Les choses peuvent se déplacer à des vitesses différentes, alors qu'en est-il du changement de vitesse en fonction du temps ? La vitesse est déjà un changement, tu parlerais donc du changement d'un changement! Ce changement de vitesse en fonction du temps est l'accélération, et c'est aussi le changement du changement de position en fonction du temps.
Signification des dérivés d'ordre supérieur
Le calcul est une question de changement. Lorsque tu trouves la dérivée d'une fonction, tu te retrouves avec une autre fonction, qui peut à son tour être différenciée à nouveau dans certaines circonstances.
Les dérivées des fonctions qui ont déjà été différenciées sont connues sous le nom de dérivées d'ordre supérieur.
Prends par exemple la dérivée de la fonction polynomiale
\[ f(x) = x^5 +2x^4 -x^2 +4x +1,\]
pour laquelle tu peux utiliser la règle de puissance pour trouver sa dérivée, c'est-à-dire
\[ f'(x) = 5x^4 +8x^3 -2x +4,\]
La dérivée que tu viens de trouver est une autre fonction polynomiale, tu peux donc utiliser à nouveau la règle de puissance pour trouver la dérivée de \( f'(x), \N) en obtenant
\N[(f'(x))' = 20x^3+24x^2-2.\N]
Cette fonction que tu viens de trouver est connue sous le nom dedérivée seconde de \( f.\N-) Si tu gardes cette notation, tu peux remarquer qu'il y a beaucoup de parenthèses. Imagine ce qui se passera si tu trouves la troisième ou la quatrième dérivée ! Pour résoudre ce problème, il existe deux notations différentes qui peuvent être utilisées pour écrire les dérivées d'ordre supérieur.
Règles d'écriture des dérivées d'ordre supérieur
Plus que de règles pour écrire les dérivées d'ordre supérieur, nous parlons de notation. Il est utile d'avoir une notation cohérente pour que tout le monde soit sur la même longueur d'onde lorsqu'on parle de dérivés d'ordre supérieur.
Notation principale pour les dérivées d'ordre supérieur
Prends l'exemple précédent d'une dérivée seconde,
\[ \N- gauche( f'(x)\Ndroite)' = 20x^3 +24x^2 -2.\N-]
Plutôt que d'utiliser toutes ces parenthèses, les nombres premiers sont placés l'un à côté de l'autre, c'est-à-dire
\N[ f''(x) = 20x^3 +24x^2 -2.\N]
Si tu différencies à nouveau la fonction, tu auras une troisième dérivée . Celle-ci est indiquée par l'utilisation de trois nombres premiers
\N- f'''(x) = 60x^2 +48x.\N- f'''(x) = 60x^2 +48x.\N]
Avant de passer à la quatrième dérivée, note que si tu continues à ajouter des nombres premiers, ce sera extrêmement lourd. Plutôt que d'ajouter d'autres nombres premiers, un nombre est placé entre parenthèses.
\f^{(4)}(x) = 120x +48.\N- Cette notation est conservée pour les dérivées ultérieures.
Cette notation est conservée pour les dérivées ultérieures.
Le nombre est écrit entre parenthèses afin d'éviter de le confondre avec un exposant.
Notation de Leibniz pour les dérivées d'ordre supérieur
La notation de Leibniz utilise la notation fractionnaire plutôt que les nombres premiers.
Rappelle-toi que les dérivés ne sont pas des fractions. Elles sont écrites comme des fractions uniquement pour des raisons de notation !
Considère à nouveau la fonction de l'exemple précédent. Sa dérivée en utilisant la notation de Leibniz s'écrit comme suit
\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 5x^4 +8x^3 -2x +4. \]
Pour la dérivée seconde, tu dois placer le chiffre 2 de la manière suivante :
\[ \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} = 20x^3 +24x^2 -2. \]
Cette notation est la même pour toutes les dérivées d'ordre supérieur, donc
\[ \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3} = 60x^2 +48x,\]
et
\[ \frac{\mathrm{d}^4f}{\mathrm{d}x^4} = 120x +48\].
Tu peux lire la notation comme suit : La dérivée quatrième de \( f \N) par rapport à \( x \N) quatre fois .
\[\frac{\mathrm{d}^4 f}{\mathrm{d}x^4}\]
Cela a plus de sens lorsque l'on étudie les dérivées partielles, mais cela sort du cadre de cet article !
Formules pour les dérivées d'ordre supérieur
La plupart du temps, il n'y a pas de formule pour trouver les dérivées d'ordre supérieur. Cependant, certaines fonctions ont des modèles qui peuvent être suivis lorsqu'elles sont différenciées.
Considère la fonction exponentielle suivante
\[f(x)=e^{2x}.\N-]
Tu peux trouver sa dérivée en utilisant la règle de la chaîne, qui te donne
\[f'(x)=2e^{2x.}\]
Pour sa dérivée seconde, tu peux utiliser la règle du multiple constant pour obtenir
\[ \i1}f''(x) &= 2\i1}à gauche( 2e^{2x} \i1}à droite) \i1} &= 2^{2} e^{2x} \N- &= 4e^{2x}.\N- [end{align}\N]
Chaque différenciation supplémentaire multipliera la dérivée précédente par un facteur de deux, de sorte que sa cinquième dérivée, par exemple, serait la suivante
\[ \begin{align} f^{(5)}(x) &= 2^{5} e^{2x} \N- &= 32e^{2x}. \Nend{align} \]
En général, sa dérivée \(n\)ième est donnée par
\N[ f^{(n)} (x) = 2^n e^{2x}.\N]
Il existe d'autres fonctions dont les dérivées se rapportent parfaitement à certains modèles, mais cela sort également du cadre de cet article.
Exemples de dérivées d'ordre supérieur
Trouver des dérivées d'ordre supérieur est une tâche simple. Il suffit de différencier la fonction autant de fois que nécessaire ! Voici quelques exemples.
Trouve la troisième dérivée de
\N[ f(x) = 3x^4 +6x^2 -1.\N]
Réponse :
Tu peux différencier cette fonction polynomiale en utilisant la règle de la puissance, ce qui te donnera
\N[ f'(x) = 12x^3 +12x.\N]Le résultat est encore une autre fonction polynomiale, alors continue jusqu'à ce que tu trouves la troisième dérivée, c'est-à-dire
\[ f''(x) = 36x^2+12,\]
et
\N- f''(x) = 72x.\N]
Tu as utilisé la règle de puissance trois fois de suite dans l'exemple ci-dessus ! Tu n'auras pas toujours besoin d'utiliser la même règle de différenciation encore et encore, voici un autre exemple.
Trouve la troisième dérivée de
\[g(x) = \sin{4x}.\N]
Réponse :
Tu peux ici utiliser la règle de la chaîne et le fait que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, donc
\N- g'(x) = 4\cos{4x}.\N- g'(x) = 4\cos{4x}.\N]
Pour trouver la dérivée suivante, tu dois maintenant utiliser la règle du multiple constant et le fait que la dérivée de la fonction cosinus est la fonction sinus négative, donc
\N[ \N- g''(x) &= 4 \Nà gauche( -4\Nsin{4x}\Nà droite) \N- &= -16\Nsin{4x}.\N- \N- \Nend{align}\N]
Tu as à nouveau la fonction sinus, différencie-la à nouveau pour obtenir la troisième dérivée
\[ \begin{align} g'''(x) &= -16 \left( 4\cos{4x} \right) \\ &= -64\cos{4x}. \N- [Fin{align}\N-]
Tu remarques une tendance ?
Voyons maintenant la dérivée d'une autre fonction polynomiale.
Trouve la dérivée quatrième de
\[h(x) = x^2 +3x +1.\N-]
Réponse :
Comme il s'agit d'une fonction polynomiale, tu dois appliquer la règle de la puissance plusieurs fois de suite. Tu obtiendras ainsi
\[ h'(x) =2x+3,\]
puis
\N- h''(x) = 2. \N]
Note qu'à ce stade, la dérivée est maintenant une fonction constante. Par conséquent, la dérivée suivante (et toutes les dérivées suivantes !) sera égale à 0, c'est-à-dire
\N- h'''(x) = 0,\N]
et
\N- h^{(4)} (x) = 0,\N]
Les dérivées d'ordre supérieur des fonctions polynomiales tendront à devenir nulles à un moment donné. Si tu différencies une fonction polynomiale plus de fois que son degré, la dérivée deviendra nulle.
Applications des dérivées d'ordre supérieur
Applications des dérivées d'ordre supérieur en mathématiques
La dérivée seconde d'une fonction nous donne des informations sur les maxima et minima d'une fonction et sur sa concavité. Pour plus d'informations sur ces sujets, tu peux consulter nos articles sur les sujets suivants :
Le test de la dérivée seconde
Applications des dérivées d'ordre supérieur en science
L'accélération est un excellent exemple de dérivées d'ordre supérieur.
L'accélération est la dérivée seconde de la position par rapport au temps.
Cela signifie que si tu as une fonction qui décrit la position d'un objet, alors sa dérivée seconde décrira son accélération.
La position d'un objet dans le temps est donnée par la fonction
\N[ s(t) = 100-4.9t^2,\N]
où \(t) est mesuré en secondes et \(s(t)\) est mesuré en mètres. Trouve son accélération.
Réponse :
Ici, tu dois différencier la fonction de position pour trouver la vitesse de l'objet. Cela peut se faire à l'aide de la règle de la puissance, c'est-à-dire
\N[ s'(t) = -9.8t.\N]
Remarque que les unités de \(s'(t)\) sont des mètres par seconde ! C'est parce que tu peux considérer la dérivée comme une pente, c'est-à-dire une augmentation par rapport à une diminution. L'ascension est exprimée en mètres et la descente en secondes, donc
\frac{\mbox{élévation}}{\mbox{course}} = \frac{\mbox{mètres}}{\mbox{seconde}} = \frac{m}{s}.\]
Maintenant, puisque l'accélération est la dérivée de la vitesse, tu dois différencier à nouveau pour la trouver, c'est-à-dire
\N-[ s''(t) = -9.8.\N]
Mais quelles sont les unités ? Rappelle-toi qu'il s'agit de la dérivée de la vitesse, dont l'unité est
\N( m/s\N). Donc pour l'accélération, les unités sont
\frac[ \frac{\mbox{lever}}{\mbox{courir}} = \frac{\frac{\mbox{mètres}}{\mbox{seconde}}{\mbox{seconde}} = \frac{m}{s^2}.\]
L'accélération de l'objet est la constante \N(-9,8 m/s^2\N). Il s'agit d'un objet en chute libre !
Les dérivées du second ordre sont également présentes dans des phénomènes plus naturels. Il s'agit notamment de :
- La diffusion de la chaleur à travers un matériau.
- La propagation des ondes.
- La diffusion d'une substance dans un liquide.
- La mécanique des fluides.
Dérivées d'ordre supérieur - Principaux enseignements
- Les dérivées d'ordre supérieur sont obtenues en différenciant une fonction plus d'une fois.
- La dérivée seconde est obtenue en différenciant deux fois, la dérivée troisième en différenciant trois fois, et ainsi de suite.
- Il existe deux façons de désigner les dérivées d'ordre supérieur.
- La notation première utilise jusqu'à trois nombres premiers. Pour les dérivées suivantes (quatrième, cinquième, etc.), un nombre entre parenthèses est utilisé à la place.
- Une dérivée seconde est notée \N( f''(x).\N)
- Une dérivée cinquième est notée \( f^{(5)}(x). \)
- La notation de Leibniz utilise des nombres sans parenthèses.
- Une dérivée seconde est notée \( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} .\r)
- Une cinquième dérivée est notée \( \frac{\mathrm{d}^5 f}{\mathrm{d}x^5} .\N}.
- La notation première utilise jusqu'à trois nombres premiers. Pour les dérivées suivantes (quatrième, cinquième, etc.), un nombre entre parenthèses est utilisé à la place.
- Les dérivées d'ordre supérieur sont utilisées pour décrire plusieurs phénomènes naturels comme la diffusion de la chaleur, la propagation des ondes et la mécanique des fluides.
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