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Fig. 1. Approximation de l'aire sous une courbe à l'aide de rectangles.
Mais qu'en est-il de l'aire exacte sous une courbe ?
Fig. 2. Surface sous la courbe.
.
Les intégrales définies sont étroitement liées à l'aire sous une courbe, c'est pourquoi dans cet article, nous étudierons comment évaluer les intégrales définies.
Pour plus d'informations sur l'aire entre les courbes et sur la façon de la trouver, consulte l'article Aire entre deux courbes.
Signification et exemple de l'évaluation d'une intégrale définie
Évaluer une intégrale définie signifie trouver sa valeur. Cette valeur est liée à l'aire sous la courbe.
Tu as peut-être remarqué qu'une intégrale indéfinie a simplement le symbole de l'intégrale, \( \int_1^3,\N) et qu'après l'avoir évaluée, tu as toujours des variables et une constante d'intégration, par exemple[\int x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\N]Les intégrales définies, au contraire, ont des limites d'intégration, comme \( \int_1^3,\N) le résultat final est un nombre et il n'y a pas de constantes d'intégration, comme
\N[ \Nint_1^3 x^2 \Nmathrm{d}x = \Nfrac{26}{3}\N]
Mais comment évaluer une intégrale définie ? Il y a plusieurs façons de procéder. Les plus courantes sont :
En prenant la limite d'une somme de Riemann.
En substituant des valeurs à l'aide du théorème fondamental du calcul.
À partir d'un graphique en utilisant une formule géométrique.
Abordons-les l'une après l'autre.
Évaluer une intégrale définie en tant que limite
Commence par rappeler la définition d'une intégrale définie.
Soit \Nf(x) \Nune fonction définie sur l'intervalle \N[a,b]. \NEn supposant que la limite existe, l'intégrale définie de \Nf(x) \Nde \Nf(x) \Nde \Na \NCOPY00 à \Nb \NCOPY01 est notée comme suit
\N[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x, \N]
et est définie comme
\[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x=\Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \sum_{i=1}^{N} f(x_i^*)\Delta x, \]
où
\N[ \NDelta x = \Nfrac{b-a}{N}\N]
et \(x_i^* \N) est un point quelconque à l'intérieur d'une partition régulière de l'intervalle.
Les valeurs \N( a \N) et \N( b \N) sont connues sous le nom de limites d'intégration.
Pour plus d'informations et d'exemples sur la définition des intégrales, consulte l'article Intégrales définies.
Cela signifie qu'une intégrale définie est définie comme la limite d'une somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini. Jette un coup d'œil à notre article sur la formation des sommes de Riemann si tu as besoin d'un rafraîchissement sur le sujet !
Voici un exemple d'évaluation d'une intégrale définie à l'aide des limites.
Évalue
\N[ \Nint_{0}^{5} x^2\N,\Nmathrm{d}x \N]
en utilisant la définition de l'intégrale définie.
Solution :
Dans ce cas, la fonction est \N( f(x)=x^2 \N) et les limites d'intégration sont \N( a=0 \N) et \N( b=5.\N) Sachant cela, tu peux trouver \N( \NDelta x \N) :
\[ \begin{align} \Delta x &= \frac{b-a}{N} \N- &= \Nfrac{5-0}{N} \N- \N- &= \Nfrac{5}{N}. \Nend{align} \]
Avec ceci, tu peux utiliser la définition de l'intégrale définie, donc
\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \sum_{i=1}^{N}\left( x_i^* \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\n ;]
Tu peux utiliser n'importe quel point de chaque sous-intervalle pour évaluer la somme de Riemann. À des fins d'illustration, nous utiliserons une approximation par le point d'extrémité droite. Cela te permettra d'écrire
\[ \begin{align} x_i^* &= a+i\Delta x \\ &= i\frac{5}{N}, \end{align} \]
qui peut être replacée dans l'intégrale définie
\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\]
Pour évaluer la limite ci-dessus, commence par réécrire l'expression pour la simplifier un peu :
\[\begin{align} \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x &= \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty} \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] \N- &= \Nlim_{N\Nflèche droite \Nflèche gauche} \left[ \left( \frac{5}{N}\right)^3 \sum_{i=1}^{N}i^2 \right]. \N- [Fin{align}\N]
Tu peux utiliser la formule
\[\sum_{i=1}^{N}i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\]
pour évaluer la somme, donc
\N[ \Nint_0^5 x^2 \N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \left(\frac{5}{N}\right)^3 \left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) \left]. \]
L'expression ci-dessus peut être réécrite en développant le produit, c'est-à-dire
\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left( \frac{125}{3}+\frac{125}{2N}+\frac{125}{6N^2} \right). \]
Enfin, évalue la limite ci-dessus pour trouver
\N[ \Nint_0^5 x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{125}{3}.\N]
Ce résultat signifie que l'aire sous \(f(x)=x^2\) dans l'intervalle \( [0,5] \N) est égale à \N( \frac{125}{3}.\N).
Tu as peut-être remarqué que la méthode ci-dessus n'est pas la plus pratique. Heureusement, il existe une méthode plus simple.
Évaluer une intégrale définie en substituant des valeurs
Une autre façon d'évaluer les intégrales définies consiste à utiliser la partie évaluation du théorème fondamental du calcul.
Soit \(f(x)\) une fonction intégrable sur l'intervalle \( [a,b], \) et que \( F(x) \) soit une antidérivée de \(f(x).\). La partie évaluation du théorème fondamental du calcul stipule que
\N[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x = F(b)-F(a).\N]
De cettefaçon, il te suffit de trouver l'antidérivée de la fonction et de substituer certaines valeurs.
Évalue
\[\N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N, \N-mathrm{d}x \N]
en utilisant le théorème fondamental du calcul.
Réponse :
Commence par trouver l'antidérivée de \(x^2.\N-) Ceci peut être fait en utilisant la règle de la puissance, donc
\N- [\Nint x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{3}x^3+C.\N]
Ensuite, tu dois évaluer cette antidérivée aux deux limites d'intégration et les soustraire. Quelle que soit la valeur de \(C\) que tu choisis, elle s'annulera lors de la soustraction, il n'est donc pas nécessaire de l'inclure lorsque tu utilises le théorème fondamental du calcul. Cela signifie que l'intégrale est
\[ \begin{align} \int_0^5 x^2 \, \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{3}(5)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 \right) \N &= \frac{125}{3}. \n-{align} \]
Note que tu as obtenu la même réponse en utilisant une méthode plus simple !
Évaluer les intégrales définies à l'aide de formules géométriques
Jusqu'à présent, tu as utilisé les intégrales définies pour trouver la surface sous une courbe.
Soit \N(f(x)\Nune fonction non négative et intégrable sur l'intervalle \N([a,b].\NLa surface sous la courbe est donnée par son intégrale définie.
\[A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
Certaines courbes se rapportent parfaitement à des figures géométriques, tu peux donc faire l'inverse ! Tu peux utiliser les formules permettant de trouver l'aire des figures géométriques pour trouver la valeur des intégrales définies !
Évalue l'intégrale définie
\N[ \Nint_0^4 2x\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Dans ce cas, tu essaies de trouver l'aire située sous la fonction linéaire \( f(x)=2x.\N). Commence par regarder son graphique.
Fig. 3. Graphique de la fonction linéaire.
Note que l'aire située sous la fonction est un triangle de base 4 et de hauteur 8.
Fig. 4. L'aire située sous la fonction forme un triangle droit.
Tu peux donc utiliser la formule de l'aire d'un triangle pour trouver cette aire, soit
\[ \begin{align} A &= \frac{bh}{2} \N- &= \frac{4(8)}{2} \\ &= 16. \Nend{align} \]
Cela signifie que la valeur de l'intégrale définie est 16.
\N[ \Nint_0^4 2x \N,\Nmathrm{d}x = 16 \N]
C'était beaucoup plus facile que de trouver l'intégrale définie par sa définition !
Jette un coup d'œil à un autre exemple.
Évalue
\[\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x.\]
Réponse :
Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N- Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N) En laissant \N(y=f(x),\N) tu peux écrire une équation et annuler la racine carrée en élevant les deux côtés au carré, c'est-à-dire
\N[ \N- Début{align} y &= \Nsqrt{9-x^2} \NY^2 &=9-x^2, \NFin{align}\N].
d'où tu peux obtenir l'équation de la forme standard d'une circonférence,
\N- x^2+y^2=9.\N]
Remarque que cette fonction ne représente que la moitié supérieure du cercle, car un cercle entier ne serait pas une fonction !
Fig. 5. La fonction donnée dessine la partie supérieure d'un cercle.
La fonction qui donne la moitié inférieure du cercle serait \N( f(x)= -\sqrt{9-x^2}.\N)
Le rayon de ce cercle est de 3, tu peux donc trouver sa surface en utilisant la formule de la surface d'un cercle, c'est-à-dire
\[\begin{align} A_C &= \pi r^2 \\N &= \pi(3)^2 \N &= 9\pi, \Nend{align} \]
Mais comme la surface sous la courbe est la moitié de la surface du cercle, tu dois prendre la moitié de ce résultat. Par conséquent
\[\N-int_{-3}^3\sqrt{9-x^2} \N-, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{9}{2}\Npi. \N]
Évaluer les intégrales définies à partir d'un graphique
En général, les fonctions ont des intervalles où elles sont positives et des intervalles où elles sont négatives. Qu'arrive-t-il à l'aire d'une fonction si son graphique est en dessous de l'axe des x ? Tu peux toujours lui attribuer une valeur ! Cependant, les aires ne peuvent naturellement pas être négatives. Pour y remédier, une convention est établie en définissant l'aire signée .
L'aire signée d'un graphique est telle que :
- Si le graphique est au-dessus de l'axe des x, l'aire est définie comme positive.
- Si le graphique est en dessous de l'axe des x, l'aire est définie comme négative.
Une intégrale définie qui implique ces deux types d'intervalles est également associée à une aire ! Tu peux la trouver en soustrayant l'aire située sous l'axe des x de l'aire située au-dessus de l'axe des x.
Fig. 6. L'aire entre l'axe des x et une fonction avec des intervalles positifs et négatifs.
Tu peux utiliser la méthode de ton choix pour trouver l'aire de chaque portion du graphique.
Évaluation des intégrales définies - Principaux points à retenir
- L'intégrale définie (\int_a^b f(x)\c,\mathrm{d}x \c) d'une fonction intégrable et non négative donne l'aire entre \( f(x)\c) et l'axe des x.
- Si la fonction est négative, l'aire est définie négative.
- Tu peux évaluer une intégrale définie en prenant la limite d'une somme de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini.
- La partie évaluation du théorème fondamental du calcul est une façon plus pratique d'évaluer les intégrales définies.
- Si la surface située sous une courbe correspond à une figure géométrique, tu peux utiliser des formules géométriques pour évaluer l'intégrale définie.
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