.
Figure 5. Zone située sous \Nf(t) \Ndans l'intervalle allant de \N(-2 \N) à \N(0 \N)
Notez que cette surface est la même que celle d'un triangle de largeur \N( 2 \N) et de hauteur \N(2,\N), donc sa surface est donnée par
\[ \N- A &= \Nfrac{1}{2}(2)(2) \N &= 2, \Nend{align}\N]
ce qui te donne aussi la valeur de la fonction d'accumulation, c'est-à-dire
\[ \begin{align} g(0) &= \int_{-2}^0 f(t) \mathrm{d}t \\ &= 2. \Nend{align} \]
Trouver la dérivée de la fonction d'accumulation en un point
On peut aussi te demander de trouver la valeur de la dérivée d'une fonction d'accumulation dans les mêmes conditions. Cette tâche peut sembler difficile au début car on ne te donne pas d'expression mathématique à différencier.
Suppose que, pour la même fonction d'accumulation, on te demande de trouver \( g'(1)\). Tu devrais commencer par remarquer que les graphiques de \N( f\N) et \N( g' \N) sont les mêmes ! C'est parce que la variable se trouve dans la limite supérieure d'intégration de la fonction d'accumulation.
Puisque l'objectif est de trouver \N- g'(1)\N-, il te suffit de trouver \N- f(1) \N-, ce que tu peux faire en regardant la valeur de \N- f\N- lorsque \N- t=1\N-.
Figure 6. La fonction passe par le point (1,2)
Cela signifie que \N(g'(1)=2\N).
Trouver la dérivée seconde de la fonction d'accumulation en un point
En suivant le même raisonnement que dans l'exemple précédent, tu peux trouver la dérivée seconde de \N(g) en regardant la dérivée première de \N(f,\N), c'est-à-dire \N( g''=f'\N). Tu peux utiliser ce fait pour trouver la dérivée seconde de \N(g\N) en un point.
Suppose que tu doives trouver \N( g''(1)\N). Cela revient à trouver \Nf'(1)\Nfaire la même chose, alors regarde la pente de \Nf \Nfaire la même chose au point où \Nf=1\Nf. Cela peut sembler difficile au début, mais en regardant le graphique, tu découvriras que la fonction est constante entre \N(0)\Net \N(2)\Net que sa pente dans cet intervalle est donc égale à \N(0)\N.
Figure 7. La fonction est horizontale à \(t=1\), donc sa pente est égale à \(0\).
À partir de là, tu peux conclure que \( f'(1) = 0,\N), ce qui signifie que \( g''(1)=0,\N).
Remarque que tu dois faire attention lorsque tu trouves les dérivées de cette façon. Si la fonction n'est pas lisse en un point, alors sa dérivée n'existe pas ! C'est le cas de la fonction à \(t=0\). Note le bord du graphique lorsqu'il passe d'une fonction linéaire à une fonction constante.
Figure 8. La dérivée de la fonction à \(t=0 \) n'existe pas.
Formule de la fonction d'accumulation
Pour trouver une fonction d'accumulation, tu dois trouver l'intégrale définie
\N[ \Nint_a^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t,\N]
ou
\N[ \Nint_x^b f(t)\N,\Nmathrm{d}t,\N]
ce qui signifie qu'au lieu d'une formule pour la fonction d'accumulation, tu as besoin d'une méthode pour résoudre l'intégrale définie. Pour en savoir plus, consulte notre article sur les intégrales définies !
Exemples de la fonction d'accumulation
Le calcul, c'est avant tout une question de pratique. Trouver des fonctions d'accumulation t'aidera aussi à t'entraîner à résoudre des intégrales définies !
Trouve la fonction d'accumulation
\[ F(x) = \int_\pi^x \cos{t} \N, \Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Pour trouver une fonction d'accumulation, tu dois commencer par résoudre l'intégrale indéfinie. Comme l'intégrande est la fonction cosinus, tu peux résoudre l'intégrale indéfinie en utilisant le fait que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. Comme d'habitude, tu n'as pas besoin d'ajouter une constante d'intégration, donc
\[ \Nint \Ncos{t} \N,\Nmathrm{d}t = \Nsin{t}.\N]
Ensuite, tu dois évaluer l'intégrale définie, ce qui te donnera
\N[ \Nint_\pi^x \Ncos{t}\N,\Nmathrm{d}t = \Nsin{x}-\Nsin{\pi}.\N]
Puisque \( \sin{\pi}=0\), tu peux simplifier l'expression ci-dessus et obtenir la fonction d'accumulation, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \int_\pi^x\cos{t}\,\mathrm{d}t &= \sin{x}-0 \\\N- &= \sin{x}. \N-END{align} \]
Cela signifie que la fonction d'accumulation est
\[ F(x) = \sin{x}.\]
Les limites d'intégration peuvent également être des nombres spéciaux, comme \N(e\N).
Trouve la fonction d'accumulation
\[ G(x) = \int_e^x \frac{5}{t} \N, \Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Cette fois-ci, tu dois résoudre l'intégrale indéfinie
\[ \int \frac{5}{t} \N, \mathrm{d}t,\N]
qui est l'une des intégrales impliquant des fonctions logarithmiques. Tu obtiendras ainsi
\[ \begin{align} \int \frac{5}{t} \, \mathrm{d}t &= 5 \int \frac{1}{t} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- &= 5\N-{t}. \N- [end{align}\N]
Ensuite, évalue l'intégrale définie comme d'habitude, donc
\N[ \Nint_e^x \Nfrac{5}{t} \N, \Nmathrm{d}t = 5\N{x}-5\N{e}.\N]
Le logarithme naturel du nombre \N( e \N) est égal à \N(1\N). Sachant cela, tu peux simplifier l'expression ci-dessus et obtenir
\N[ \Nint_e^x \Nfrac{5}{t} \N, \Nmathrm{d}t =5\Nln{x}-5, \N]
La fonction d'accumulation est donc
\[ G(x) = 5\ln{x}-5.\]
Et si la variable se trouve dans une limite d'intégration inférieure ? Pas de problème ! Tu dois juste faire attention à son signe.
Trouve la fonction d'accumulation
\N[ H(x) = \Nint_x^3 \Nà gauche(\Nfrac{1}{2}t-3\r) \N, \Nmathrm{d}t.\N]
Solution :
Tu peux utiliser la règle de puissance pour trouver l'intégrale indéfinie
\N[ \Nint \Nleft(\Nfrac{1}{2}t-3\Nright) \N, \Nmathrm{d}t, \N]
donc
\N-int \Ngauche (\Nfrac{1}{2}t-3\Ndroite) \Nmathrm{d}t = t^2-3t.\N]
Sachant cela, tu peux évaluer l'intégrale définie, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \Nint_x^3 \Nà gauche( \Nfrac{1}{2}t-3t\Nà droite) \N, \Nmathrm{d}t &= \Nà gauche(\N(3)^2-3(3) \Nà droite) - \Nà gauche(\N(x)^2-3(x) \Nà droite) \Nà 0-(x^2-3x) \Nà gauche &= -x^2+3x. \N- [end{align}\N]
Cela signifie que la fonction d'accumulation est
\N- H(x) = -x^2+3x.\N]
Il est temps de s'attaquer à une fonction d'accumulation définie par un graphique !
Soit \N( f \N) une fonction continue définie dans l'intervalle \N( [-3,4] \N) par le graphique suivant.
Figure 9. Graphique de f
Soit \N( g\N) une fonction d'accumulation définie comme suit
\N[ g = \Nint_{-3}^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t.\N]
- Trouve \N- g(4) \N-.
- Trouve \N- g'(0) \N- g'(0) \N- g'(0) \N- g'(0).
- Trouve \N- g''(-1) \N- g''(-1) \N- g''(-1).
Solution :
a. Trouve \N- g(4) \N- g(4).
Pour trouver \N- g(4) \N- tu dois trouver la surface de la courbe entière. Commence par inspecter les formes géométriques présentes sur le graphique de \(f\).
Figure 10. La zone située sous \( f\ ) est composée de deux triangles, d'un carré et d'un quart de cercle.
À partir de là, tu peux trouver l'aire de chaque figure géométrique.
Figure 11. Dimensions des figures présentes dans le graphique de \(f \)
Enfin, pour trouver l'aire, tu dois additionner toutes les valeurs ci-dessus tout en notant que le triangle dans l'intervalle \([-3,2] \) passe en dessous de l' axe \(t-\), donc cette aire doit être soustraite du reste.
\[ \begin{align} A &= -\frac{1}{2}+2+4+\frac{1}{4}\pi(2)^2 \\\N- &= \frac{11}{2}+\pi. \Nend{align} \]
Cela signifie que la valeur de la fonction d'accumulation évaluée à \N( 4 \N) est
\N[ g(4) = \frac{11}{2}+\pi\N].
b. Trouve \N( g'(0)\N).
Ce point est simple, puisque les graphiques de \N( g'\N) et \N( f'\N) sont les mêmes, il te suffit de trouver la valeur de \N(f'\N) à \N(0\N). Cela signifie que
\N[ \N- g'(0) &= f(0) \N &= 2. \N- end{align}\N]
c. Trouve \N( g''(-1)\N).
Puisque la dérivée seconde de \(g\N) est égale à la dérivée de \N(f\N), tu dois trouver la pente d'une ligne tangente à \N(f\N) au point demandé, c'est à dire
\N- g''(-1)=f'(-1).\N- [g''(-1)=f'(-1).\N]
Note que \(f \) est une ligne droite dans l'intervalle de \(-3\) à \(0,\), donc sa pente est constante dans cet intervalle. Tu peux trouver cette pente en notant que lorsque \N(t) augmente de \N(1) dans cette partie du graphique, \N( f(t)\N) augmente également de \N(1). Cela signifie que la pente est de \(1\). Tu peux donc en conclure que
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
La fonction d'accumulation - Points clés à retenir
- Une fonction d'accumulation est une fonction \( F(x)) telle que\[ F(x) = \int_a^x f(t) \N, \Nmathrm{d}t,\N]ou\[ F(x) = \int_x^b f(t) \N, \Nmathrm{d}t,\N]où \N( f \N) est une fonction intégrable sur l'intervalle \N( [a,b]\N), et \N( a<x<b\).
- Une fonction d'accumulation est une fonction obtenue en résolvant une intégrale définie tout en laissant l'une des limites d'intégration comme variable.
- Les fonctions d'accumulation te donnent des informations sur l'aire nette signée d'une fonction \( f \N) en fonction de l'une de ses limites d'intégration.
- La lettre \( x\) étant généralement réservée à une variable, l'intégrande d'une fonction d'accumulation ne l'utilise généralement pas comme variable d'intégration, c'est pourquoi \( t\) est couramment utilisée à la place.
- Les fonctions d'accumulation sont définies par la résolution d'une intégrale définie, la fonction dépendra donc de la fonction que tu intègres, ainsi que des limites d'intégration.
- Tu peux aussi évaluer les fonctions d'accumulation en regardant un graphique. Pour cela, tu dois garder à l'esprit que si\[ F(x)= \int_a^x f(t)\N,\Nmathrm{d}t,\N]alors\[ F'(x)=f(x),\N]tu peux établir un lien entre les deux graphiques.
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