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Mais qu'est-ce qui fait qu'une fonction est différentiable ? Nous savons qu'une fonction est considérée comme différentiable si sa dérivée existe en tout point de son domaine. Qu'est-ce que cela signifie exactement ?
Cela signifie qu'une fonction est différentiable partout où sa dérivée est définie.
En d'autres termes, tant que nous pouvons trouver la dérivée à chaque point du graphique, la fonction est différentiable.
Alors, comment déterminer si une fonction est différentiable ?
Nous utilisons les limites et la continuité !
Que sont les limites, la continuité et les dérivées ?
Pour commencer, nous rappelons que la limite d'une fonction est définie comme suit :
Disons que nous avons une fonction, \N( f(x) \N), qui est définie à toutes les valeurs dans un intervalle ouvert qui contient \N( a \N), (à l'exception possible d'elle-même). Soit \N( L \N) un nombre réel. Si toutes les valeurs de la fonction \( f(x) \) se rapprochent du nombre réel \( L \) comme les valeurs de \( x \) (tant que \( x \neq a \)) se rapprochent du nombre \( a \), alors nous disons que :
- La limite de \Nf(x) \Nà mesure que \Nf(x) \Napproche de \Nf(a) est \NL\NL\N.
- En d'autres termes, au fur et à mesure que \N- x \N se rapproche de \N- a \N, \N- f(x) \N se rapproche de \N- L \N et reste proche de \N- L \N.
- Cela s'exprime symboliquement par :
\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = L \N].
Et la définition de la continuité est la suivante :
Une fonction, \N( f(x) \N), est continue en un point, \N( p \N), si et seulement si toutes les choses suivantes sont vraies:
- \Nf(p) \Nexiste.
- \( \lim_{x \to p} f(x) \) exists.
- Les limites du côté gauche et du côté droit de la fonction à ce point sont égales.
- \N( \Nlim_{x \Nà p} f(x) = f(p) \N).
Si une fonction ne remplit pas l'une de ces conditions, alors \N( f(x) \N) n' est pas continue (également appelée discontinue) au point \N( p \N).
L'expression "si et seulement si" est un énoncé logique biconditionnel. Elle signifie que si A est vrai, alors B est également vrai, et si B est vrai, alors A est également vrai.
La dérivée d'une fonction est définie comme suit :
Disons que nous avons une fonction, \( f(x) \). Sa dérivée, notée \Nf(x) \Nest la fonction dont le domaine contient les valeurs de \Nf(x) telles que la limite suivante existe :
\[ f'(x) = \lim_{h \à 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \].
Enfin, la définition de la différentiabilité est la suivante :
Une fonction, \Nf(x) \Nest différentiable sur un intervalle ouvert, \N(a, b) \Nsi la limite,
\[ \lim_{h \à 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \]
existe pour chaque nombre, \( c\N), dans l'intervalle ouvert, \( (a, b) \N).
- Si \Nf(x) \Nest différentiable, ce qui signifie que \Nf'(c) \Nexiste, alors \Nf(x) \Nest continu à \Nc \Ndans l'intervalle ouvert de \N(a, b) \N.
La relation entre les limites, la continuité et les dérivées
Comme nous pouvons le voir à partir de ces définitions, les limites, la continuité et les dérivées sont étroitement liées. Nous utilisons les limites pour :
définir la continuité et les dérivées, et
déterminer si les fonctions sont continues et/ou différentiables.
Ensemble, ces définitions nous indiquent qu'il y a différentiabilité lorsque la pente de la ligne tangente à la courbe est égale à la limite de la dérivée de la fonction en un point.
- Cela nous suggère que pour qu'une fonction soit différentiable, elle doit être continue, et sa dérivée doit l'être également.
Continuité et différentiabilité - Théorème
Nous venons de tomber sur une implication clé : les fonctions différentiables sont continues.
Qu'est-ce que cela signifie ?
Différenciable signifie qu'en tout point de son domaine, la dérivée existe pour une fonction.
La dérivée ne peut exister que si la fonction est continue sur son domaine.
Par conséquent, une fonction différentiable doit également être une fonction continue.
Cela nous amène au théorème suivant : la différentiabilité implique la continuité.
La différentiabilité implique la continuité
Soit \N( f(x) \N) une fonction dont le domaine est \N( a \N). Si \N( f(x) \N) est différentiable sur \N( a \N), alors elle est également continue sur \N( a \N).
Preuve du théorème - la différentiabilité implique la continuité.
Si f(x) est différentiable à x = a, alors f'(a) existe et la limite suivante existe :
\[ f'(a) = \lim_{x \Nà a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \N].
N'oublie pas qu'il s'agit de la définition de la dérivée !
Pour prouver ce théorème, nous devons montrer que \N( f(x)) est continue à \N( x = a) en montrant que \N( \Nlim_{x \Nà a} f(x) = f(a) \N). Donc ,
- Commence par\[ \lim_{x \Nà a} (f(x) - f(a)) \N].
- Multiplie et divise par \N( (x - a) \N) pour obtenir\N[ \Nlim_{x \Nà a} \Ngauche( (x - a) \Ncdot \Nfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \Ndroite) \N].
- Utilise la loi du produit pour les limites.\[ \left( \lim_{x \to a} (x - a) \right) \left( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \N \N \left( \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \Ndroite) \N]
- Évalue la première limite et réécris la seconde limite comme \N( f'(a) \N) puisqu'il s'agit de la définition de la dérivée.\N[ 0 \cdot f'(a) \N].
- Par conséquent,\[ 0 \cdot f'(a) = 0 \]
- Cela nous dit que\[ \lim_{x \à a} (f(x) - f(a)) = 0 \]
- Utilise la loi des différences pour les limites de l'équation de l'étape 4b.\[ \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} f(a) = 0 \N]
- Puisque \N( a \N) est une constante, simplifie la deuxième limite pour obtenir\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) - f(a) = 0 \N].
- Ajoute \N( f(a) \N) aux deux côtés.\N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = f(a) \N]
Puisque \Nf(a) \Nest défini et que \Nlim_{x \Nà a} f(x) = f(a) \N), nous pouvons conclure que \Nf(x) \Nest continu à \Na \Nl'endroit où a \Nest défini.
La continuité n'implique pas la différentiabilité
Alors, si la différentiabilité implique la continuité, une fonction peut-elle être différentiable mais non continue ?
La réponse courte est non. Ce n'est pas parce qu'une fonction est continue que sa dérivée est définie partout dans son domaine.
Regardons le graphique de la fonction de valeur absolue :
\[f(x) = |x| \]
Fig. 1. Le graphique de la fonction de valeur absolue, \( f(x) = |x| \).
Nous savons que la fonction de valeur absolue est continue parce que nous pouvons dessiner le graphique sans prendre notre crayon.
Cependant, nous pouvons également voir que la pente du graphique est différente du côté gauche et du côté droit. Cela nous suggère que le taux de changement instantané (la dérivée) est différent au sommet.
Alors, la fonction est-elle différentiable ici ?
- Essayons de prendre la dérivée à \N( x = 0 \N) et de le découvrir. Nous pouvons le faire en prenant des limites unilatérales, en utilisant la définition de la dérivée pour déterminer si la pente du côté gauche et celle du côté droit sont égales.
La limite de f(x) à x = 0 du côté gauche du graphique est :
\N-[ \N-{align}\Nlim_{h \Nà 0^{-}}] \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h \Nà 0^{-}} \frac{(-(0+h))-0}{h} \\N-&= \Nlim_{h \Nà 0^{-}} \frac{-h}{h} \N-&= \N-lim_{h \Nà 0^{-}} (-1) \N-&= -1\N-end{align} \]
La limite de \( f(x) \N) à \( x = 0 \N) du côté droit du graphique est :
\[ \begin{align}\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} &= \lim_{h \Nà 0^{+}} \frac{(0+h)-0}{h} \\N- &= \Nlim_{h \Nà 0^{+}} \frac{h}{h} \N-&= \N-lim_{h \Nà 0^{+}} (1) \\N-&= 1\N- end{align} \]
En comparant ces deux limites, nous voyons que la pente de la gauche est \N( -1 \N) et que la pente du côté droit est \N( 1 \N). Comme les deux limites ne concordent pas, la limite n'existe pas.
Par conséquent, la fonction de valeur absolue, \Nf(x) = |x| \Nmême si elle est continue, n'est pas différentiable à \Nx = 0 \N.
Ce n'était qu'un exemple où la continuité n'implique pas la différentiabilité. Voici un résumé des situations où une fonction continue n'est pas différentiable :
Si la limite des pentes des lignes tangentes à la courbe à gauche et à droite n'est pas la même en tout point, la fonction n'est pas différentiable.
Dans le cas de la fonction de valeur absolue, cela se traduit par un angle aigu du graphique à \(x=0 \). Cela nous amène à conclure que pour qu'une fonction soit différentiable en un point, elle doit être "lisse" en ce point.
Une fonction n'est pas différentiable en tout point où sa ligne tangente est verticale.
Une fonction peut ne pas être différentiable de façon plus compliquée, par exemple une fonction dont les oscillations deviennent de plus en plus fréquentes à mesure qu'elle s'approche d'une valeur.
Comment déterminer si une fonction est différentiable ?
Alors, comment déterminer si une fonction est différentiable ?
Le moyen le plus rapide de savoir si une fonction est différentiable est de regarder son graphique. Si elle ne présente aucune des conditions qui font que la limite est indéfinie, alors elle est différentiable. Ces conditions sont les suivantes :
Point vif
Fig. 2. Le graphique d'une fonction avec un point vif.
Tangente verticale (où la pente n'est pas définie).
Fig. 3. Le graphique d'une fonction avec une tangente verticale.
Discontinuité (saut, amovible ou infinie)
Fig. 4. Le graphique d'une fonction avec une discontinuité.
Les différences entre les fonctions continues et les fonctions différentiables
Quelles sont les différences entre les fonctions continues et les fonctions différentiables ?
La continuité est une condition plus faible que la différentiabilité.
Pour qu'une fonction (f(x)) soit continue à (x = a), il suffit que (f(x)-f(a)) converge vers (0) au fur et à mesure que (x) devient (a).
Pour qu'une fonction (f(x)) soit différentiable à (x = a), (f(x)-f(a)) doit converger après avoir été divisée par (x-a).
En d'autres termes, \N( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}) doit converger au fur et à mesure qu'il est divisé par \N{f(x)-f(a)}. \N- doit converger comme \N- x \Nà a \N-.
Si une fonction \N( f(x) \N) est différentiable à \N( x = a \N), alors elle est également continue à \N( x = a \N).
Cependant, si une fonction est continue sur \N( x = a \N), elle n'est pas nécessairement différentiable sur \N( x = a \N).
Si \N( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}) converge, le nombre d'unités de mesure est égal à celui des unités de mesure. \) converge, le numérateur converge vers zéro, ce qui implique la continuité.
Exemples différentiables et continus
Repérer où une fonction n'est pas différentiable.
Pour quelles valeurs de \N( x \N) \N( f(x) \N) n'est-elle pas différentiable ? Pourquoi ?
Fig. 5. Le graphique d'une fonction avec plusieurs types de discontinuités.
Solution:
Cette fonction n'est pas différentiable à plusieurs endroits. De gauche à droite, ce sont :
- À \( x = -8 \), il y a une discontinuité par saut.
- À \N( x = -6,5 \N), il y a une tangente verticale.
- A \N( x = -4 \N), il y a un point aigu.
- A \N( x = 0 \N), il y a une discontinuité infinie.
- Au point x = 2, il y a un autre point aigu.
- À \N( x = 3 \N), il y a une discontinuité amovible.
La fonction ci-dessous est-elle continue et différentiable à \N( x = 0 \N) ?
\[f(x) =\n-{cases}1 & x \lt 0 \n-{cases}x & x \n-{cases}\n-{cases}\n-{cases} \n-{cases} \n-{cases}]
Solution:
Commence par représenter graphiquement cette fonction.
Fig. 6. La fonction est-elle continue et différentiable à \N( x = 0 \N) ?
- Pour déterminer si la fonction est continue à \N( x = 0 \N), nous pouvons soit :
- regarder le graphique de la fonction, ou
- évaluer la limite entre x et 0 des deux parties de la fonction.
- Commençons par évaluer la limite des deux parties de la fonction.
\N- f(x) = \Nlim_{x \Nà 0^{-}} 1 = 1 \N]
\[ f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0 \]
Nous prenons les limites unilatérales des parties des fonctions parce que c'est là que ces parties de la fonction sont valides.
Comme nous obtenons des résultats différents lorsque nous évaluons les limites, nous savons que la fonction n' est pas continue en \( \bf{x = 0} \N). Et, si nous regardons le graphique de la fonction ci-dessus, nous pouvons confirmer que la fonction n'est pas continue à cet endroit.
2. La fonction est-elle différentiable en \N( x = 0 \N) ?
Puisque la fonction n'est pas continue sur \N( x = 0 \N), elle n'est pas non plus différentiable sur \N( \Nbf{x = 0} \N).
La fonction ci-dessous est-elle continue et différentiable sur \N( x = 4 \N) ?
\[f(x) =\N-{cases}x^{2} & x \Nlt 4 \N-{cases}5x-4 & x \Ngeq 4\N-{cases}\N-{cases}]
Solution:
Commence par représenter graphiquement cette fonction.
Fig. 7. La fonction est-elle continue et différentiable à \N( x = 4 \N) ?
- Pour déterminer si la fonction est continue à \N( x = 4 \N), nous pouvons soit :
- regarder le graphique de la fonction, ou
- évaluer la limite à \N( x = 4 \N) des deux parties de la fonction.
- Commençons par évaluer la limite des deux parties de la fonction.
\N- f(x) = \Nlim_{x \Nà 4^{-}} x^{2} = \Nlim_{x \Nà 4^{-}} (4)^{2} = 16 \N]
\[ f(x) = \lim_{x \to 4^{+}} (5x-4) = \lim_{x \to 4^{+}} (5(4)-4) = 16 \]
Nous prenons les limites unilatérales des parties des fonctions parce que c'est là que ces parties de la fonction sont valides.
Comme nous obtenons le même résultat en évaluant les limites, nous savons que la fonction est continue en \( \bf{x = 4} \). Et, si nous regardons le graphique de la fonction ci-dessus, nous pouvons confirmer que la fonction est continue à cet endroit.
2. La fonction est-elle différentiable en \N( x = 4 \N) ?
Pour déterminer si la fonction est différentiable à \( x = 4 \), nous devons utiliser la formule pour la définition d'une dérivée en un point :
\[ f'(a) = \lim_{x \à a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \].
De la même manière que nous avons pris la limite des deux parties de la fonction pour tester la continuité, nous devrons prendre la dérivée des deux parties de la fonction pour tester la différentiabilité.
Pour que la fonction soit différentiable à \N( x = 4 \N), la dérivée des deux parties de la fonction doit non seulement exister, mais aussi être égale. En d'autres termes :
\[f'_{-} (a) \mbox{ doit être égale à } f'_{+} (a) \N].
Pour prendre la dérivée à gauche, nous introduisons \N( x^{2} \N) pour \N( f(x) \N), \N( 16 \N) pour \N( f(a) \N), et \N( 4 \N) pour \N( a \N) et nous résolvons.
\N-[\N-{align}f'_{-}(a) = \Nlim_{x \Nà a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & = \lim_{x \à 4^{-}} \frac{x^2-16}{x-4} \\N-& = \Nlim_{x \Nà 4^{-}} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} \N-& = \Nlim_{x \Nà 4^{-}} (x+4) \N-& = 4+4 \N-f'_{-}(a) & = 8\N- end{align}\N]
Pour prendre la dérivée à droite, nous introduisons \N( 5x-4 \N) pour \N( f(x) \N), \N( 16 \N) pour \N( f(a) \N), et \N( 4 \N) pour \N( a \N) et nous résolvons.
\N-\N- Début{alignement}f'_{+}(a) = \Nlim_{x \Nà a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & = \lim_{x \à 4^{+}} \frac{5x-4-16}{x-4} \N-& = \Nlim_{x \Nà 4^{+}} \frac{5x-20}{x-4} \N-& = \N-lim_{x \Nà 4^{+}} \frac{5(x-4)}{x-4} \N-f'_{+}(a) & = 5\Nend{align}\N]
Par conséquent, bien que les deux limites existent, la fonction n'est pas différentiable en \( \bf{ x = 4 } \) parce que la limite de gauche n'est pas égale à la limite de droite. Et, si nous regardons attentivement le graphique de la fonction, nous pouvons confirmer cette discontinuité parce qu'il y a un point net à \( x = 4 \N).
Dérivées et continuité - Principaux points à retenir
- La limite d'une fonction s'exprime comme suit : \N( \Nlim_{x \Nà a} f(x) = L \N)
- Une fonction est continue au point \N( p \N) si et seulement si tous les éléments suivants sont vrais :
- \N( f(p) \N) existe.
- \N- \N( \Nlim_{x \Nà p} f(x) \N) existe, c'est-à-dire que les limites de gauche et de droite sont égales.
- \N( \Nlim_{x \Nà p} f(x) = p \N).
- La définition de la dérivée est la limite :
- \( f'(x) = \lim_{h \à 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \)
- Nous utilisons les limites pour :
définir la continuité et les dérivées, et
déterminer si les fonctions sont continues et/ou différentiables.
- La différentiabilitéimplique la continuité, mais la continuité n'implique pas la différentiabilité.
- Pour savoir si une fonction est différentiable, regarde son graphique. Si elle ne présente aucune des conditions qui font que la limite est indéfinie, alors elle est différentiable. Ces conditions sont :
les points aigus,
les tangentes verticales,
les discontinuités (saut, amovible, infini).
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