Différentiation logarithmique

Trouve la dérivée de la fonction

\N[ f(x)=x^8 e^x.\N]

Réponse :

Avant de commencer, note que tu peux aussi utiliser la règle du produit pour trouver la dérivée de cette fonction. Cet exemple illustre comment utiliser la différenciation logarithmique pour obtenir la même réponse.

1. Prends le logarithme naturel de la fonction originale.

Commence par prendre le logarithme naturel de la fonction, donc

\[ \ln{f(x)}=\ln{\left( x^8 e^x \right)}.\]

2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, la propriété de produit des logarithmes et la propriété de puissance des logarithmes.

Puisque le côté droit de l'équation est le logarithme d'un produit, il peut être écrit comme la somme de logarithmes, c'est-à-dire

\[ \ln{f(x)}= \ln{x^8} + \ln{e^x}.\]

De plus, tu peux utiliser la propriété de puissance des logarithmes pour écrire chaque exposant comme un facteur, ce qui donne

\[ \begin{align} \ln{f(x)} &= 8\ln{x} +x\ln{e} \\N &= 8\ln{x}+x, \Nend{align}\N]

où tu as également utilisé le fait que \(\ln{e}=1.\)

3.Différencie chaque expression.

Ensuite, tu dois différencier les deux côtés de l'expression ci-dessus à l'aide de la règle de la chaîne, de la règle de la puissance et de la règle de différenciation du logarithme naturel,

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\frac{1}{x},\]

l'obtention

\[ \N- \N- \N{align}} \N- gauche( \Nfrac{1}{f(x)} \Ndroite) \Ngauche( f'(x) \Ndroite) &= \Nfrac{8}{x}+1 \N- \Nfrac{f'(x)}{f(x)} &= \Nfrac{8}{x}+1. \N- [Fin{align}\N]

4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.

Enfin, isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par la fonction originale, \( f(x)=x^8 e^x,\N) et simplifie, c'est-à-dire

\[ \N- f'(x) &= f(x)\Nà gauche( \Nfrac{8}{x}+1 \Nà droite) \N[0.5em] &= x^8e^x\Nà gauche( \Nfrac{8}{x}+1 \Nà droite) \N[0.5em] &= e^x\left( \frac{8x^8}{x} +x^8 \right) \\N[0.5em] &= e^x(8x^7+x^8). \Nend{align} \]

Remarque que c'est exactement ce que tu t'attendais à obtenir !

Trouve la dérivée de

\[g(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}.\]

Réponse :

Plutôt que d'utiliser la règle du quotient (qui est parfois difficile à retenir), tu peux utiliser la différenciation logarithmique !

1. Prends le logarithme naturel de la fonction originale.

Cette étape est assez simple, elle te permet d'obtenir

\[\ln{g(x)} = \ln{\left( \frac{\sqrt{x+1}}{x^2} \rright)}.\]

2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, utilise la propriété de quotient des logarithmes et la propriété de puissance des logarithmes.

Le logarithme du quotient peut être écrit comme une différence de logarithmes, c'est-à-dire

\[ \ln{g(x)} = \ln{\sqrt{x+1}}-\ln{x^2}. \]

Tu peux aussi écrire les puissances (rappelle-toi qu'une racine carrée est une puissance de \( ^1/_2 \) ) comme des facteurs en utilisant la propriété de puissance des logarithmes, donc

\[ \ln{g(x)} = \frac{1}{2}\ln{\left(x+1 \right)}-2\ln{x}.\]

3.Différencie chaque expression.

Cette fois-ci, la différenciation des deux côtés de l'expression ci-dessus te donne

\[ \begin{align} \frac{g'(x)}{g(x)} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}-2\cdot\frac{1}{x} \N- &= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1} -\frac{2}{x}, \end{align} \]

qui peut être simplifiée en ajoutant les expressions rationnelles

\[ \frac{g'(x)}{g(x)}= \frac{-3x-4}{2x(x+1)}. \]

4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.

Isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par \( g(x) \) et simplifie, c'est-à-dire

\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-[0.5em] &= \frac{\sqrt{x+1}}{x^2} \right) \left( \frac{-3x-4}{2x(x+1)}\right) \\N[0.5em] &= \frac{-3x-4}{2x^3\sqrt{x+1}. \N-{align}\N- [\N]

Trouve la dérivée de

\[h(x)=x^x.\N-]

Réponse :

Ici, tu as \N(x) élevé à la puissance de \N(x.\N) Tu identifies une fonction exponentielle lorsque la variable est la puissance et non la base, et la règle de la puissance ne s'applique que si la variable n'est pas dans l'exposant. Dans ce cas, la variable est à la fois la base et la puissance ! Que faire ? La différenciation logarithmique bien sûr !

1. Prends le logarithme naturel de la fonction d'origine.

Comme d'habitude, commence par prendre le logarithme naturel de la fonction, c'est-à-dire

\[ \ln{h(x)} = \ln{x^x}.\]

2. Utilise toutes les propriétés pertinentes des logarithmes. Dans ce cas, utilise la propriété de puissance des logarithmes.

Tu peux maintenant réécrire la puissance sous forme de facteur en utilisant la propriété de puissance des logarithmes, ce qui te donne

\[ \ln{h(x)} = (x)(\ln{x}). \]

3.Différencie chaque expression.

Le côté droit de l'expression ci-dessus est un produit de fonctions, il peut donc être différencié à l'aide de la règle du produit, ce qui donne

\N- [\N- Début{alignement} \frac{h'(x)}{h(x)} &= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right)\ln{x} + x\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}\right) \\N &= (1)(\ln{x}) + x\left( \frac{1}{x} \ln{x}right) \N &= \ln{x}+1. \N- [end{align}\N]

4. Multiplie l'expression obtenue par la fonction originale.

Enfin, isole la dérivée en multipliant les deux côtés de l'expression ci-dessus par \( h(x) \N).

\[ \begin{align} h'(x) &= \left( h(x) \right) \left( \ln{x}+1 \right) \\ &= \left(x^x \right) \left( \ln{x}+1 \right). \Nend{align} \]

Une erreur fréquente lors de l'utilisation de la règle du quotient est de se tromper de signe.

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)} \neq \frac{f(x)g'(x)-g(x)f'(x)}{\frac{f(x)g'(x)-g(x)f'(x)}{\left( g(x) \right)^2}\]

Tu peux éviter cette erreur en utilisant la différenciation logarithmique car il est plus facile de se rappeler que le terme négatif est celui du dénominateur.

\[ \ln{\left(\frac{f(x)}{g(x)} \right)} = \ln{f(x)}-\ln{g(x)}.\]

À partir de là, tu peux continuer le processus de différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de la fonction.

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{\left( g(x) \right)^2} \]