Évaluation des intégrales définies

Tu as peut-être remarqué qu'une intégrale indéfinie a simplement le symbole de l'intégrale, \( \int_1^3,\N) et qu'après l'avoir évaluée, tu as toujours des variables et une constante d'intégration, par exemple[\int x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\N]Les intégrales définies, au contraire, ont des limites d'intégration, comme \( \int_1^3,\N) le résultat final est un nombre et il n'y a pas de constantes d'intégration, comme

\N[ \Nint_1^3 x^2 \Nmathrm{d}x = \Nfrac{26}{3}\N]

Évalue

\N[ \Nint_{0}^{5} x^2\N,\Nmathrm{d}x \N]

en utilisant la définition de l'intégrale définie.

Solution :

Dans ce cas, la fonction est \N( f(x)=x^2 \N) et les limites d'intégration sont \N( a=0 \N) et \N( b=5.\N) Sachant cela, tu peux trouver \N( \NDelta x \N) :

$$\text{Missing end{align}}$$

Avec ceci, tu peux utiliser la définition de l'intégrale définie, donc

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \sum_{i=1}^{N}\left( x_i^* \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\nbsp;\n ;]

Tu peux utiliser n'importe quel point de chaque sous-intervalle pour évaluer la somme de Riemann. À des fins d'illustration, nous utiliserons une approximation par le point d'extrémité droite. Cela te permettra d'écrire

$$\begin{array}{rl}{x}_i^{\ast }& =a+i\mathrm{\Delta }x\\ & =i\frac{5}{N},\end{array}$$

qui peut être replacée dans l'intégrale définie

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\]

Pour évaluer la limite ci-dessus, commence par réécrire l'expression pour la simplifier un peu :

\[\begin{align} \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x &= \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty} \left[ \sum_{i=1}^{N}\left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] \N- &= \Nlim_{N\Nflèche droite \Nflèche gauche} \left[ \left( \frac{5}{N}\right)^3 \sum_{i=1}^{N}i^2 \right]. \N- [Fin{align}\N]

Tu peux utiliser la formule

$$\sum _{i=1}^N{i}^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$$

pour évaluer la somme, donc

\N[ \Nint_0^5 x^2 \N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left[ \left(\frac{5}{N}\right)^3 \left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\right) \left]. \]

L'expression ci-dessus peut être réécrite en développant le produit, c'est-à-dire

\N[ \Nint_0^5 x^2\N,\Nmathrm{d}x = \Nlim_{N\Nrightarrow \Ninfty}]. \left( \frac{125}{3}+\frac{125}{2N}+\frac{125}{6N^2} \right). \]

Enfin, évalue la limite ci-dessus pour trouver

\N[ \Nint_0^5 x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{125}{3}.\N]

Évalue

\[\N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N-int_0^5 x^2 \N, \N-mathrm{d}x \N]

en utilisant le théorème fondamental du calcul.

Réponse :

Commence par trouver l'antidérivée de \(x^2.\N-) Ceci peut être fait en utilisant la règle de la puissance, donc

\N- [\Nint x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{3}x^3+C.\N]

Ensuite, tu dois évaluer cette antidérivée aux deux limites d'intégration et les soustraire. Quelle que soit la valeur de $C$ que tu choisis, elle s'annulera lors de la soustraction, il n'est donc pas nécessaire de l'inclure lorsque tu utilises le théorème fondamental du calcul. Cela signifie que l'intégrale est

$$\text{Missing end{align}}$$

Évalue l'intégrale définie

\N[ \Nint_0^4 2x\N,\Nmathrm{d}x.\N]

Réponse :

Dans ce cas, tu essaies de trouver l'aire située sous la fonction linéaire \( f(x)=2x.\N). Commence par regarder son graphique.

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Note que l'aire située sous la fonction est un triangle de base 4 et de hauteur 8.

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Tu peux donc utiliser la formule de l'aire d'un triangle pour trouver cette aire, soit

$$\text{Missing end{align}}$$

Cela signifie que la valeur de l'intégrale définie est 16.

\N[ \Nint_0^4 2x \N,\Nmathrm{d}x = 16 \N]

C'était beaucoup plus facile que de trouver l'intégrale définie par sa définition !

Évalue

$${\int }_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\mathrm{d}x.$$

Réponse :

Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N- Tu cherches l'aire sous la fonction \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\N) En laissant \N(y=f(x),\N) tu peux écrire une équation et annuler la racine carrée en élevant les deux côtés au carré, c'est-à-dire

\N[ \N- Début{align} y &= \Nsqrt{9-x^2} \NY^2 &=9-x^2, \NFin{align}\N].

d'où tu peux obtenir l'équation de la forme standard d'une circonférence,

\N- x^2+y^2=9.\N]

Remarque que cette fonction ne représente que la moitié supérieure du cercle, car un cercle entier ne serait pas une fonction !

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Le rayon de ce cercle est de 3, tu peux donc trouver sa surface en utilisant la formule de la surface d'un cercle, c'est-à-dire

$$\text{Missing end{align}}$$

Mais comme la surface sous la courbe est la moitié de la surface du cercle, tu dois prendre la moitié de ce résultat. Par conséquent

\[\N-int_{-3}^3\sqrt{9-x^2} \N-, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{9}{2}\Npi. \N]