Discontinuité amovible

La fonction \(f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}\) a-t-elle une discontinuité amovible à \(x=3\) ?

Réponse :

Tout d'abord, remarque que la fonction n'est pas définie à \(x=3\), donc elle n'est pas continue à cet endroit. Si la fonction est continue à \(x=3\), alors elle n'a certainement pas de discontinuité amovible à cet endroit ! Tu dois maintenant vérifier la limite :

\[lim_{x \rencontre 3} f(x)\r].

Puisque la limite de la fonction existe, la discontinuité à \(x=3\) est une discontinuité supprimable. La représentation graphique de la fonction donne : Fig, 1 :

Fig. 2. Exemple d'une fonction avec une discontinuité amovible à \(x = 3\).

Tu peux donc voir qu'il y a un trou dans le graphique.

En regardant le graphique de la fonction définie par morceaux ci-dessous, y a-t-il un point de discontinuité amovible ou non amovible à \(x=0\) ? S'il est inamovible, s'agit-il d'une discontinuité infinie ?

Réponse :

En regardant le graphique, tu peux voir que

\[lim_{x \rightarrow 0^-}f(x)=3\]

et que

\[lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=\infty\]

ce qui signifie que la fonction n'est pas continue à \N(x=0\N). En fait, elle a une asymptote verticale à \N(x=0\N). Comme ces deux limites ne sont pas le même nombre, la fonction a une discontinuité inamovible à \(x=0\). Puisque l'une de ces limites est infinie, tu sais que la fonction a une discontinuité infinie à \(x=0\).

Quel type de discontinuité, s'il y en a une, la fonction du graphique présente-t-elle à \(p\) ?

Réponse :

Tu peux voir en regardant le graphique que la fonction n'est même pas définie à \(p\N). Cependant, la limite de gauche à \N(p\N) et la limite de droite à \N(p\N) sont les mêmes, donc la fonction a un point de discontinuité amovible à \N(p\N). Intuitivement, elle a une discontinuité amovible parce que si tu remplissais simplement le trou dans le graphique, la fonction serait continue à \N(p\N)}puis, en d'autres termes, en supprimant la discontinuité à \N(p\N)}pour que la fonction soit continue. En d'autres termes, pour supprimer la discontinuité, il suffit de changer un seul point du graphique.

Quel type de discontinuité, s'il y en a une, la fonction du graphique présente-t-elle à \(p\) ?

Contrairement à l'exemple précédent, tu peux voir en regardant le graphique que la fonction est définie à \(p\). Cependant, la limite de gauche à \N(p\N) et la limite de droite à \N(p\N) sont les mêmes, donc la fonction a un point de discontinuité amovible à \N(p\N). Intuitivement, elle a une discontinuité amovible parce que si tu modifiais simplement la fonction pour qu'elle ne remplisse pas le trou, elle serait continue à \N(p\N).

En regardant le graphique de la fonction définie par morceaux ci-dessous, est-ce qu'il présente une discontinuité amovible, inamovible, ou aucune des deux ?

Réponse :

Cette fonction n'est clairement pas continue en \N(2\N) parce que la limite de gauche en \N(2\N) n'est pas la même que la limite de droite en \N(2\N). En fait

\N-[lim_{x \Ndroite 2^-}f(x)=4\N]

et

\N[lim_{x \Nrightarrow 2^+}f(x)=1\N] .

Nous savons donc que

• la limite de gauche à \N(2\N) et la limite de droite à \N(2\N) n'ont pas la même valeur
• la limite de gauche n'est pas infinie, et la limite de droite n'est pas non plus infinie à \(2\),

Par conséquent, cette fonction a une discontinuité inamovible à \(2\), mais ce n'est pas une discontinuité infinie.

En regardant le graphique ci-dessous, la fonction a-t-elle un point de discontinuité amovible ou non amovible à \(x=2\) ?

Réponse :

Cette fonction a une asymptote verticale à \(x=2\). En effet

\[lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)= -\infty\]

et

\N-[lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)= \Ninfty\N].

Cette fonction a donc un point de discontinuité inamovible. On l'appelle discontinuité infinie car l'une des limites est infinie.