En regardant simplement une colline, tu peux savoir à l'avance si elle sera facile à gravir ou non, sa forme te donne en fait des informations !
Plutôt que de penser à une colline, tu peux te représenter un graphique. La forme et les dérivées d'une fonction peuvent te donner des informations cruciales sur son comportement, c'est pourquoi nous allons voir ici comment les dérivées et la forme d'un graphique sont liées.
Dérivées et forme d'un graphique Signification
Parler de la forme d'un graphique peut sembler un peu vague au début. Quels types de formes sont présents dans un graphique ?
En calcul, la forme d'un graphique fait référence aux caractéristiques importantes des différentes sections du graphique :
- Est-elle croissante ou décroissante ?
- Est-il supérieur ou inférieur à l'axe des x ?
- A-t-il une forte pente ?
- Ses lignes tangentes se situent-elles en dessous ou au-dessus du graphique ?
Les caractéristiques ci-dessus peuvent s'appliquer à différentes sections, ou intervalles, du graphique. Un graphique peut être croissant dans un intervalle et décroissant dans un autre !
Relation entre les dérivées et la forme d'un graphique
Maintenant que tu as vu la signification de la forme d'un graphique en calcul, tu te demandes peut-être comment les dérivées sont impliquées.
Les dérivées mesurent le changement, il est donc essentiel de connaître la dérivée d'une fonction pour savoir comment son graphique évolue.
La dérivée première t'indique si le graphique augmente ou diminue.
La dérivée seconde t'indique si le graphique s'incurve vers le haut ou vers le bas.
Connaître ces informations est suffisant pour esquisser grossièrement le graphique d'une fonction sans utiliser de logiciel graphique !
Effets de la dérivée première sur la forme d'un graphique
Comme indiqué précédemment, la dérivée première d'une fonction t'indique si une fonction augmente ou diminue dans un certain intervalle. Voici comment cela fonctionne :
- Une fonction \(f (x) \) est croissante dans un intervalle où sa dérivée est positive, c'est-à-dire \( f'(x) > 0\).
- Une fonction est décroissante dans un intervalle où sa dérivée est négative, c'est-à-dire \( f'(x) <0\).
Tu peux aussi donner une interprétation graphique aux énoncés ci-dessus, c'est-à-dire
- Une fonction est croissante dans un intervalle où la pente d'une droite tangente à son graphique est positive.
- Une fonction est décroissante dans un intervalle où la pente d'une ligne tangente à son graphique est négative.
Figure 1. Intervalles décroissants et croissants d'une fonction.
Les points où \( f'(x)=0 \) sont connus sous le nom de points critiques . Dans les fonctions à dérivées continues, les points critiques sont probablement les points où une fonction passe d'une augmentation à une diminution ou vice-versa. Pour plus d'informations sur ce sujet, jette un coup d'œil à notre article sur le test de la dérivée première !
Effets de la dérivée seconde sur la forme d'un graphique
La dérivée seconde d'une fonction \( f(x) \) est notée \( f''(x)\), et elle peut être trouvée en différenciant la dérivée première de la fonction, c'est-à-dire en différenciant une fonction deux fois de suite. La dérivée seconde d'une fonction, en supposant qu'elle existe, t'indique dans quel sens la fonction s'infléchit. Il y a deux mots spéciaux en calcul pour cette idée : Concave et convexe.
On dit qu'une fonction est concave vers le bas, ou simplement concave, dans un intervalle où sa dérivée seconde est négative. Les lignes tangentes au graphique de la fonction à l'intérieur d'un intervalle où elle est concave se trouveront au-dessus du graphique.
Figure 2. Une ligne tangente à une fonction dans un intervalle où elle est convexe se trouve au-dessus du graphique.
Et si les lignes tangentes se situent en dessous du graphique ?
On dit qu'une fonction est concave vers le haut, ou convexe, dans un intervalle où sa dérivée seconde est positive. Les lignes tangentes au graphique de la fonction à l'intérieur d'un intervalle où elle est convexe se situeront sous le graphique.
Figure 3. Une ligne tangente à une fonction dans un intervalle où elle est convexe se trouve sous le graphique.
La concavité d'un graphique est indépendante du fait qu'il soit croissant ou décroissant ! Tu peux avoir, par exemple, un intervalle décroissant concave ou un intervalle décroissant convexe. Les quatre combinaisons sont possibles !
Dans les graphiques suivants, tu peux examiner la différence entre les fonctions concaves et convexes à l'aide de graphiques.
Les deux fonctions ci-dessous sont croissantes. Cependant, remarque qu'elles se courbent différemment.
Figure 4. La ligne tangente se trouve au-dessus de la fonction, elle est donc concave.
Figure 5. La ligne tangente se trouve en dessous de la fonction, elle est donc convexe
Maintenant, les deux fonctions ci-dessous sont décroissantes. Fais bien attention à la courbure.
Figure 6. La ligne tangente est au-dessus de la fonction, elle est donc concave.
Figure 7. La ligne tangente est en dessous de la fonction, elle est donc convexe.
Les points où une fonction passe de concave à convexe, ou vice-versa, sont appelés points d'inflexion. Pour plus d'informations sur ce sujet, tu peux consulter notre article sur le test de la dérivée seconde.
Exemples d'effets des dérivées première et seconde sur la forme d'un graphique
La dérivée première d'une fonction peut être utilisée pour trouver des intervalles où une fonction augmente ou diminue. Voici un exemple de la façon dont on procède.
Détermine les intervalles où la fonction
\[f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+1\]
est croissante et/ou décroissante.
Solution :
Puisque tu dois trouver les intervalles où la fonction donnée est croissante et/ou décroissante, tu dois commencer par trouver sa dérivée. Pour ce faire, tu peux utiliser la règle de puissance, c'est-à-dire
\N- f'(x) = x^2-4.\N- f'(x) = x^2-4.\N]
Pour trouver où la fonction augmente, tu dois résoudre l'inégalité suivante
\N-[f'(x)>0,\N]\N-[f'(x)>0,\N]
c'est-à-dire
\[x^2-4>0,\]
que tu peux factoriser comme suit
\N[(x+2)(x-2)>0,\N]
L'inégalité ci-dessus indique que le produit de deux expressions est supérieur à zéro. Cela signifie que les deux expressions ont le même signe, donc soit
\[ x+2>0 \quad \text{and} \quad x-2>0 \]
soit
\N- x+2<0 \N- et \N- x-2<0.\N]
La résolution de l'inégalité composée ci-dessus t'indique que \N( x>2 \N) ou \N(x<-2 \N), donc la fonction est croissante dans l'intervalle \N( (-\Ninfty,-2) \Net dans l'intervalle \N( (2,\Ninfty)\N).
Pour trouver où la fonction est décroissante, tu peux résoudre l'inégalité suivante
\N[ f'(x) <0,\N]
mais comme tu as déjà résolu une telle égalité, l'intervalle restant est l'intervalle décroissant, donc la fonction est décroissante dans l'intervalle \( (-2,2) \N).
Pour voir si ton résultat a un sens, tu devrais terminer en jetant un coup d'œil au graphique de la fonction donnée.
Figure 8. La fonction a un intervalle décroissant et deux intervalles croissants.
Tu peux aussi trouver la concavité de la fonction donnée en utilisant sa dérivée seconde.
Détermine les intervalles où la fonction
\[f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+1\]
est concave et/ou convexe.
Solution :
Précédemment, tu as trouvé la dérivée de la fonction donnée en utilisant la règle de puissance, c'est-à-dire
\N- f'(x)= x^2-4.\N- f'(x)= x^2-4.\N]
En utilisant à nouveau la règle de puissance, tu peux trouver la dérivée seconde, c'est-à-dire
\N- f''(x)=2x.\N]
Pour trouver les intervalles où la fonction est concave, tu dois résoudre l'inégalité suivante
\N- f''(x) < 0,\N]
c'est-à-dire
\[2x <0,\]
dont la solution est
\[ x<0.\]
Cela signifie que la fonction est concave dans l'intervalle \N( (-\infty,0) \N).
Pour trouver les intervalles où la fonction est convexe, tu dois résoudre l'inégalité
\N[ f''(x) >0, \N]
mais comme tu viens de résoudre une inégalité similaire, tu peux simplement inverser le signe de l'inégalité, donc
\[ x>0\]
te donne l'intervalle où la fonction est convexe, c'est-à-dire \N( (0,\infty)\N).
Figure 9. La fonction est concave dans un intervalle et convexe dans un autre.
Dérivées et forme d'un graphique - Principaux enseignements
- La dérivée d'une fonction permet de savoir si une fonction est croissante ou décroissante dans un intervalle.
- Si \( f'(x) >0\), \( f(x) \) est croissante.
- Si \( f'(x) <0\), \( f(x) \) est décroissante.
- Selon la façon dont elle se courbe, une fonction peut être concave vers le bas (ou simplement concave), ou elle peut être concave vers le haut (ou convexe).
- La dérivée seconde d'une fonction permet de savoir si une fonction est concave ou convexe.
- Si \( f''(x) <0\), \( f(x) \) est concave.
- Si \( f''(x) >0\), \( f(x) \) est convexe.
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