Cependant, les équations différentielles séparables sont un type spécifique d'équations différentielles qui peuvent être résolues explicitement, ce qui les rend aussi spéciales que du pain tranché !
Signification des équations différentielles séparables
Commençons par définir ce qu'est exactement une équation différentielle séparable.
Une équation différentielle séparable du premier ordre est une équation qui peut être écrite sous la forme suivante
\[y'=f(x)g(y).\N-]
Séparable signifie que tu peux ou non séparer les termes \(x\) des termes \(y\). En général, ils peuvent être séparés en une fonction de \(x\) multipliée par une fonction de \(y\).
Identifie les équations du premier ordre suivantes comme séparables ou non séparables.
(a) \N(y'=(x^{2}+9)5y \N)
(b) \N- (y'=3x^{2}-4x \N)
(c) \N- \N- \N- \N(y') = x+5 \N- \N
(d) \N- (y'=xy+3x-2y-6 \N)
(e) \N(e^{y'} = x + y\N)
Réponse :
(a) Si tu laisses \N(f(x) = x^{2}+9 \N) et \N(g(y) = 5y \N), alors tu peux écrire \N(y' = f(x)g(y)\N), il s'agit donc d'une équation séparable.
(b) Celle-ci est déjà séparée, bien qu'il te faille un moment pour remarquer que tu peux laisser \(g(y) = 1\).
Il n'y a aucune raison pour que tu ne puisses pas laisser \(f(x)\) ou \(g(y)\) être des fonctions constantes !
(c) L'équation ne semble pas séparable, mais utilise les propriétés des logarithmes. Rappelle-toi que \N (\Nln(y') = x+5\N) signifie la même chose que
\N[ y' = e^{x+5}.\N]
Il s'agit donc d'une équation séparable.
(d) L'équation différentielle \(y'=xy+3x-2y-6 \) ne semble pas séparable à première vue, mais faisons un peu d'algèbre pour nous en assurer. Si tu factorises le côté droit, tu obtiens
\[ \begin{align} y' &= xy+3x-2y-6 \\ \\ &= x(y+3) - 2(y+3) \\ \\ &= (x-2)(y+3). \N-{align}\N- [\N-{align}}]
En fait, cette équation est donc séparable.
(e) Essayons d'utiliser les propriétés des logarithmes sur cet exemple. Si tu le fais, \ (e^{y'} = x + y\) devient
\N[ \Nln e^{y'} = \Nln (x+y), \N]
ou en d'autres termes
\N[ y' = \N (x+y) .\N]
Il n'y a aucun moyen d'écrire le côté droit de cette équation comme \(f(x)g(y)\) parce que tu as le terme \(x+y\) à l'intérieur du logarithme. Cette équation n'est donc pas séparable.
Équations différentielles séparables
Les équationsdifférentielles séparables peuvent être utilisées pour modéliser des situations dans diverses disciplines. L'une de ces applications est le mélange d'une solution dans un réservoir ou une cuve avec une autre substance, comme du sel. Une solution d'une certaine concentration entre dans un réservoir à un taux fixe. Le mélange dans le réservoir est bien agité. Ensuite, il sort de la cuve à un taux fixe. Le modèle de ce problème se traduit par une équation différentielle séparable.
Une application réelle d'un "problème de mélange" est l'injection d'un médicament dans la circulation sanguine. Dans ce cas, le médicament pénètre dans la circulation sanguine à un taux fixe. Le médicament se mélange à la circulation sanguine et circule dans le corps en direction du cœur. Une fois que le médicament atteint le cœur, celui-ci pompe le médicament dans la circulation sanguine vers le reste de ton corps à un taux fixe.
Applications des équations différentielles séparables
Comme nous l'avons mentionné au début de l'article, les problèmes de mélange sont une application courante des équations différentielles séparables. Les problèmes de mélange peuvent modéliser n'importe quoi, de la façon dont le mélange de divers produits chimiques et de gaz à effet de serre peut affecter l'atmosphère à la façon dont la bière est brassée.
Les équations différentielles séparables peuvent également être utilisées en économie. Nous pouvons utiliser ces équations pour mesurer les investissements et la façon dont les intérêts sont composés.
Laloi du refroidissement de Newton est l'une des utilisations les plus célèbres des équations séparables. Tu peux voir beaucoup d'autres façons d'utiliser les équations différentielles séparables dans l'article Application de la séparation des variables.
Résolution des équations différentielles séparables
Maintenant que tu sais ce qu'est une équation différentielle séparable et à quoi elle sert, voyons comment la résoudre. Supposons que tu aies une équation différentielle séparable qui ressemble à ceci :
\[y'=f(x)g(y).\N-]
Il y a deux cas à considérer.
Cas 1 : Si \(g(y) = 0\) pour une certaine valeur de \(y).
Suppose que \( g(y) = 0\). Tu as alors \N(y' = 0\N).
Les fonctions qui te donnent \N(0\N) lorsque tu les différencies sont des fonctions constantes, donc \N (g(y) = 0\N) correspond à des solutions constantes de l'équation différentielle séparable.
En fait, si \(y_1, y_2, \dots , y_n\) sont toutes les racines de l'équation \(g(y) = 0\), alors les solutions constantes sont données par \(y = y_1\), \(y= y_2\), \(\dots\), \(y = y_n\).
C'est toujours une bonne idée de chercher d'abord des solutions constantes.
Prenons un exemple rapide.
Pour l'équation différentielle \(y' = (x-2)(y+3) \), trouve toutes les solutions constantes.
Réponse:
Les solutions constantes se produisent lorsque \(g(y) = 0\). Pour ce problème, \(g(y) = y + 3\), et cela est égal à zéro lorsque \(y = -3\). Il existe donc une solution constante, et c'est \N(y=-3\N).
Cas 2 : Pour n'importe quelle valeur lorsque \ (g(y) \ne 0\).
Puisque \(g( y) \ne 0\), tu peux diviser par cette valeur, ce qui te donne l'équation suivante
\N[ \Nfrac{1}{g(y)}y' = f(x).\N]
Si tu laisses \N(h(y) = 1/g(y)\N), tu peux réécrire cette équation comme suit
\N[ h(y) y' = f(x).\N]
Intégrons maintenant les deux côtés par rapport à \(x\), ce qui nous donne
\[ \Nint h(y) y'(x) \N,\Nmathrm{d}x = \Nint f(x)\N,\Nmathrm{d}x ,\N]
où il est explicite que \(y\) est une fonction de \(x\). Cela te conduit à la substitution de \(u\)
\[ \begin{align} &u = y(x) \\ &\mathrm{d}u = y'(x) \mathrm{d}x . \Nend{align} \]
L'intégrale devient donc
\[ \Nint h(u) \N,\Nmathrm{d}u = \Nint f(x)\N,\Nmathrm{d}x ,\N]
et à ce stade, tu peux, je l'espère, intégrer les deux côtés et faire une substitution inverse pour trouver la réponse !
Examinons quelques exemples pour voir comment cela se passe.
Exemples d'équations différentielles séparables
Résous l'équation différentielle
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}}{\cos y}.\]
Réponse:
Vérifie toujours d'abord que l'équation est séparable !
Pour t'assurer que l'équation différentielle est séparable, tu dois l'écrire sous la forme \N(y'=f(x)g(y)\N).
Si tu laisses \(f(x)=3x^{2}\) et \(g(y)=1/ \cos y\), tu peux voir que l'équation est en fait séparable .
C'est toujours une bonne idée de chercher des endroits où \(g(y) = 0\) car cela correspond à des solutions constantes. Dans ce cas, \(g(y)\) ne peut jamais être nul, bien qu'il puisse être indéfini. Il n'y aura donc pas de solutions constantes, mais il peut y avoir des endroits où la solution de l'équation différentielle n'existe pas.
Tu dois ensuite établir l'intégrale. Puisque
\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{3x^{2}}{\cos y},\]
ou
\[\cos y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =3x^{2},\]
tu pourrais être tenté de "multiplier par \(\mathrm{d}x \)" et ensuite d'intégrer. En fait, tu ne peux pas faire ça parce que \(\mathrm{d}y/ \mathrm{d}x\) n 'est pas vraiment une fraction. Mais ce qui est vraiment génial, c'est que tu peux faire semblant de le faire, et cela rend l'intégrale
\N[ \Nint \Ncos y \N,\Nmathrm{d}y = \Nint 3x^2 \N,\Nmathrm{d}x ,\N]
ce qui est exactement ce que tu aurais obtenu en faisant la substitution \(u\) !
En intégrant ensuite, tu obtiens
\N[ \Nsin y = x^3 + C.\N]
Rappelle-toi qu'il s'agit d'une solution implicite, puisque tu n'as pas \N(y\N) en soi. Pour obtenir une solution explicite, tu peux résoudre \N(y\N) et voir que
\N[ y(x) = \Narcsin(x^3 + C).\N]
Qu'en est-il d'un intervalle d'existence ? Au début du problème, tu as remarqué que lorsque \N(\Ncos y = 0\N) il y aurait des problèmes, et tu peux voir à partir de la forme explicite de la solution qu'il y a un arcsinus dans celle-ci, qui est seulement défini sur l'intervalle.
\N[ \Ngauche[ -\Nfrac{\pi}{2}, \Nfrac{\pi}{2} \Ndroite].\N]
Voilà donc l'intervalle maximal d'existence de la solution de l'équation différentielle.
Jetons un coup d'œil à un autre exemple.
Réponse :
Tu as déjà vérifié dans les exemples précédents qu'il s'agit d'une équation séparable, et tu as trouvé qu'il existe une solution constante \(y = -3\). Trouvons maintenant les autres solutions.
Mise en place de l'intégrale,
\[ \Nint \Nfrac{1}{y+3}\N, \Nmathrm{d}y = \Nint x-2 \N,\Nmathrm{d}x .\N]
En intégrant, tu obtiens
\[ \ln|y+3| = \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \]
comme solution implicite. Avant de trouver une solution explicite, remarque que tu as besoin de \N(y \ne -3\) pour que cette solution soit valide, car sinon tu essaierais de prendre le logarithme de zéro !
Continue à chercher la solution explicite, en utilisant les propriétés des logarithmes,
\[ |y+3| = \exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \right) \]
où \( \exp\) est juste une notation pratique pour la fonction exponentielle.
Laissons maintenant \(A = e^C\) puisqu'il s'agit simplement d'une autre constante. Tu peux alors écrire
\[ |y+3| = A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right),\]
mais pour qu'il s'agisse d'une véritable solution explicite, tu dois finir de résoudre \N(y\N). En fait, cela correspond à deux solutions différentes,
\N[ y =-3+ A\Nexp \Ngauche( \Nfrac{1}{2}x^2 - 2x \Ndroite),\N]
et
\[ y =-3- A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \Nright).\N]
Tu peux les combiner en un seul en utilisant le signe \N(\Npm\N) pour indiquer qu'il peut être positif ou négatif, pour obtenir
\N[ y =-3 \Npm A\Nexp \Ngauche( \frac{1}{2}x^2 - 2x \Ndroite).\N]
La solution explicite te donne-t-elle aussi la solution constante, ou faut-il l'écrire séparément ? Remarque que si \(A=0\), tu obtiens en fait \(y=-3\), donc la solution explicite couvre également la solution constante. Cela signifie que la solution de l'équation différentielle est
\N[ y =-3 \Npm A\Nexp \Nà gauche( \frac{1}{2}x^2 - 2x \Nà droite).\N]
Équations séparables - Points clés
- Une équation séparable est une équation qui peut être écrite sous la forme \(y'=f(x)g(y)\).
- Une équation différentielle séparable peut être séparée en une fonction de \(x\N) multipliée par une fonction de \N(y\N).
- La méthode de résolution des équations différentielles séparables consiste à déplacer toutes les variables \(x) et \(y) de leur côté respectif de l'équation et à les intégrer.
- Les équations différentielles séparables ont des applications dans la finance, les "problèmes de mélange", et sont utilisées dans la loi du refroidissement de Newton.
- N'oublie jamais de vérifier les solutions constantes et l'intervalle d'existence des solutions des équations différentielles séparables.
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