Fig 1. La rampe la plus rapide entre deux points s'appelle une courbe brachistochrone (brachistochrone signifie "temps le plus court" en grec).
Maintenant, peut-être décides-tu de faire une promenade à vélo. Tu finis par penser à la courbe tracée par la roue de ton vélo. Tu décides donc de coller un morceau de papier de couleur vive sur la roue de ton vélo et de tracer sa trajectoire. Tu obtiens un graphique qui ressemble à celui-ci :
Fig. 2. La courbe tracée par la roue d'un vélo est une cycloïde
À ta grande surprise, il s'agit de la même forme que celle que tu as trouvée en cherchant la rampe la plus rapide, mais à l'envers. Cette forme s'appelle une cycloïde. Après avoir joué un peu avec la courbe, tu découvres que l'équation de la courbe est donnée par la formule suivante
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}.\]
Maintenant, disons que tu veux trouver la trajectoire du morceau de papier ou de la petite voiture à un certain point \N( (x,y)\N). Normalement, tu devrais trouver la dérivée de \N(y\N) par rapport à \N(x\N), ce qui te donnerait la pente de la ligne tangente à la courbe en \N( (x,y)\N). Cependant, l'équation ci-dessus ne semble pas facile à résoudre en termes de \(y\). Que dois-tu faire ?
C'est une bonne situation pour utiliser la différenciation implicite. Cet article explique comment utiliser la différenciation implicite pour trouver implicitement les lignes tangentes aux courbes qui n'ont pas nécessairement de formules explicites.
Signification des tangentes avec la différenciation implicite
Trouver des lignes tangentes avec la différenciation implicite signifie simplement appliquer la différenciation implicite pour trouver la pente d'une courbe définie implicitement. Une relation implicite ou une courbe définie implicitement est, dans le contexte du calcul, une équation où la variable dépendante n'est pas isolée d'un côté. En d'autres termes, au lieu d'être de la forme
\N-[y=f(x) \N]
pour une fonction \(f\), une relation implicite est de la forme
\N[ f(x,y) = g(x,y),\N]
où \(f\) et \(g\) sont des fonctions. L'équation de la cycloïde,
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)},\]
est un exemple de courbe implicite, puisque la variable \(y\) n'est pas isolée d'un côté de l'équation. Pour plus de détails et d'exemples, voir l'article Relations implicites.
De telles équations peuvent être difficiles, voire impossibles à réécrire sous une forme explicite. Ainsi, pour trouver leurs dérivées, tu dois souvent utiliser la différenciation implicite. La différenciation implicite est une application de la règle de la chaîne à des fonctions définies implicitement. Pour plus de détails, voir l'article Différenciation implicite.
Différencions implicitement la relation
\N[ y^5 + x^5 = \frac{\sqrt{\pi}}{17}, \N]
en supposant que \N(y\N) est une fonction de \N(x\N).
Solution :
- Prends d'abord la dérivée des deux côtés de l'équation par rapport à \N(x\N) :
\[ \frac{d}{dx} (y^5 + x^5 ) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{\pi}}{17} \right).\N- \N- \N- \N- \N- \N]
Le côté droit de l'équation s'évalue à zéro puisque la dérivée d'une constante est toujours nulle. Pour différencier le côté gauche, rappelle-toi que \(y\) est supposé être une fonction de \(x\). Écrivons donc \( y = f(x) \) pour une fonction quelconque \(f\) :
\[ \frac{d}{dx} (y^5 + x^5 ) = \frac{d}{dx} \left((f(x))^5 + x^5 \rright).\]
- Puisque la différenciation est linéaire, tu peux écrire :
\[\frac{d}{dx}] \left((f(x))^5 + x^5 \right) =\frac{d}{dx} (f(x))^5 + \frac{d}{dx} x^5 .\N- \N- \N- \N- \N]
- Pour différencier le second terme, utilise la règle de puissance :
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + \frac{d}{dx} x^5 = \frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4.\]
- Pour différencier le premier terme, tu dois utiliser la règle de la chaîne, qui te donne :
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4 = 5(f(x))^4f'(x) + 5x^4.\N- \N].
- En remplaçant donc \( f(x)\) par \(y\), puis en mettant les côtés gauche et droit de l'équation égaux l'un à l'autre, tu obtiens :
\[\frac{d}{dx} (f(x))^5 + 5x^4 = 5(f(x))^4f'(x) + 5x^4 =0,\].
ou en d'autres termes
\N- 5y^4 \Nfrac{dy}{dx} + 5x^4 = 0,\N]
- Enfin, tu peux résoudre \( \frac{dy}{dx}\) pour obtenir
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{5x^4}{5y^4} = - \frac{x^4}{y^4}. \]
Méthodes de recherche de lignes tangentes par différenciation implicite
Pour trouver une ligne tangente à un point \( (x_1,y_1)\) en utilisant la différenciation implicite, tu utilises généralement la méthode suivante :
Étape 1 : différencie implicitement pour trouver une expression pour la dérivée. Cela te donne la pente de la ligne tangente en un point donné.
Étape 2 : Insère \N(x_1,y_1)\Ndans l'expression que tu as trouvée ci-dessus pour obtenir la pente \N(m\N)de la ligne tangente à \N(x_1,y_1)\Nl'endroit où tu as trouvé \N(x_1,y_1)\N.
Étape 3 : Utilise la pente (m) obtenue à l'étape 2 et le point (x_1,y_1) pour trouver l'équation de la ligne tangente, en utilisant la formule (y - y_1 = m(x-x_1)).
Examinons de plus près chacune de ces trois étapes, en utilisant la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
au point
\[ A = \Nà gauche( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \Nà droite) \N]
à titre d'exemple.
Fig. 3. Nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver l'équation d'une ligne tangente à une cycloïde.
Utilisation de la différenciation implicite pour trouver la pente de la ligne tangente
Tout d'abord, tu dois différencier implicitement pour trouver la pente de la ligne tangente. Pour ce faire, différencie d'abord les deux côtés de la relation par rapport à \(x\), en utilisant la règle de la chaîne si nécessaire. Insère ensuite le point qui t'intéresse et résous la valeur de \(y'\) en ce point.
Différencions implicitement la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
pour trouver la pente de la ligne tangente au point
\[ A = \Nà gauche( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \Nà droite) \N].
Solution :
- Commence par différencier les deux côtés de l'équation par rapport à \(x\) :
\[ \frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)} \right). \]
- Tu peux utiliser la règle de puissance pour trouver la dérivée du côté gauche :
\[ \frac{d}{dx} x = 1.\]
- Pour différencier le côté droit, commence par écrire \(y = f(x) \) pour une fonction \(f\) : \[ \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)} \right)\] \[= \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-f(x))-\sqrt{f(x)(2-f(x))} \left(\f^{-1}(1-f(x))-\sqrt{f(x)(2-f(x))} \rright) .\]
- Puisque la différenciation est linéaire, tu peux écrire :
\[\frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-f(x))-\sqrt{f(x)(2-f(x))} \right)\] \[= \frac{d}{dx}\left(\cos^{-1}(1-f(x))\right) - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx} - \frac{d}{dx}. \Nà gauche(\Nsqrt{f(x)(2-f(x))}\Nà droite).\N]
- Tu sais que
\[ \cos^{-1}(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \]
En appliquant la règle de la chaîne, le premier terme devient donc :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx}\gauche(\cos^{-1}(1-f(x))\droite) & = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}}(-f'(x)) \\ & = \frac{f'(x) }{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}} . \N- [end{align}\N]
- En appliquant la règle de la chaîne, tu peux écrire le deuxième terme comme suit :
\[ \frac{d}{dx} \left(\sqrt{f(x)(2-f(x))} \right)\] \[ = \left( \frac{1}{2} ((f(x) (2-f(x)))^{-\frac{1}{2}}\right)\left( \frac{d}{dx} f(x) (2-f(x)). \Ndroite). \]
- En utilisant le fait que la différenciation est linéaire, tu peux écrire :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} f(x) (2-f(x)) &= \frac{d}{dx} \n- gauche( 2f(x) - (f(x))^2 \n- droite) \n- &= 2\frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}(f(x))^2 . \Nend{align} \]
- En utilisant la règle de la chaîne, cette expression devient :
\[ 2\frac{d}{dx} f(x) - \frac{d}{dx}(f(x))^2 = 2f'(x) -2f(x)f'(x).\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
- Cela signifie que le second terme est en fait
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{f(x)(2-f(x))} \N-droit) &= \N-gauche( \Nfrac{1}{2} (f(x) (2-f(x)))^{-\Nfrac{1}{2}}\N-droit)\N-gauche( \Nfrac{d}{dx} f(x) (2-f(x)) \right) \\ &= \left( \frac{1}{2} (f(x) (2-f(x)))^{-\frac{1}{2}}\right) \left( 2f'(x) -2f(x)f'(x) \right) \\ &= \frac{f'(x)(1-f(x))}{\sqrt{ f(x)(2-f(x))}}. \Nend{align} \]
- En combinant les expressions des premier et deuxième termes et en les réécrivant en termes de \(y\), le côté droit de l'équation est :
\[ \frac{f'(x) }{\sqrt{1 - (1-f(x))^2}} - \frac{f'(x)(1-f(x))}{\sqrt{ f(x)(2-f(x))}} = \frac{y' }{\sqrt{1 - (1-y)^2}} - \frac{y'(1-y)}{\sqrt{ y(2-y)}}. \]
- Rappelle-toi que tu as déjà trouvé que
\[ \frac{d}{dx} \left(\cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)} \right) = 1. \]
- En combinant cela avec le premier et le deuxième terme,
\[ \frac{y' }{\sqrt{1 - (1-y)^2}} - \frac{y'(1-y)}{\sqrt{ y(2-y)} =1 .\]
À ce stade, tu devrais normalement résoudre \N(y'\N). Cependant, tu n'as pas besoin de le faire pour un point général \N( (x,y) \N) puisque tu ne t'intéresses vraiment qu'à \N(y'\N) au point \N(A\N).
- En substituant \Nà \N(A\N), tu obtiens
\N[ \Nfrac{y' }{\Nsqrt{1 - \Ngauche(1-\Nfrac{1}{2}\Ndroite)^2}} - \frac{y'\left(1-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{ \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \right)}} =1 .\]
- Il est maintenant beaucoup plus facile de résoudre \N(y'\N). Il faut d'abord faire une petite simplification,
\[ \begin{align} \frac{y' }{\sqrt{1 - \left(1-\frac{1}{2}\right)^2}} - \frac{y'\left(1-\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{ \frac{1}{2} \left(2-\frac{1}{2} \droite)} &= \frac{y'}{\sqrt{\frac{3}{4}} - \frac{\frac{1}{2}y'}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \\N- &= \frac{2}{\sqrt{3}}\N- gauche( y' - \frac{1}{2} y'\N-droit) \N- &= \frac{y'}{\sqrt{3}}. \Nend{align} \]
Donc ,
\[ \frac{y'}{\sqrt{3}} = 1,\]
ou
\N[ y' = \sqrt{3},\N]
au point \(A\). En d'autres termes, la pente de la ligne tangente au point \(A\) est \(m = \sqrt{3}\).
Une fois que tu es habitué à la différenciation implicite, il peut être plus rapide et plus efficace de sauter l'étape consistant à écrire \(y\) sous la forme \(f(x)\). Au lieu de cela, tu peux simplement te rappeler de multiplier par \N(y'\N) lorsque c'est nécessaire. Cette étape est incluse pour souligner que, puisque \(y\N) est une fonction de \N(x\N), la différenciation implicite n'est en fait qu'une application de la règle de la chaîne.
Pourquoi la différenciation implicite te donne-t-elle la pente de la ligne tangente ? Eh bien, la différenciation implicite est juste une façon de trouver la dérivée d'une courbe en un point donné. C'est la même dérivée que tu obtiendrais en différenciant normalement, sans utiliser la différenciation implicite. Si tu te souviens bien, la définition de la dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\) est la suivante
\N[ f'(x) = \Nlimite_{h \Nà 0} \Nfrac{ f(x+h)-f(x)}{h}.\N]
Puisque
\[\frac{ f(x+h)-f(x)}{h} \]
est en fait la pente de la droite entre les points \N( (x+h, f(x+h)) et \N( (x,f(x)). \), pour des valeurs très petites de \(h), la pente de la ligne devrait être très proche de la pente de la ligne tangente à \(x). Rappelle-toi que la dérivée est la limite de cette expression et qu'elle correspond à la pente exacte de la ligne tangente. Ce sera toujours le cas ; peu importe que tu trouves la dérivée explicitement ou implicitement.
Utilisation de la différenciation implicite pour trouver une équation pour la ligne tangente
Une fois que tu as trouvé la pente \(m\) de la ligne tangente au point \( (x_1,y_1)\), tout ce qu'il te reste à faire est d'insérer les valeurs que tu as trouvées dans la formule \( y - y_1 = m(x-x_1) \) et de simplifier l'expression.
Mais est-ce que \N( (x_1,y_1)\Nest réellement un point sur la ligne tangente ? Si tu places \NX = x_1\N dans l'équation de la ligne tangente, tu obtiens \N(y - y_1 = 0\N), donc \N(y=y_1\N). Ainsi, le point \( (x_1,y_1)\) est bien un point sur la ligne tangente. Par définition, cette ligne a également une pente \N(m\N), c'est donc la ligne tangente que tu cherches.
Maintenant que tu as trouvé la pente de la cycloïde
\[ x = \cos^{-1}(1-y)-\sqrt{y(2-y)}\]
au point
\A = \Nà gauche( \Nfrac{\pi}{3} - \Nfrac{\rt{3}}{2} , \Nfrac{1}{2} \Nà droite) ,\N tu peux l'utiliser pour trouver l'équation de la ligne tangente à \N( A\N).
Solution :
Dans l'exemple précédent, tu as trouvé que la pente de la ligne tangente à \N(A\N) est \N(m = \Nsqrt{3}\N). En introduisant \(m\) et \(A\) dans l'équation de la ligne tangente, tu obtiens
\N[ y - \frac{1}{2} = \sqrt{3}]. \left( x - \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \left).\N- \N- \N]
Si tu simplifies cela, tu obtiens l'expression
\[ \begin{align} y &= x\sqrt{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \N- &= \sqrt{3}x + \frac{6-\pi\sqrt{3}}{3}.\N- [end{align}\N].
En traçant le graphique de cette droite, tu vois qu'il s'agit bien de l'équation de la droite tangente à la cycloïde à \(A\).
Fig. 4. La différenciation implicite peut être utilisée pour trouver l'équation de la ligne tangente au graphique d'une cycloïde.
Exemples de recherche de tangentes à l'aide de la différenciation implicite
Voyons un exemple pour t'entraîner à trouver des tangentes à l'aide de la différenciation implicite.
Trouvons l'équation de la ligne tangente à la courbe
\N[ y^2 (3x^2 -y^2)^2 = (x^2 + y^2)^4\]
à
\[ A = \Nà gauche( \Nfrac{1}{2}, \Nfrac{1}{2} \Nà droite).\N]
Fig. 5. Une courbe en forme de rose avec six pétales
Tout d'abord, différencie les deux côtés de l'équation :
\[ \frac{d}{dx}] \Nà gauche(y^2 (3x^2 -y^2)^2 \Nà droite) = \Nfrac{d}{dx} (x^2 + y^2)^4.\N]
Puisque \N(y\N) est une fonction de \N(x\N), tu peux écrire \N(y=f(x)\Npour une fonction \N(f\N) :)
\N[ \Nfrac{d}{dx}] \Nà gauche((f(x))^2 (3x^2 -(f(x))^2)^2 \Nà droite) = \Nfrac{d}{dx} (x^2 + (f(x))^2)^4.\N]
Le côté droit de l'équation peut être différencié en utilisant la règle de la chaîne pour te donner :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (x^2 + (f(x))^2)^4 &= 4(x^2 + (f(x))^2)^3\Nà gauche( \frac{d}{dx}) \left( (x^2 + (f(x))^2\right) \right) &= 4(x^2 + (f(x))^2)^3\left( 2x + 2f(x)f'(x) \right) . \Nend{align} \]
Pour différencier le côté gauche de l'équation, utilise la règle du produit et la règle de la chaîne pour obtenir :
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} \left((f(x))^2 (3x^2 -(f(x))^2)^2 \right) &= \left(\frac{d}{dx}(f(x))^2\right)\left( (3x^2 - (f(x))^2 \right)^2 \\N&\cquad + (f(x))^2\frac{d}{dx}\gauche( (3x^2 - (f(x))^2)^2\droite) \c&= 2f(x)f'(x) ((3x^2 - (f(x))^2)^2 \c&\cquad + (f(x))^2 \cdot 2(3x^2 - (f(x))^2) \cfrac{d}{dx} \n- gauche( (3x^2 - (f(x))^2\n- droite) \n-&= 2f(x)f'(x) (3x^2 - (f(x))^2)^2 \n-&\n- Quad + 2 (f(x))^2 (3x^2 - (f(x))^2) (6x - 2f(x)f'(x)).\n- fin{align} \]
En combinant les côtés droit et gauche de l'équation et en remplaçant \(f(x)\) par \(y\), tu obtiens :
[2yy'(3x^2 - y^2)^2 + 2y^2(3x^2-y^2)(6x-2yy') = 4(x^2+y^2)^3(2x+2yy').\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
Insère maintenant le point \(A\) dans l'équation ci-dessus et résous \(y'\). En insérant \N(A\N) dans le côté gauche de l'équation, on obtient :
\N- [\N- Début{align} & \N-Gauche. 2yy'(3x^2 - y^2)^2 + 2y^2(3x^2-y^2)(6x-2yy') \right|_A \\cquad = 2\cdot \frac{1}{2}y'\cft(3\cft(\frac{1}{2}\cright)^2 - \cft(\frac{1}{2}\cright) ^2\cright)^2 \c&\quad\quad + 2\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\left(3\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\left(\frac{1}{2}\r}) ^2\r})\left(6\left(\frac{1}{2}\r) -2\left(\frac{1}{2}\r}) y'\rright) \n-&\cquad= y'\left(\frac{2}{4}\right)^2 + \frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}(3-y') \c&\cquad= \frac{y'}{4} + \frac{3}{4} - \frac{y'}{4} \\N-&\Nquad= \Nfrac{3}{4}. \Nend{align} \]
En plaçant \(A\) dans le côté droit de l'équation, on obtient l'expression :
\[ \begin{align} \N- gauche. 4(x^2+y^2)^3(2x+2yy') \right|_A &= 4\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right) ^2\right)^3\left(2\cdot\left(\frac{1}{2}\right) +2\left(\frac{1}{2}\right) y'\right) \left&= \frac{4}{8} + \frac{4y'}{8} \\N- &= \frac{1}{2} + \frac{4}{8} + \frac{4y'}{8}) + \frac{y'}{2}. \Nend{align} \]
En mettant les deux côtés égaux l'un à l'autre, on obtient
\[ \frac{3}{4} =\frac{1}{2} + \frac{y'}{2} ,\]
ou en d'autres termes
\[ y' = \frac{1}{2}.\]
Enfin, introduis cette valeur de \(y'\N) et le point \N(A\N) dans l'équation de la ligne tangente en un point, ce qui te donne l'équation :
\[ y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \right) .\]
En résolvant \(y\), on obtient l'équation de la ligne tangente
\[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}.\]
En traçant cette ligne, tu vois qu'il s'agit bien de la ligne que tu cherches.
Fig. 6. Cette courbe est appelée courbe rose, elle fait partie d'une famille de courbes qui ressemblent à des fleurs.
Utilisation de la différentiation implicite pour trouver les équations des droites normales
Une ligne normale à une courbe en un point est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente en ce point.
Fig. 7. La normale à une courbe est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente.
Les lignes normales apparaissent souvent en physique. Par exemple, la force de frottement est normale à la courbe décrivant la trajectoire d'un objet. Autre exemple, la loi de Snell, une loi importante en optique qui est aussi appelée loi de réfraction, est formulée en termes de lignes normales.
Tu te souviens de la courbe brachistochrone de tout à l'heure, celle qui nous a donné la rampe de voiture jouet la plus rapide ? Crois-le ou non, l'une des façons de prouver que la brachistochrone est bien la rampe la plus rapide fait appel à la loi de Snell ! Cette preuve a été découverte par Johann Bernoulli et fonctionne en imaginant que la voiture jouet est un rayon de lumière voyageant à travers des milieux de différentesdensités1.
Pour trouver la normale à une courbe en un point \N(A = (x_1, y_1)\N), différencie d'abord pour trouver la pente \N(m\N) de la ligne tangente à \N(A\N). Tu te souviens peut-être qu'en géométrie, les pentes des lignes perpendiculaires sont des réciproques négatives l'une de l'autre. Puisque la ligne normale est perpendiculaire à la ligne tangente et que la tangente a une pente de \(m\), la pente de la ligne normale est la suivante
\N- -\Nfrac{1}{m}. \N]
Enfin, l'équation de la droite normale à \(A\) est la suivante
\N- y - y_1 = -\Nfrac{1}{m}(x-x_1). \N]
Prenons un exemple de recherche de la ligne normale à une courbe à l'aide de la différenciation implicite.
Trouvons l'équation de la droite normale à la courbe \( (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2)+\tfrac{1}{4}) à \(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}{2}{2}{2}{4}). \N) à \N(\Ngauche( \Ntfrac{1}{2},\Ntfrac{1}{2}\Ndroite)\N)
- Tout d'abord, nous différencions les deux côtés de l'équation par rapport à x :
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left((x^2+y^2)^2\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(2(x^2-y^2)+\dfrac{1}{4}\right) \]
- En utilisant la règle de la chaîne, le côté gauche de l'équation devient :
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left((x^2+y^2)^2\right) &=2(x^2+y^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2+y^2) \\ &=2(x^2+y^2)(2x+2yy')\end{align}\]
Puisque \N(y\N) est une fonction de \N(x\N), n'oublie pas d'indiquer sa dérivée comme \N(y'\N).
- En utilisant la règle de la chaîne et la règle de la puissance, le côté droit de l'équation devient :
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(2(x^2-y^2)+\dfrac{1}{4}\right) &= 2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \a gauche(x^2-y^2\a droite)+0 \a &=2(2x-2yy')\afin{align}\a]
- En combinant les deux expressions, on obtient :
\[2(x^2+y^2)(2x+2yy')=2(2x-2yy')\]
- Ensuite, nous introduisons le point \(\cgauche( \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\droite)\c dans l'expression ci-dessus pour trouver la pente de la ligne tangente à ce point. Ce faisant, nous obtenons :
\[2\left(\left( \dfrac{1}{2}\right)^2+\left( \dfrac{1}{2}\right)^2\right)\left(2\dfrac{1}{2}+2\dfrac{1}{2}y'\right)=2\left(2\dfrac{1}{2}-2\dfrac{1}{2}y'\right)\]
- En simplifiant, on obtient l'expression :
\N- 1+y'=2-2y'\N]
- En résolvant pour y', on obtient :
\[y'=\dfrac{1}{3}\]
Ainsi, la pente de la ligne tangente à \N(\Ngauche( \Ntfrac{1}{2},\Ntfrac{1}{2}\Ndroite)\Nest \N(\Ntfrac{1}{3}\N). Pour obtenir la pente de la droite normale, nous prenons l'inverse négatif de la pente de la droite tangente, ce qui donne \(-3\).
Enfin, nous pouvons insérer notre point et notre pente dans l'équation de la ligne normale, ce qui nous donne :
\[y-\dfrac{1}{2}=-3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\]
En simplifiant et en résolvant pour \N(y\N), nous obtenons que l'équation de la ligne normale (représentée graphiquement ci-dessous) est la suivante
\N[y=-3x+2\N].
Fig. 8. La ligne normale à une courbe implicite est perpendiculaire à la ligne tangente et peut être trouvée en utilisant la différenciation implicite.
Différenciation implicite Ligne tangente - Principaux enseignements
- La différenciation implicite est utilisée pour trouver les lignes tangentes aux courbes définies implicitement.
- L'équation d'une droite dont la pente est \N(m\N) et qui passe par un point \N((a,b)\N) est \N(y - b = m(x - a)\N).
- Utilise la dérivée pour trouver la pente de la courbe à \N(A\N), puis résous l'équation de la ligne tangente en utilisant cette pente et le point \N(A\N).
- La ligne normale à une courbe est la ligne perpendiculaire à la ligne tangente.
Références
- John Martin, "The Helen of Geometry", The College Mathematics Journal 41, no. 1 (janvier 2010).
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