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Imagine que tu ailles à l'école avec 1 000 autres élèves. Au début de la journée scolaire, un élève lance une rumeur. La rumeur se répand comme une traînée de poudre dans toute l'école. À la fin de la journée, chacun de tes camarades a entendu la rumeur.
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Équipe enseignants Équation différentielle logistique
La vitesse à laquelle cette rumeur se propage peut être modélisée par une croissance logistique ! Au début, la rumeur se propage lentement car seules quelques personnes l'ont entendue. Cependant, plus il y a d'élèves qui entendent la rumeur, plus la vitesse à laquelle la rumeur se propage augmente. Lorsque le nombre d'élèves qui connaissent la rumeur commence à atteindre la population totale d'élèves de \(1 000\), la vitesse à laquelle la rumeur se propage diminue car il reste moins d'élèves à informer. Une fois que tous les élèves de \(1 000\) ont entendu la rumeur, celle-ci ne peut plus se propager. Ce sont les éléments de basea> de l'équation différentielle logistique !
L'équation différentielle logistique est utilisée pour modéliser la croissance d'une population qui est proportionnelle à sa taille et considère qu'il existe un nombre limité de ressources nécessaires à la survie. Le modèle de croissance différentielle logistique décrit une situation qui cessera de croître une fois qu'elle aura atteint une capacité de charge. Essentiellement, la population ne peut pas croître au-delà d'une certaine taille car il n'y a pas assez de ressources nécessaires à la survie pour soutenir la population.
Pour une constante de proportionnalité \(k\), une taille de population \(P\), et une certaine capacité de charge \(M\), l'équation différentielle logistique est la suivante
\[\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)\]
et mesure la croissance d'une population au fil du temps.
Le graphique de l'équation logistique est illustré ci-dessous.
Fig. 1. Graphique d'une équation logistique.
Il y a un point au milieu du graphique où le graphique change de concavité. C'est à ce moment-là que le taux de croissance de la population commence à ralentir. Au début, le taux de croissance du modèle de croissance logistique est presque identique à celui du modèle de croissance exponentielle. Cependant, au fur et à mesure que le temps passe, le taux de croissance commence à diminuer. En d'autres termes, la population croît de plus en plus lentement au fur et à mesure que le temps passe, jusqu'à ce qu'elle atteigne sa capacité de charge \(M\). Remarque que le graphique ne dépasse pas la capacité de charge.
Toutes les solutions de l'équation différentielle logistique sont de la forme suivante
\[P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}\]
où \(A\) est une constante qui dépend de la condition initiale.
Pour la dérivation de la solution de l'équation différentielle logistique, voir la plongée en profondeur ci-dessous.
Pour résoudre l'équation différentielle logistique, nous allons l'intégrer avec la séparation des variables.
\[\int \frac{dP}{P(1- \frac{P}{M})}=\int k dt\]
Commençons par le côté gauche. Tout d'abord, nous allons simplement réécrire la fraction.
\[\int \frac{M}{P(M-P)}dP=\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}\right)dP\]
En reprenant l'équation d'origine
\[\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}\right)dP=\int k dt\]
\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{M-P}= \int kdt\]
\N[ln|P| - ln|M-P|=kt+C\N]
\[ln\left|\frac{P}{M-P}\right|=kt+C\]
\[\frac{P}{M-P}=e^{kt+C}\]
\[\frac{P}{M-P}=Ae^{kt}\]
\[P=\frac{MAe^{kt} }{1+Ae^{kt}}\]
\[P=\frac{M}{\frac{1+Ae^{kt} }{Ae^{kt}}}\]
\[P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}\]
Avec une connaissance de base des limites, nous pouvons voir que quelle que soit la constante \(A\), \(\lim_{t \à \infty}) P(t)=M\) tant que \(M\) et \(k\) sont positifs. En d'autres termes, tant que la capacité de charge et la constante de proportionnalité sont positives, quelle que soit la taille de la population à \(t=0\), la population atteindra la capacité de charge au fil du temps. Ainsi, la capacité de charge \(M\) peut être considérée comme une valeur d'équilibre pour le modèle logistique.
Trouve la solution du problème de la valeur initiale \(\frac{dP}{dt}=0.08P(1- \frac{P}{1000})\) où \(P(0)=200\). Utilise la solution pour trouver la taille de la population à \(t=20\) et \(t=100\).
Comme nous connaissons déjà la solution générale d'une équation différentielle logistique, il nous suffit d'extraire les informations pertinentes de l'équation différentielle et de les insérer dans la solution.
En nous référant à l'équation différentielle logistique générale, nous pouvons voir que la constante de proportionnalité \(k\) est égale à 0,08 et que la capacité de charge \(M\) est égale à 1000. Insérons ces valeurs dans la solution générale de l'équation différentielle logistique.
\[P(t)=\frac{1000}{1+Ae^{-0.08t}}\]
Il ne nous manque plus que la constante \(A\). Heureusement, nous pouvons utiliser la valeur initiale du problème pour résoudre \(A\) !
\[P(0)=\frac{1000}{1+Ae^{-0.08(0)}}\]
\[200=\frac{1000}{1+Ae^{0}}\]
\[200+200A=1000\]
\[200+200A=1000\]
\[A=4\]
Nous avons donc une solution à \(\frac{dP}{dt}\) :
\[P(t)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08t}}\]
Nous pouvons utiliser cette solution pour trouver la taille de la population à \(t=20\) et \(t=100\) en la branchant, en la résolvant et en l'arrondissant au nombre entier le plus proche.
\[P(20)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08(20)}}\]
\N- [P(20)\Napprox 553\N]
\[P(100)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08(100)}}\]
\[P(100)=999\]
Une population \(P\) a un taux de changement de \(\frac{dP}{dt}=0.3P(5000-P)\). Quand la taille de la population augmente-t-elle à un rythme croissant ? Quand la taille de la population augmente-t-elle à un rythme décroissant ?
La taille de la population augmente lorsque \(\frac{dP}{dt}>0\). Pour vérifier quand la taille de la population augmente à un rythme croissant, nous devons rechercher quand \(\frac{d^{2}P}{dt^{2}}>0\). Trouvons donc le moment où les dérivées première et seconde sont supérieures à 0.
Tout d'abord, nous allons fixer la dérivée première à 0.
\[\frac{dP}{dt}=0.3P(5000-P)=0\]
\N- [1500P-0.3P^{2}=0\N]
\N- [P(1500-0.3P)=0\N]
\N- [P=0 ; ou ; P=5000]
Lorsque \(0 \le P < 5000\), \(\frac{dP}{dt}>0\). Donc, \N(P\N) augmente entre 0 et 5000.
Maintenant, nous allons trouver la dérivée seconde et la fixer à 0.
\[\frac{d^{2}P}{dt^{2}}=1500-0.6P\]
\[\frac{d^{2}P}{dt^{2}}=1500-0.6P=0\]
\[1500-0.6P=0\]
\[P=2500\]
Lorsque \(P<2500\), \(\frac{d^{2}P}{dt^{2}}>0\). La taille de la population augmente donc à un rythme croissant lorsque la population est comprise entre 0 et 2500.
Lorsque \(P>2500\), \(\frac{d^{2}P}{dt^{2}}<0\). La taille de la population augmente donc à un rythme décroissant lorsque la population est comprise entre 2 500 et 5 000 habitants.
Si l'on se réfère au graphique de l'équation logistique illustré au début de l'article, le graphique change de concavité lorsque la population atteint 2 500 habitants. Essentiellement, lorsque la population atteint 2 500 personnes, le taux de croissance de la population ralentit.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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