Équation différentielle non homogène

Équation différentielle homogène ou non homogène

En lisant sur les équations différentielles, tu sais déjà qu'il y a plusieurs façons de les classer. L'une d'entre elles est l'équation différentielle homogène et l'équation différentielle non homogène.

Par exemple, l'équation différentielle

\N[ y'' + 2y' - 3xy = 0\N]

est une équation différentielle homogène. Elle peut être écrite avec toutes les fonctions impliquant la variable dépendante d'un côté de l'équation, et zéro de l'autre côté.

En revanche, l'équation différentielle

\[ y'' + 2y' - 3xy = \sin x\]

est une équation différentielle non homogène. Elle comporte une fonction de la variable indépendante, \(x\), d'un côté de l'équation au lieu du zéro de l'exemple précédent.

Il est important de noter que le fait qu'une équation différentielle soit homogène ou non homogène n'a rien à voir avec l'ordre de l'équation ou le fait qu'elle soit linéaire ou non !

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire non homogène ?

Maintenant que tu sais qu'une équation différentielle peut être à la fois linéaire et non homogène , n'a pas besoin d'être à la fois linéaire et non homogène, examinons le cas où c'est le cas.

Rappelle-toi les propriétés d'une équation différentielle linéaire :

• chaque variable dépendante apparaît de façon linéaire ;

• la variable dépendante et/ou ses dérivés sont tous élevés à la puissance de \(1\) ;

• aucune des variables dépendantes et/ou de ses dérivés n'est multipliée ensemble ;

• lavariable dépendante et/ou ses dérivés ne peuvent pas faire partie d'une fonction spéciale, comme une fonction trigonométrique ou une fonction exponentielle ; et

• la variable indépendante peut être non linéaire (élevée à une puissance, faisant partie d'une fonction spéciale, etc.)

Voici quelques exemples d'équations différentielles linéaires :

• \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\);

• \( t^2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} +t\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+4y=e^t\); and

• \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\left(\cos{t}\right)y=t^2\).

Parmi les équations énumérées ci-dessus, seule

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\]

est une équation homogène. Les deux autres sont non homogènes. Ainsi, bien qu'une équation différentielle puisse être à la fois linéaire et non homogène, elle n'est pas obligée de l'être.

La façon dont tu résous une équation linéaire non homogène varie selon qu'elle est ou non du premier ordre. Lis la suite pour connaître les techniques de résolution des équations différentielles non homogènes du premier ordre.

Équations différentielles linéaires non homogènes à coefficients constants

Commençons par le cas des coefficients constants. Une équation différentielle non homogène linéaire du premier ordre à coefficients constants a la forme suivante

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=f(x),\]

bien que cela soit plus couramment écrit sous la forme

\N[y'+ay=f(x).\N]

L'idée est d'utiliser un facteur d'intégration pour résoudre ce type d'équation différentielle séparable. Les équations linéaires du premier ordre à coefficients constants sont particulièrement intéressantes car le facteur d'intégration pour ce type d'équations est le suivant

\N[ h(x) = e^{ax}.\N]

Tu multiplieras alors les deux côtés de l'équation par le facteur d'intégration, et tu intégreras, ce qui te donnera

\[ \Nint (e^{ax}y)'\N, \Nmathrm{d}x = \Nint e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x ,\N]

donc

\N[ e^{ax}y(x) = \int e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x ,\N]

ou

\N-[y(x) = e^{-ax} \Nint e^{ax} f(x) \N, \Nmathrm{d}x .\N]

Ainsi, la possibilité de trouver une solution explicite à ce type d'équation dépend vraiment de ta capacité à intégrer \N(e^{ax} f(x) \N). Prenons un exemple rapide.

Examinons maintenant une équation non homogène du premier ordre plus générale.

Résolution d'une équation différentielle non homogène du premier ordre

Une équation différentielle non homogène du premier ordre, linéaire et générale, à coefficients constants, se présente sous la forme suivante

\N-[y'+a(x)y=f(x).\N]\N-[y'+a(x)y=f(x).\N]

Ce type d'équation est toujours résolu à l'aide d'un facteur d'intégration. Ici, le facteur d'intégration est

\N[ h(x) = e^{\Nint a(x)\N,\Nmathrm{d} x},\N]

et la solution de l'équation différentielle est

\N- y(x) = e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} \Nint e^{\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x} f(x) \N,\Nmathrm{d}x .\N- y(x) = e^{-\int a(x)\N,\Nmathrm{d} x \N]

Cela signifie que la recherche d'une solution explicite dépend toujours de la capacité à trouver une intégrale de forme fermée !

Voyons un exemple.

Il est toujours bon d'avoir plus d'exemples !

Exemples d'équations linéaires non homogènes

Jetons un coup d'œil à d'autres exemples.

Voyons un autre exemple.