Et si tu as déjà eu ce copain de randonnée qui dit à ton groupe que vous avez atteint le sommet, mais que vous devez tous le remonter, tu sais que ces collines n'étaient que des hauteurs maximales locales que vous avez atteintes.
Où se situe la hauteur maximale de ta randonnée ? Eh bien, tout comme l'endroit où tu commences et où tu arrêtes ta randonnée, une fonction qui se trouve sur un intervalle fermé a un point de départ et un point d'arrivée. Et, tout comme tu peux visualiser une carte d'altitude de ta randonnée, tu peux regarder le graphique d'une fonction et déterminer les maxima et minima absolus qu'elle présente !
Maxima et minima absolus : définitions
Si tu as étudié l'article sur les maxima et les minima, tu sais déjà que
le maximum absolu (également appelé maximum global) d'une fonction est la plus grande valeur de sortie d'une fonction sur l'ensemble de son domaine, et
le minimum absolu (également appelé minimum global) d'une fonction est la plus petite valeur de sortie d'une fonction sur l'ensemble de son domaine.
Mais qu'en est-il d'une définition plus formelle ?
Pour définir formellement les maxima et les minima absolus, considère les fonctions suivantes
\[ f(x) = x^{2} + 1 \]
et
\N[ g(x) = -x^{2} -1, \N]
chacune sur l'intervalle de \N( ( - \Ninfty, \Ninfty ) \N).
Considère également leurs graphes :
Fig. 1. La fonction \N( f(x) \N) a un minimum absolu à \N( (0, 1) \N) et n'a pas de maximum absolu. La fonction \N( g(x) \N) a un maximum absolu à \N( (0, -1) \N) et n'a pas de minimum absolu.
Pour \Nf(x) \Nla fonction est un maximum absolu à \N(0, -1) \Net n'a pas de minimum absolu :
Comme \( x \r à \rpm \rfty, f(x) \r à \rfty \r).
Cela te montre que \Nf(x) n'a pas de valeur maximale absolue.
Mais comme \N- x^{2} \N-geq 1 \N- pour tous les nombres réels de \N- x \N- et \N- x^{2} + 1 = 1 \N- lorsque \N- x = 0 \N-, tu sais que \N- f(x) \N- a une plus petite valeur - un minimum absolu - de \N- 1 \N- lorsque \N- x = 0 \N-.
Pour \N- g(x) \N- :
Comme \N x va vers \Npm \Nfty, g(x) va vers - \Nfty \N).
Cela te montre que \N( g(x) \N) n'a pas de valeur minimale absolue.
Mais, puisque \N-x^{2} \Nleq -1 \Npour tous les nombres réels de \N-x \Net \N-x^{2} - 1 = -1 \Nlorsque \N-x = 0 \N-, tu sais que \N- g(x) \Na une plus grande valeur - un maximum absolu - de \N- -1 \Nlorsque \N- x = 0 \N-.
Cela t'amène à conclure que la définition formelle des maxima absolus, des minima absolus et des extremums absolus est la suivante :
Soit une fonction \N f \N définie sur un intervalle \N I \N avec une valeur \N c \N qui est un sous-ensemble de \N I \N.
- On dit que f a un maximum absolu sur I à c si f(c) est f(x) pour tout x qui est un sous-ensemble de I.
- Tu dis que \N f \N a un minimum absolu sur \N I \N à \N c \N si \N f(c) \Nle f(x) \N pour tout \N x \N qui est un sous-ensemble de \N I \N.
- Enfin, si \N f \N a un maximum absolu ou un minimum absolu sur \N I \N au niveau de \N c \N, on dit que \N f \N a un extremum absolu sur \N I \N au niveau de \N c \N.
Mais avant de continuer, il y a deux points à noter concernant ces définitions :
- Le terme absolu ne signifie pas valeur absolue.
- Les extrema absolus peuvent être positifs, négatifs ou nuls.
- Si une fonction a un extremum absolu sur \N( I \N) à \N( c \N), alors l'extremum absolu est \N( f(c) \N).
- Le nombre réel \( c \N) est un point du domaine de la fonction où se trouve l'extremum absolu.
Considère la fonction
\[ f(x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \]
sur l'intervalle \( ( - \infty, \infty) \).
Fig. 2. La fonction \N( f(x)) sur l'intervalle de \N( (-\Ninfty, \Ninfty)) a un maximum absolu de \N( 1) à \N( x = 0) et pas de minimum absolu.
Parce que
\[ f(0) = 1 \ge \frac{1}{x^{2} + 1} = f(x) \]
pour tous les nombres réels \N( x \N), on dit que \N( f(x) \N) a un maximum absolu sur l'intervalle \N( ( - \Ninfty, \Ninfty) \N) à \N( x = 0 \N). Le maximum absolu est \Nf(0) = 1 \Net il se produit à \Nx = 0 \N.
Graphiques du maximum et du minimum absolus
Une fonction peut avoir :
- à la fois un maximum absolu et un minimum absolu,
- soit un maximum absolu ou un minimum absolu, ou
- ni un maximum absolu ni un minimum absolu.
Les graphiques ci-dessous montrent plusieurs possibilités concernant le nombre d'extrema absolus qu'une fonction peut avoir.
(a) La fonction \( f(x) = x^{3} \Nsur l'intervalle \N( (-\Ninfty, \Nfty) \N) n'a pas de maximum absolu ni de minimum absolu.
Fig. 3. (a) La fonction \Nf(x) = x^{3} \(a) La fonction \Nf(x) = x^{3} sur l'intervalle \Nf(-\infty, \infty) n'a pas de maximum absolu ni de minimum absolu.
(b) La fonction \Nf(x) = \frac{-1}{x^{2}+1} \Nsur l'intervalle \N( (-\Ninfty, \Nfty) \N) a un minimum absolu de \N( -1 \N) à \N( x = 0 \N) et n'a pas de maximum absolu.
Fig. 4. (b) La fonction \( f(x) = \frac{-1}{x^{2}+1} \(b) La fonction \Nf(f(x) = \Nfrac{-1}{x^{2}+1}) sur l'intervalle \Nf(-\infty, \infty) a un minimum absolu de \Nf(-1) à \Nf(x = 0) et n'a pas de maximum absolu.
(c) La fonction \N( f(x) = cos(x) \N sur l'intervalle \N( (-\Ninfty, \Ninfty) \N) a un maximum absolu de \N( 1 \N) à \N( x = 0, \Npm 2 \Npi, \Npm 4 \Npi, \Npoints \N) et un minimum absolu de \N( -1 \N) à \N( x = \Npm \Npi, \Npm 3 \Npi, \Npoints \N).
Fig. 5. (c) La fonction \Nf(x) = cos(x) \Nsur l'intervalle \N(-\Ninfty, \Ninfty) \Na un maximum absolu de \N( 1 \N) à \N( x = 0, \Npm 2 \Npi, \Npm 4 \Npi, \Npoints \N) et un minimum absolu de \N( -1 \N) à \N( x = \Npm \Npi, \Npm 3 \Npi, \Npoints \N).
(d) La fonction \Nf(x) = \Ndébut{cases} 2-x^{2} & 0 \Nque x < 2 \Nque x-3 & 2 \Nque x \Nque 4 \Nfin{cases} \] a un maximum absolu de \( 2 \N) à \( x = 0 \N) et aucun minimum absolu.
Fig. 6. (d) La fonction \Nf(x) = \Nbegin{cases} 2-x^{2} & 0 \leq x < 2 \Nx-3 & 2 \leq x \leq 4 \Nend{cases} \N) a un maximum absolu de \N( 2 \N) à \N( x = 0 \N) et aucun minimum absolu.
(e) La fonction f(x) = (x-2)^{2} \Nsur l'intervalle \N[1, 4] \Na un maximum absolu de \N4 \Nà \Nx = 4 \Net un minimum absolu de \N0 \Nà \Nx = 2 \N.
Fig. 7. (e) La fonction \Nf(x) = (x-2)^{2} \(e) La fonction \Nf(x) = (x-2)^{2} sur l'intervalle \N[1, 4] a un maximum absolu de \N4 à \Nx = 4 et un minimum absolu de \N0 à \Nx = 2.
(f) La fonction \Nf(x) = \frac{x}{2-x} \Nsur l'intervalle \N[0, 2] \Na un minimum absolu de \N( 0 \N) à \N( x = 0 \N) et n'a pas de maximum absolu.
Les trois premiers graphiques, les graphiques (a), (b) et (c), montrent comment une fonction avec un domaine de \( (-\infty, \infty) \) peut avoir l'un ou l'autre :
pas d'extrema absolu,
un extrema absolu, ou
à la fois un maximum absolu et un minimum absolu.
Les trois autres graphiques, les graphiques (d), (e) et (f), montrent comment une fonction sur un intervalle borné peut avoir soit :
un seul extremum absolu, ou
soit un maximum absolu et un minimum absolu.
Une fonction ne peut PAS avoir plus d'un maximum absolu ou plus d'un minimum absolu ! Cependant, comme dans le graphique (c) ci-dessus, le maximum absolu et le minimum absolu peuvent se produire pour plus d'une valeur de \( x \).
Théorème des valeurs extrêmes
Lethéorème des valeurs extrêmes stipule qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné possède un maximum absolu et un minimum absolu. L'énoncé formel du théorème de la valeur extrême est le suivant.
Si une fonction \N( f \N) est continue sur un intervalle fermé et borné \N( [a, b] \N), alors
- il existe un point dans l'intervalle \N([a, b] \N) où \N( f \N) a un maximum absolu et
- il existe un point dans l'intervalle \N([a, b] \N) où \N( f \N) a un minimum absolu.
Pour que le théorème des valeurs extrêmes s'applique, la fonction doit être continue sur un intervalle fermé et borné. Si, par exemple, l'intervalle est ouvert ou si la fonction a ne serait-ce qu'un point de discontinuité, il est possible que la fonction n'ait pas de maximum absolu ou de minimum absolu.
Reconsidère les fonctions représentées dans les trois autres graphiques ci-dessus - les graphiques (d), (e) et (f).
Ces trois fonctions sont définies sur des intervalles bornés, mais pas nécessairement fermés.
- Pour cette raison, la fonction du graphique (e) est la seule qui possède à la fois un maximum et un minimum absolus sur son domaine.
Le théorème des valeurs extrêmes ne peut pas être appliqué aux fonctions des graphiques (d) et (f) car aucune de ces fonctions n'est continue sur un intervalle fermé et borné.
- Considérons le graphique (d) :
- Bien que la fonction soit définie sur l'intervalle fermé et borné de \N( [0, 4] \N), elle présente une discontinuité à \N( x = 2 \N).
- Par conséquent, la fonction a un maximum absolu sur l'intervalle fermé et borné de \N([0, 4] \N), mais elle n'a pas de minimum absolu.
- Bien que la fonction soit définie sur l'intervalle fermé et borné de \N( [0, 4] \N), elle présente une discontinuité à \N( x = 2 \N).
- Considère le graphique (f) :
- La fonction est continue sur l'intervalle semi-ouvert de \N( [0, 2) \N), mais elle n'est pas définie à \N( x = 2 \N).
- Par conséquent, elle n'est pas continue sur un intervalle fermé et borné.
- La fonction a un minimum absolu sur l'intervalle de \N([0, 2) \N), mais elle n'a pas de maximum absolu sur l'intervalle de \N([0, 2) \N).
- La fonction est continue sur l'intervalle semi-ouvert de \N( [0, 2) \N), mais elle n'est pas définie à \N( x = 2 \N).
- Les graphiques (d) et (f) illustrent pourquoi une fonction sur un intervalle borné peut ne pas avoir de maximum absolu et/ou de minimum absolu.
Maxima et minima absolus sur des régions fermées et délimitées
Le théorème des valeurs extrêmes dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné doit avoir un maximum absolu et un minimum absolu.
Comme le montrent les graphiques ci-dessus, l'un ou les deux de ces extrema absolus pourraient se produire à une extrémité de la fonction.
Cependant, si un extremum absolu ne se produit pas à une extrémité de la fonction, il doit se produire à un point intérieur.
Cela signifie que l'extremum absolu est aussi un extremum local.
Par conséquent, en vertu du théorème de Fermat, le point \( c \) où se trouve l'extremum local doit être un point critique.
Théorème - L'emplacement des extremums absolus
Soit une fonction \( f \) continue sur un intervalle fermé et borné \( I \).
- Le maximum absolu de \N( f \N) sur \N( I \N) doit se trouver soit à une extrémité de \N( I \N), soit à un point critique de \N( f \N) dans \N( I \N).
- Le minimum absolu de \N f \N sur \N I \N doit se produire soit à une extrémité de \N I \N soit à un point critique de \N f \N dans \N I \N.
En gardant cela à l'esprit, développons la stratégie pour trouver les extrema absolus d'une fonction.
Stratégie : Localiser les maxima et minima absolus sur un intervalle fermé
Pour trouver les extrema absolus d'une fonction, celle-ci doit être continue et définie sur un intervalle fermé et borné \N([a, b] \N).
Résous la fonction à ses points d'extrémité, c'est-à-dire aux endroits où \( x = a \N) et \( x = b \N).
Trouve tous les points critiques de la fonction qui se trouvent sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \) et résous la fonction à chaque point critique.
Prends la dérivée première de la fonction donnée.
Fixe \Nf'(x) = 0 \Net résous pour \Nf x \Npour trouver tous les points critiques.
Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.
Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.
Si \Nf'(c) < 0 \N, alors le point critique de \Nf(x) \Nest un maximum.
Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).
La plus grande des valeurs est le maximum absolu de la fonction.
La plus petite des valeurs est le minimum absolu de la fonction.
Toutes les autres valeurs sont des extrema relatifs/locaux de la fonction.
Examinons ces étapes à l'aide d'un exemple.
Trouve le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction
\N[ f(x) = x^{2} + 2 \N]
sur l'intervalle \N([-2, 3] \N).
Solution:
Donc, dans ce cas, \Nf(x) est continue et définie sur l'intervalle fermé et borné de \N[-2, 3].
- Cela signifie que \N( a = -2 \N) et \N( b = 3 \N).
Résous la fonction à ses extrémités, c'est-à-dire là où \N( x = a \N) et \N( x = b \N).
Pour \N( x = a = -2 \N) :\N[ f(a) = f(-2) = (-2)^{2} + 2 = 6 \N].
Pour \N( x = b = 3 \N) :\N[ f(b) = f(3) = (3)^{2} + 2 = 11 \N]
Trouve tous les points critiques de la fonction qui sont sur l'intervalle ouvert \( (a, b) \) et résous la fonction à chaque point critique.
Prends la dérivée première de la fonction donnée.\N[ f'(x) = 2x \N]
Fixe \Nf(x) = 0 \Net résout pour \Nf(x \N) pour trouver tous les points critiques.\N[ \Nbegin{align}f'(x) = 0 &= 2x \N0 &= 2x \Nx &= 0\Nend{align} \N]
Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.\N[ f''(x) = 2 \N]
Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ f''(0) = 2 \N]
Si \( f''(c) < 0 \N), alors le point critique de \( f(x) \N) est un maximum.
Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).
La plus grande des valeurs est le maximum absolu de la fonction.
La plus petite des valeurs est le minimum absolu de la fonction.
Toutes les autres valeurs sont des extrema relatifs/locaux de la fonction.
\( x \) f(x) \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N Conclusion \( -2 \) \( 6 \) max relatif \( 0 \) \( 2 \) min absolu \( 3 \) \( 11 \) max absolu
Tu peux représenter graphiquement la fonction sur son intervalle fermé et borné pour valider tes conclusions à partir du tableau ci-dessus :
Fig. 9. La fonction \(f(x)\) a un maximum relatif à \( (-2, 6) \), un minimum absolu à \( (0, 2) \), et un maximum absolu à \( (3, 11) \).
Par conséquent ,
- Le maximum absolu de f(x) est de 11 et il se produit à l'endroit où f(x = 3).
- Le minimum absolu de \N( f(x)) est \N( 2) et se produit là où \N( x = 0).
Maximum et minimum absolus d'une fonction
La plupart des fonctions dont tu t'occupes en calcul n'ont pas de valeur maximale ou minimale absolue sur l'ensemble de leur domaine.
Cependant, certaines fonctions ont un extremum absolu sur l'ensemble de leur domaine. Par exemple, la fonction,
\[f(x) = xe^{3x}. \N-]
Si tu prends la dérivée de cette fonction, tu obtiens ,
\[ f'(x) = e^{3x}(1+3x). \]Le seul point critique de cette fonction est celui où \( x = -\frac{1}{3} \).
Fig. 10. La fonction \( f(x) = xe^{3x} \), sur tout son domaine, a un minimum absolu à \( x = -\frac{1}{3} \), mais elle n'a pas de maximum absolu.
En regardant le graphique de cette fonction, tu peux voir que, sur tout son domaine, elle a bien un minimum absolu à \( x = -\frac{1}{3} \), mais qu'elle n'a pas de maximum absolu.
Stratégie : Localisation des maxima et minima absolus sur l'ensemble du domaine d'une fonction
Pour localiser les maxima et les minima absolus sur l'ensemble du domaine d'une fonction, tu suis le même processus que pour trouver les maxima et les minima locaux, puisqu'il n'y a pas de point final. Les étapes sont résumées ci-dessous.
Prends la dérivée première de la fonction donnée.
Fixe \N( f'(x) = 0 \N) et résous pour \N( x \N) pour trouver tous les points critiques.
Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.
Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.
Si \Nf'(c) < 0 \N, alors le point critique de \Nf(x) \Nest un maximum.
Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
Revoyons ces étapes à l'aide d'un exemple.
Trouve tous les extrema absolus de la fonction
\N[ f(x) = xe^{x} \N].
Solution:
Prends la dérivée première de la fonction donnée.\[ f'(x) = e^{x}(1 + x) \]
Fixe \N( f'(x) = 0 \N) et résout pour \N( x \N) pour trouver tous les points critiques.\N[ \Nbegin{align}f'(x) = 0 &= e^{x}(1 + x) \N{0 &= 1 + x \N{x &= -1\Nend{align} \]
Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.\[ f''(x) = e^{x}(x + 2) \]
Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ \Nbegin{align}f''(-1) &= e^{-1}(-1 + 2) \N&= e^{-1}(1) \N&= e^{-1} = 0.37\Nend{align} \]
Si \( f''(c) < 0 \N), alors le point critique de \( f(x) \N) est un maximum.
Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
Tu peux représenter graphiquement la fonction pour valider tes conclusions :
Fig. 11. La fonction a un minimum absolu à \N(-1, -0,37) \Net aucun autre extrema relatif ou absolu.
Par conséquent, le seul extremum absolu de la fonction est un minimum absolu de \( -0,37 \N) qui se produit lorsque \( x = -1 \N).
Maxima et minima absolus : exemples
Trouve le maximum absolu et le minimum absolu de la fonction
\N[ f(x) = -2x^{2} + 3x - 2 \N]
sur l'intervalle \( [-1, 3] \).
Indique où se trouvent les extrémités absolues.
Solution:
Résous la fonction à ses points extrêmes, c'est-à-dire aux endroits où \( x = -1 \N) et \( x = 3 \N).
Pour \N( x = -1 \N) :\N[ f(-1) = -2(-1)^{2} + 3(-1) - 2 = -7 \N]
Pour \N( x = 3 \N) :\N[ f(3) = -2(3)^{2} + 3(3) - 2 = -11 \N]
Trouve tous les points critiques de la fonction qui se trouvent sur l'intervalle ouvert \N( (1, 3) \N) et résous la fonction à chaque point critique.
Prends la dérivée première de la fonction donnée.\[ f'(x) = -4x + 3 \N]
Fixe \Nf(x) = 0 \Net résout pour \Nx \Npour trouver tous les points critiques.\N[ \Ncommencement{alignement}f'(x) = 0 &= -4x + 3 \N4x &= 3 \Nx &= \Nfrac{3}{4}\Nend{alignement} \]
Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.\N[ f''(x) = -4 \N]
Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ f''(\Nfrac{3}{4}) = -4 \N]
Puisque \( f''(\frac{3}{4}) < 0 \N), alors le point critique de \( f(x) \N) est un maximum.
Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).
\( x \) \N- f(x) \N - \N Conclusion \( -1 \) \( -7 \) \( \frac{3}{4} \) \( \frac{7}{8} \) max absolu \( 3 \) \( -11 \) min absolu
Fig. 12. La fonction \N( f(x) \N) a un maximum absolu à \N( x = \Nfrac{3}{4} \N) et un minimum absolu à \N( x = 3 \N).
Par conséquent ,
- Le maximum absolu de \Nf(x) \Nest \Nfrac{7}{8} \Net il se produit à \Nfrac{3}{4} \Nlorsque \Nx = \Nfrac{3}{4} \Nest le maximum absolu de \Nf(x) \Nest \Nfrac{7}{8} \N.
- Le minimum absolu de \Nf(x) \Nest \N- 11 \Net il se produit là où \Nx = 3 \N.
Maxima et minima absolus - Principaux enseignements
- Le maximum absolu (également appelé maximum global) d'une fonction est la plus grande valeur de sortie d'une fonction sur l'ensemble de son domaine.
- Le minimum absolu (également appelé minimum global) d'une fonction est la plus petite valeur de sortie d'une fonction sur l'ensemble de son domaine.
- Une fonction peut avoir :
- à la fois un maximum absolu et un minimum absolu,
- soit un maximum absolu ou un minimum absolu, ou
- ni un maximum absolu ni un minimum absolu.
- Le théorème des valeurs extrêmes stipule qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné doit avoir un maximum absolu et un minimum absolu.
- Ces extrema absolus doivent se produire soit à un point critique, soit à un point final de la fonction.
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