Évaluation des intégrales définies

Tu as peut-être remarqué qu'une intégrale indéfinie a simplement le symbole de l'intégrale, \( \int_1^3,\N) et qu'après l'avoir évaluée, tu as toujours des variables et une constante d'intégration, par exemple[\int x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\N]Les intégrales définies, au contraire, ont des limites d'intégration, comme \( \int_1^3,\N) le résultat final est un nombre et il n'y a pas de constantes d'intégration, comme

\N[ \Nint_1^3 x^2 \Nmathrm{d}x = \Nfrac{26}{3}\N]

Évalue

\N[ \Nint_{0}^{5} x^2\N,\Nmathrm{d}x \N]

en utilisant la définition de l'intégrale définie.

Solution :

Dans ce cas, la fonction est \N( f(x)=x^2 \N) et les limites d'intégration sont \N( a=0 \N) et \N( b=5.\N) Sachant cela, tu peux trouver \N( \NDelta x \N) :

\[ \begin{align} \Delta x &= \frac{b-a}{N} \N- &= \Nfrac{5-0}{N} \N- \N- &= \Nfrac{5}{N}. \Nend{align} \]

Avec ceci, tu peux utiliser la définition de l'intégrale définie, donc

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \sum_{i=1}^{N}\left( x_i^* \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\n ;]

Tu peux utiliser n'importe quel point de chaque sous-intervalle pour évaluer la somme de Riemann. À des fins d'illustration, nous utiliserons une approximation par le point d'extrémité droite. Cela te permettra d'écrire

\[ \begin{align} x_i^* &= a+i\Delta x \\ &= i\frac{5}{N}, \end{align} \]

qui peut être replacée dans l'intégrale définie

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\]

Pour évaluer la limite ci-dessus, commence par réécrire l'expression pour la simplifier un peu :

\[\begin{align} \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x &= \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty} \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] \N- &= \Nlim_{N\Nflèche droite \Nflèche gauche} \left[ \left( \frac{5}{N}\right)^3 \sum_{i=1}^{N}i^2 \right]. \N- [Fin{align}\N]

Tu peux utiliser la formule

\[\sum_{i=1}^{N}i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\]

pour évaluer la somme, donc

\N[ \Nint_0^5 x^2 \N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \left(\frac{5}{N}\right)^3 \left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) \left]. \]

L'expression ci-dessus peut être réécrite en développant le produit, c'est-à-dire

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left( \frac{125}{3}+\frac{125}{2N}+\frac{125}{6N^2} \right). \]

Enfin, évalue la limite ci-dessus pour trouver

\N[ \Nint_0^5 x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{125}{3}.\N]

Évalue

\[\N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N, \N-mathrm{d}x \N]

en utilisant le théorème fondamental du calcul.

Réponse :

Commence par trouver l'antidérivée de \(x^2.\N-) Ceci peut être fait en utilisant la règle de la puissance, donc

\N- [\Nint x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{3}x^3+C.\N]

Ensuite, tu dois évaluer cette antidérivée aux deux limites d'intégration et les soustraire. Quelle que soit la valeur de \(C\) que tu choisis, elle s'annulera lors de la soustraction, il n'est donc pas nécessaire de l'inclure lorsque tu utilises le théorème fondamental du calcul. Cela signifie que l'intégrale est

\[ \begin{align} \int_0^5 x^2 \, \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{3}(5)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 \right) \N &= \frac{125}{3}. \n-{align} \]

Évalue l'intégrale définie

\N[ \Nint_0^4 2x\N,\Nmathrm{d}x.\N]

Réponse :

Dans ce cas, tu essaies de trouver l'aire située sous la fonction linéaire \( f(x)=2x.\N). Commence par regarder son graphique.

Fig. 3. Graphique de la fonction linéaire.

Note que l'aire située sous la fonction est un triangle de base 4 et de hauteur 8.

Fig. 4. L'aire située sous la fonction forme un triangle droit.

Tu peux donc utiliser la formule de l'aire d'un triangle pour trouver cette aire, soit

\[ \begin{align} A &= \frac{bh}{2} \N- &= \frac{4(8)}{2} \\ &= 16. \Nend{align} \]

Cela signifie que la valeur de l'intégrale définie est 16.

\N[ \Nint_0^4 2x \N,\Nmathrm{d}x = 16 \N]

C'était beaucoup plus facile que de trouver l'intégrale définie par sa définition !

Évalue

\[\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x.\]

Réponse :

Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N- Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N) En laissant \N(y=f(x),\N) tu peux écrire une équation et annuler la racine carrée en élevant les deux côtés au carré, c'est-à-dire

\N[ \N- Début{align} y &= \Nsqrt{9-x^2} \NY^2 &=9-x^2, \NFin{align}\N].

d'où tu peux obtenir l'équation de la forme standard d'une circonférence,

\N- x^2+y^2=9.\N]

Remarque que cette fonction ne représente que la moitié supérieure du cercle, car un cercle entier ne serait pas une fonction !

Fig. 5. La fonction donnée dessine la partie supérieure d'un cercle.

Le rayon de ce cercle est de 3, tu peux donc trouver sa surface en utilisant la formule de la surface d'un cercle, c'est-à-dire

\[\begin{align} A_C &= \pi r^2 \\N &= \pi(3)^2 \N &= 9\pi, \Nend{align} \]

Mais comme la surface sous la courbe est la moitié de la surface du cercle, tu dois prendre la moitié de ce résultat. Par conséquent

\[\N-int_{-3}^3\sqrt{9-x^2} \N-, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{9}{2}\Npi. \N]