Évolutions des coûts et des revenus

Soit \(d = C(x)\) le montant total en dollars dépensé pour produire \(x\) articles. Le taux moyen de variation du coût entre le premier article produit \(x_1\) et le dernier article produit \(x_2\) est le suivant

\[ \begin{align} \mbox{Taux moyen de variation du coût } &= \frac{\Delta d}{\Delta x} \\\N &= \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}. \N- [Fin{align}\N]

De même, \(p = R(x)\) représente le montant total en dollars obtenu par la vente de \(x\) articles. Le taux moyen de variation des recettes entre le premier article vendu \(x_1\) et le dernier article vendu \(x_2\) est le suivant

\[ \begin{align} \mbox{Taux moyen de variation des recettes } &= \frac{\Delta p}{\Delta x} \\N &= \frac{R(x_2) - R(x_1)}{x_2-x_1}.\Nend{align} \]

Encore une fois, représentons \(d = C(x)\) le montant total en dollars dépensé pour produire \(x\) articles. Le taux instantané de variation du coût de production de l'article \(x\) est le suivant

\[ \begin{align} \mbox{Taux de variation instantané du coût } &= \limlimits_{\Delta x \à 0} \frac{\Delta d}{\Delta x} \\N &= \frac{dd}{dx}. \[Fin{align}\]

De la même façon, \(p = R(x)\) représente le montant total en dollars généré par la vente de \(x\) articles. Le taux instantané de variation des recettes lors de la vente de l'article \(x\) est le suivant

\[ \begin{align} \mbox{Taux de variation des recettes } &= \limlimits_{\Delta x \à 0} \frac{\Delta p}{\Delta x} \N &= \frac{dp}{dx}. \N- [Fin{align}\N]

Une entreprise de presse a un coût de production fixe de 80 centimes par édition, ainsi qu'un coût marginal de distribution et de matériel d'impression de 40 centimes par exemplaire. Les journaux sont vendus à \(50¢\) par exemplaire.

1. Formule des fonctions pour le coût, le revenu et le bénéfice du journal.
2. Détermine ensuite si le journal réalise ou non un bénéfice en vendant \(600\) exemplaires.
3. Combien d'exemplaires du journal doivent être vendus pour atteindre le seuil de rentabilité ?

Solutions:

1. Formule des fonctions pour le coût, les recettes et le bénéfice du journal.
   • Comme indiqué dans la section Formule de coût et de revenu ci-dessus, tu dois utiliser le contexte du problème donné pour déterminer les formules de coût, de revenu et de profit.
     1. Sur la base des coûts que le problème te fournit, la fonction de coût peut être écrite comme le coût fixe plus le coût par exemplaire.\[C(x) = 80 + 0,4x\]
     2. De même, l'équation des recettes peut être écrite comme le montant que l'entreprise de presse gagne par exemplaire.\[R(x) = 0,5x\]
     3. Enfin, puisque le bénéfice est le revenu de l'entreprise moins son coût :\[ \begin{align}P(x) &= R(x) - C(x) \\N-&= 0,5x - (0,4x + 80) \N-P(x) &= 0,1x-80\N- end{align}\N]
2. Trouve si le journal fait un bénéfice ou non en vendant \(600\) exemplaires.
   1. Insère \(x = 600\) dans ton équation de profit.\[P(600) = 0.1(600)-80 = -20\]
   2. Comme le bénéfice est négatif, l'entreprise de presse ne réalise pas de bénéfice en vendant \(600\) exemplaires, mais subit plutôt une perte.
3. Trouve combien d'exemplaires du journal doivent être vendus pour atteindre le seuil de rentabilité.
   • Le seuil de rentabilité signifie que l'entreprise ne réalise aucun bénéfice. Le coût de production et le revenu gagné sont donc égaux.
   • Pour savoir combien de journaux l'entreprise doit vendre pour atteindre le seuil de rentabilité, tu dois définir l'équation du bénéfice comme étant égale à \(0\), ou \(P(x) = 0\), puis résoudre \(x\).
     1. Fixe \N(P(x) = 0\N).\N[ P(x) = 0.1x - 80 = 0\N]
     2. Solve for \(x\N).\N[ \Nbegin{align}0.1x - 80 &= 0 \N0.1x &= 80 \Nx &= \Nfrac{80}{0.1} \N-x &= 800\N- end{align} \]
   • Par conséquent, le journal doit vendre \(800\) exemplaires pour atteindre le seuil de rentabilité.

Supposons qu'une entreprise de jouets produise \(x\) jouets avec un coût de \(C(x) = 10000 + 3x + 0.01x^2\) qui englobe le total des frais généraux (comme le loyer de l'usine), les matériaux, la main d'œuvre, etc.

1. Trouve le coût marginal de production de \(500\) jouets.
2. Que doit facturer l'entreprise pour le \N(500^{ème}\Njouet pour réaliser un bénéfice de \N(10$) ?)
3. Trouve ensuite le coût marginal moyen de \N(200\N) jouets à \N(300\N) jouets.

Solutions:

1. Trouve le coût marginal de production de 500 jouets.
   1. Trouve l'équation du coût marginal.
      • Rappelle-toi que l'équation du coût marginal est la dérivée de l'équation du coût. Utilise donc la règle de la puissance pour prendre la dérivée de \N(C(x)\N).\N[ C'(x) = 3 +0.02x\N]
   2. Insère le nombre de jouets dans \(x\) pour trouver le coût de production d'un jouet.
      • En ajoutant \N(x = 500) à \N(C(x)\N), tu obtiens\N[ C(500) = 3 + 0,02(500) = 13,\N].
      • Que signifie réellement cette valeur ?\N-(C(500) = 13\N) signifie que lors de la production du \N(500^{th}\Njouet, l'entreprise construit des jouets à un coût de \N(\N$13\N) par jouet.
      • Par conséquent, le coût marginal de production des 500 jouets est de \N(\N13$).
2. Que doit facturer l'entreprise pour le \N(500^{th}\) jouet pour réaliser un bénéfice de \N(10 $) ?
   • D'après la solution A, tu sais que le jouet \(500^{th}\) a coûté \(\$13\) à l'entreprise. Et comme tu sais que l'équation du bénéfice est \N(P(x) = R(x) - C(x)\N), tu peux résoudre cette équation pour les recettes afin de déterminer le prix que l'entreprise doit demander pour le jouet.
     1. Utilise l'équation du bénéfice :\[ P(x) = R(x) - C(x) \]
     2. Solve for revenue.\[ \begin{align}P(x) &= R(x) - C(x) \\P(x) + C(x) &= R(x) \\R(x) &= P(x) + C(x)\end{align} \]
     3. Insère tes valeurs connues pour le bénéfice ((10 $)) et le coût ((13 $)), et résous la question du revenu.[R(x) = 10 $ + 13 $ = 23 $].
   • Pourque l'entreprise puisse réaliser un bénéfice de \N(\N10$) pour le \N(500^{th}\N) jouet construit, elle doit le facturer \N(\N23$).
3. Trouve le coût marginal moyen des jouets de \(200\N) à ceux de \N(300\N).
   1. Pour trouver le coût marginal moyen des jouets de 200 à 300, tu dois utiliser la formule du taux de variation moyen :\[ \mbox{Taux de variation moyen }]. = \frac{\Delta d}{\Delta x} = \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}\]où,\[ x_1 = 200 \text{ et } x_2 = 300. \N]
   2. Ensuite, tu dois utiliser la fonction de coût donnée pour trouver \N(C(x_1)\Net \N(C(x_2)\N).
      • Pour \N(x_1 = 200\N) :\N[ \Nbegin{align}C(x_1) &= 10000 + 3(x_1) + 0.01(x_1)^2 \N{C(200) &= 10000 + 3(200) + 0.01(200)^2 \N{C(200) &= 10000 + 600 + 400 \N{C(200) &= 11000\Nend{align} \]
      • For \(x_2 = 300\):\[ \begin{align}C(x_2) &= 10000 + 3(x_2) + 0.01(x_2)^2 \\C(300) &= 10000 + 3(300) + 0.01(300)^2 \\C(300) &= 10000 + 900 + 900 \\C(300) &= 11800\end{align} \]
   3. Maintenant, introduis toutes tes valeurs dans la formule du taux moyen de changement.\[ \mbox{Taux moyen de changement } = \frac{\Delta d}{\Delta x} = \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}\]où,\[ x_1 = 200, x_2 = 300, C(x_1) = 11000, \text{ et } C(x_2) = 11800. \]\[ \bgin{align}\mbox{Taux de variation moyen } &= \frac{\Delta d}{\Delta x} \&= \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1} \N-&= \Nfrac{11800 - 11000}{300 - 200} \\N-&= \frac{800}{100} \N-&= 8\N- end{align} \]
   4. Ainsi, en moyenne, le coût de production d'un jouet entre le \(200^{th}\) jouet construit et le \(300^{th}\) jouet construit est de \(\$8\) par jouet.