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Équation différentielle homogène ou non homogène
En lisant sur les équations différentielles, tu sais déjà qu'il y a plusieurs façons de les classer. L'une d'entre elles est l'équation différentielle homogène et l'équation différentielle non homogène.
Les équations différentielleshomogènes peuvent être écrites avec toutes les fonctions impliquant des variables dépendantes d'un côté de l'équation, et zéro de l'autre côté. Les équations différentielles non homogènes ont une fonction de la variable indépendante au lieu de zéro de l'autre côté de l'équation, et des fonctions des variables dépendantes de l'autre côté.
Par exemple, l'équation différentielle
\N[ y'' + 2y' - 3xy = 0\N]
est une équation différentielle homogène. Elle peut être écrite avec toutes les fonctions impliquant la variable dépendante d'un côté de l'équation, et zéro de l'autre côté.
En revanche, l'équation différentielle
\[ y'' + 2y' - 3xy = \sin x\]
est une équation différentielle non homogène. Elle comporte une fonction de la variable indépendante, \(x\), d'un côté de l'équation au lieu du zéro de l'exemple précédent.
Il est important de noter que le fait qu'une équation différentielle soit homogène ou non homogène n'a rien à voir avec l'ordre de l'équation ou le fait qu'elle soit linéaire ou non !
Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire non homogène ?
Maintenant que tu sais qu'une équation différentielle peut être à la fois linéaire et non homogène , n'a pas besoin d'être à la fois linéaire et non homogène, examinons le cas où c'est le cas.
Rappelle-toi les propriétés d'une équation différentielle linéaire :
chaque variable dépendante apparaît de façon linéaire ;
la variable dépendante et/ou ses dérivés sont tous élevés à la puissance de \(1\) ;
aucune des variables dépendantes et/ou de ses dérivés n'est multipliée ensemble ;
lavariable dépendante et/ou ses dérivés ne peuvent pas faire partie d'une fonction spéciale, comme une fonction trigonométrique ou une fonction exponentielle ; et
la variable indépendante peut être non linéaire (élevée à une puissance, faisant partie d'une fonction spéciale, etc.)
Voici quelques exemples d'équations différentielles linéaires :
\( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\);
\( t^2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} +t\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+4y=e^t\); and
\( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\left(\cos{t}\right)y=t^2\).
Parmi les équations énumérées ci-dessus, seule
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\]
est une équation homogène. Les deux autres sont non homogènes. Ainsi, bien qu'une équation différentielle puisse être à la fois linéaire et non homogène, elle n'est pas obligée de l'être.
La façon dont tu résous une équation linéaire non homogène varie selon qu'elle est ou non du premier ordre. Lis la suite pour connaître les techniques de résolution des équations différentielles non homogènes du premier ordre.
Équations différentielles linéaires non homogènes à coefficients constants
Commençons par le cas des coefficients constants. Une équation différentielle non homogène linéaire du premier ordre à coefficients constants a la forme suivante
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=f(x),\]
bien que cela soit plus couramment écrit sous la forme
\N[y'+ay=f(x).\N]
L'idée est d'utiliser un facteur d'intégration pour résoudre ce type d'équation différentielle séparable. Les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants sont particulièrement intéressantes car le facteur d'intégration pour ce type d'équations est le suivant
\N[ h(x) = e^{ax}.\N]
Pour un rappel sur la façon de trouver le facteur d'intégration, voir l'article Équations séparables.
Tu multiplieras alors les deux côtés de l'équation par le facteur d'intégration, et tu intégreras, ce qui te donnera
\[ \Nint (e^{ax}y)'\N, \Nmathrm{d}x = \Nint e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x ,\N]
donc
\N[ e^{ax}y(x) = \int e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x ,\N]
ou
\N-[y(x) = e^{-ax} \Nint e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x .\N]
Ainsi, la possibilité de trouver une solution explicite à ce type d'équation dépend vraiment de ta capacité à intégrer \N(e^{ax} f(x) \N). Prenons un exemple rapide.
Si possible, trouve une solution explicite à l'équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre à coefficients constants
\N[ y' - 5y = 3x.\N]
Solution :
Ici, \(a=-5\) et \(f(x) = 3x\). La solution implicite de l'équation est donc
\N[ y(x) = e^{5x}\Nint 3xe^{-5x} \N, \Nmathrm{d}x.\N]
Dans ce cas, tu peux effectuer l'intégration, donc la solution explicite est
\[ \begin{align} y(x) &= e^{5x}\int 3xe^{-5x} \N- \N- \N-Mathrm{d}x \N- &= 3e^{5x} \Ngauche[ e^{-5x}\Ngauche(-\frac{x}{5} + \frac{1}{25} \Ndroite) + C \Ndroite] \Ngauche &= -\frac{3x}{5} + \frac{3}{25} + 3Ce^{5x} , \end{align}\]
Tu peux utiliser l'intégration par parties pour obtenir le résultat.
Remarque que la solution contient une constante d'intégration ! C'est parce que la solution d'une équation différentielle lorsque tu n'as pas de valeur initiale est une famille de fonctions, et non une fonction unique.
Pour plus d'informations sur les solutions aux problèmes de valeur initiale, voir Solutions particulières aux équations différentielles.
Examinons maintenant une équation non homogène du premier ordre plus générale.
Résolution d'une équation différentielle non homogène du premier ordre
Une équation différentielle non homogène du premier ordre, linéaire et générale, à coefficients constants, se présente sous la forme suivante
\N-[y'+a(x)y=f(x).\N]\N-[y'+a(x)y=f(x).\N]
Ce type d'équation est toujours résolu à l'aide d'un facteur d'intégration. Ici, le facteur d'intégration est
\N[ h(x) = e^{\Nint a(x)\N,\Nmathrm{d} x},\N]
et la solution de l'équation différentielle est
\N- y(x) = e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} f(x) \N,\Nmathrm{d}x .\N- y(x) = e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x \N]
Cela signifie que la recherche d'une solution explicite dépend toujours de la capacité à trouver une intégrale de forme fermée !
Pour un rappel sur les intégrales de forme fermée, voir Intégrales indéfinies et formes fermées.
Voyons un exemple.
Si possible, trouve une solution explicite pour l'équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre
\N[ y' + \Nfrac{y}{x} = x^2.\N]
Solution :
Pour ce problème, le facteur d'intégration est
\[ \begin{align} h(x) &= e^{\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d} x} \\ &= e^{\ln x} \\ &= x. \N- [end{align}\N]
La solution implicite est donc donnée par
\N-[\N-] y(x) &= e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} f(x) \N, \Nmathrm{d}x \N & =\Nfrac{1}{x} \Nint x (x^2) \N, \Nmathrm{d}x. \N-END{align} \]
Ceci peut être intégré, la solution explicite est donc
\[ \begin{align} y(x) &= \frac{1}{x} \Nint x^3 \N, \Nmathrm{d}x \N &= \Nfrac{1}{x} \n- gauche( \frac{1}{4}x^4 + C \n- droite) \n- &= \frac{C}{x} + \frac{x^3}{4}. \[end{align}\]
Remarque que l'équation différentielle originale n'est pas bien définie lorsque \(x=0\), et que la solution explicite ne l'est pas non plus.
Il est toujours bon d'avoir plus d'exemples !
Exemples d'équations linéaires non homogènes
Jetons un coup d'œil à d'autres exemples.
Résous l'équation différentielle linéaire non homogène
\N[ xy'-2y = \Nfrac{1}{x}.\N]
Y a-t-il des restrictions sur le domaine de la solution ?
Solution :
La première étape consiste à mettre l'équation sous forme standard en divisant les deux côtés de l'équation par \(x\), ce qui te donne
\[y' - \frac{2}{x}y = \frac{1}{x^2}.\]
Un facteur d'intégration est alors
\[ \begin{align} h(x) &= e^{\int - \frac{2}{x}\,\mathrm{d} x} \\ &= e^{-2\ln x} \\ &= \frac{1}{x^2}. \N- [end{align}\N]
Cela signifie que la solution implicite est
\[\N- y(x) &= x^2 \Nint \Nfrac{1}{x^2}]. \Nà gauche(\Nfrac{1}{x^2}\Nà droite) \N, \Nmathrm{d}x \N &=x^2\Nint \Nfrac{1}{x^4} \N- \NMathrm{d}x, \Nend{align} \]
et la solution explicite est
\[\N- y(x) &= x^2\Nint \Nfrac{1}{x^4} \N- y(x) &= x^2\N- y(x) &= y(x) &= x^4} \, \mathrm{d}x \\ &= x^2\left( -\frac{1}{3x^3} + C\right) \\ &= -\frac{1}{3x} + Cx^2.\Nend{align} \]
Remarquez que cette solution n'est pas définie à \(x=0\). Cela signifie qu'il existe deux domaines possibles pour la solution, soit \N((-\infty, 0)\Nsoit \N((0, \infty )\Nsoit \N((0, \infty )\Nsoit \N). Sans conditions initiales, tu ne peux pas savoir quel est le domaine souhaité, donc les deux sont listés comme domaines possibles.
Pour un rappel sur la forme standard, voir Solutions aux équations différentielles.
Voyons un autre exemple.
Résous l'équation différentielle linéaire non homogène
\N[ y' + y\Ntan x =1.\N]
Y a-t-il des restrictions sur le domaine de la solution ?
Solution :
Remarque que cette équation n'est pas bien définie lorsque \(\cos x = 0\), tu peux donc t'attendre à ce que la solution ait des restrictions sur le domaine. Cette équation différentielle est déjà sous forme standard et la solution est donnée par
\N-[\Nbegin{align} y(x) &= e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} f(x) \N,\Nmathrm{d}x \N- &= e^{-\Nint \tan x\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\Nint \tan x\N,\Nmathrm{d} x} (1) \Nmathrm{d}x \N &= e^{\Nln|\cos x|} \int e^{-\ln|\cos x|} \, \mathrm{d}x \\ &= |\cos x| \int |\sec x| \, \mathrm{d}x \\ &= |\cos x| \left( \frac{ \sec x \ln|\tan x + \sec x|}{|\sec x| } + C\right). \N- [end{align}\N]
Rien qu'en regardant la solution, tu peux voir qu'il y aura beaucoup de restrictions sur le domaine de la solution ! En fait, selon les conditions initiales, il se peut qu'il n'y ait pas de solution du tout.
Équation différentielle non homogène - Principaux enseignements
- Les équations différentielles homogènes peuvent être écrites avec toutes les fonctions impliquant des variables dépendantes d'un côté de l'équation, et zéro de l'autre côté.
- Les équations différentielles non homogènes ont une fonction de la variable indépendante au lieu de zéro de l'autre côté de l'équation, et des fonctions des variables dépendantes de l'autre côté.
- L'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants \N(y'+ay=f(x) \N) a pour solution\N[y(x) = e^{-ax} \Nint e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x .\N].
- L'équation différentielle linéaire générale du premier ordre \N(y'+a(x)y=f(x) \N a pour solution \N[y(x) = e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} f(x) \N, \Nmathrm{d}x .\N].
- La possibilité de trouver une solution explicite à une équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre dépend du fait que l'intégrale \( \int e^{\int a(x)\,\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x \) possède ou non une forme fermée.
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