Tu as peut-être déjà vu comment calculer approximativement l'aire sous les courbes en utilisant différentes méthodes. La façon la plus courante d'approcher les aires est d'utiliser des rectangles. C'est ce que nous appelons une sommedeRiemann.
Les intégrales définies sont étroitement liées à l'aire sous une courbe, c'est pourquoi dans cet article, nous étudierons comment évaluer les intégrales définies.
Pour plus d'informations sur l'aire entre les courbes et sur la façon de la trouver, consulte l'article Aire entre deux courbes.
Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples
1/3
1/3
1/3
De Score
Quel début fantastique!
Tu peux faire mieux
Inscris-toi pour créer tes propres flashcards
Accède à plus de 700 millions de ressources d'apprentissage
Signification et exemple de l'évaluation d'une intégrale définie
Évaluer une intégrale définie signifie trouver sa valeur. Cette valeur est liée à l'aire sous la courbe.
Tu as peut-être remarqué qu'une intégrale indéfinie a simplement le symbole de l'intégrale, \( \int_1^3,\N) et qu'après l'avoir évaluée, tu as toujours des variables et une constante d'intégration, par exemple[\int x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\N]Les intégrales définies, au contraire, ont des limites d'intégration, comme \( \int_1^3,\N) le résultat final est un nombre et il n'y a pas de constantes d'intégration, comme
\N[ \Nint_1^3 x^2 \Nmathrm{d}x = \Nfrac{26}{3}\N]
Mais comment évaluer une intégrale définie ? Il y a plusieurs façons de procéder. Les plus courantes sont :
En prenant la limite d'une somme de Riemann.
En substituant des valeurs à l'aide du théorème fondamental du calcul.
À partir d'un graphique en utilisant une formule géométrique.
Abordons-les l'une après l'autre.
Évaluer une intégrale définie en tant que limite
Commence par rappeler la définition d'une intégrale définie.
Soit \Nf(x) \Nune fonction définie sur l'intervalle \N[a,b]. \NEn supposant que la limite existe, l'intégrale définie de \Nf(x) \Nde \Nf(x) \Nde \Na \NCOPY00 à \Nb \NCOPY01 est notée comme suit
\N[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x, \N]
et est définie comme
où
\N[ \NDelta x = \Nfrac{b-a}{N}\N]
et \(x_i^* \N) est un point quelconque à l'intérieur d'une partition régulière de l'intervalle.
Les valeurs \N( a \N) et \N( b \N) sont connues sous le nom de limites d'intégration.
Pour plus d'informations et d'exemples sur la définition des intégrales, consulte l'article Intégrales définies.
Cela signifie qu'une intégrale définie est définie comme la limite d'une somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini. Jette un coup d'œil à notre article sur la formation des sommes de Riemann si tu as besoin d'un rafraîchissement sur le sujet !
Voici un exemple d'évaluation d'une intégrale définie à l'aide des limites.
Évalue
\N[ \Nint_{0}^{5} x^2\N,\Nmathrm{d}x \N]
en utilisant la définition de l'intégrale définie.
Solution :
Dans ce cas, la fonction est \N( f(x)=x^2 \N) et les limites d'intégration sont \N( a=0 \N) et \N( b=5.\N) Sachant cela, tu peux trouver \N( \NDelta x \N) :
Avec ceci, tu peux utiliser la définition de l'intégrale définie, donc
Tu peux utiliser n'importe quel point de chaque sous-intervalle pour évaluer la somme de Riemann. À des fins d'illustration, nous utiliserons une approximation par le point d'extrémité droite. Cela te permettra d'écrire
Ensuite, tu dois évaluer cette antidérivée aux deux limites d'intégration et les soustraire. Quelle que soit la valeur de que tu choisis, elle s'annulera lors de la soustraction, il n'est donc pas nécessaire de l'inclure lorsque tu utilises le théorème fondamental du calcul. Cela signifie que l'intégrale est
Note que tu as obtenu la même réponse en utilisant une méthode plus simple !
Évaluer les intégrales définies à l'aide de formules géométriques
Jusqu'à présent, tu as utilisé les intégrales définies pour trouver la surface sous une courbe.
Soit \N(f(x)\Nune fonction non négative et intégrable sur l'intervalle \N([a,b].\NLa surface sous la courbe est donnée par son intégrale définie.
Certaines courbes se rapportent parfaitement à des figures géométriques, tu peux donc faire l'inverse ! Tu peux utiliser les formules permettant de trouver l'aire des figures géométriques pour trouver la valeur des intégrales définies !
Évalue l'intégrale définie
\N[ \Nint_0^4 2x\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Dans ce cas, tu essaies de trouver l'aire située sous la fonction linéaire \( f(x)=2x.\N). Commence par regarder son graphique.
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Fig. 4. L'aire située sous la fonction forme un triangle droit.
Tu peux donc utiliser la formule de l'aire d'un triangle pour trouver cette aire, soit
Cela signifie que la valeur de l'intégrale définie est 16.
\N[ \Nint_0^4 2x \N,\Nmathrm{d}x = 16 \N]
C'était beaucoup plus facile que de trouver l'intégrale définie par sa définition !
Jette un coup d'œil à un autre exemple.
Évalue
Réponse :
Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N- Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N) En laissant \N(y=f(x),\N) tu peux écrire une équation et annuler la racine carrée en élevant les deux côtés au carré, c'est-à-dire
\N[ \N- Début{align} y &= \Nsqrt{9-x^2} \NY^2 &=9-x^2, \NFin{align}\N].
d'où tu peux obtenir l'équation de la forme standard d'une circonférence,
\N- x^2+y^2=9.\N]
Remarque que cette fonction ne représente que la moitié supérieure du cercle, car un cercle entier ne serait pas une fonction !
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Évaluer les intégrales définies à partir d'un graphique
En général, les fonctions ont des intervalles où elles sont positives et des intervalles où elles sont négatives.Qu'arrive-t-il à l'aire d'une fonction si son graphique est en dessous de l'axe des x ? Tu peux toujours lui attribuer une valeur ! Cependant, les aires ne peuvent naturellement pas être négatives. Pour y remédier, une convention est établie en définissant l'aire signée.
L'aire signée d'un graphique est telle que :
Si le graphique est au-dessus de l'axe des x, l'aire est définie comme positive.
Si le graphique est en dessous de l'axe des x, l'aire est définie comme négative.
Une intégrale définie qui implique ces deux types d'intervalles est également associée à une aire ! Tu peux la trouver en soustrayant l'aire située sous l'axe des x de l'aire située au-dessus de l'axe des x.
Envie de voir ce contenu et d’autres visuels trop cools?
Apprends plus vite avec les 5 fiches sur Évaluation des intégrales définies
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
Questions fréquemment posées en Évaluation des intégrales définies
Qu'est-ce qu'une intégrale définie ?
Une intégrale définie calcule l'aire sous une courbe sur un intervalle [a, b]. Elle est représentée par ∫[a, b] f(x) dx.
Comment évaluer une intégrale définie ?
Pour évaluer une intégrale définie, trouvez la primitive F(x) de la fonction f(x) et calculez F(b) - F(a).
Quelle est la différence entre une intégrale définie et une intégrale indéfinie ?
Une intégrale définie donne un nombre représentant l'aire, tandis qu'une intégrale indéfinie donne une famille de fonctions avec une constante d'intégration.
À quoi sert l'évaluation des intégrales définies ?
L'évaluation des intégrales définies est utilisée pour trouver des aires, volumes, et pour résoudre des problèmes en physique et en ingénierie.
How we ensure our content is accurate and trustworthy?
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet
the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Content Creation Process:
Lily Hulatt
Digital Content Specialist
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.