Un ensemble d'outils - pixabay.com
Demander la dérivée des fonctions trigonométriques inverses est une tâche courante en calcul différentiel, mais elle joue également un rôle majeur en calcul intégral où tu utilises les fonctions trigonométriques inverses comme outils pour trouver certaines intégrales. C'est pourquoi nous allons voir comment trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses.
Notation des fonctions trigonométriques inverses
Avant de commencer, nous allons parler brièvement de la notation utilisée pour les fonctions trigonométriques inverses, qui sont également connues sous le nom de fonctions d'arcus.
La fonction sinus inverse est également connue sous le nom de fonction arcsine. Il existe deux notations équivalentes pour cette fonction :
$$\sin^{-1}{x}\equiv\arcsin{x}.$$
Les autres fonctions trigonométriques inverses sont notées de la même manière :
$$\cos^{-1}{x}\equiv\arccos{x},$$
$$\tan^{-1}{x}\equiv\arctan{x},$$
$$\cot^{-1}{x}\equiv\mathrm{arccot}{\,x},$$
$$\sec^{-1}{x}\equiv\mathrm{arcsec}{\,x},$$
et
$$\csc^{-1}{x}\equiv\mathrm{arccsc}{\,x}.$$
Rappelle-toi que \( \equiv \) signifie que les deux choses sont équivalentes. En d'autres termes, elles sont exactement la même chose.
Il convient de noter que le moins un n'est pas un exposant. Il est utilisé pour indiquer que la fonction est une inverse, contrairement à \( \sin^{2}{x},\) où le deux est un exposant qui nous indique que la sortie de la fonction sinus doit être élevée au carré.
Formules pour les dérivés des fonctions trigonométriques inverses
La notation étant clarifiée, examinons les formules des dérivées des six fonctions trigonométriques inverses.
Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont données comme suit :
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}{\,x}=-\frac{1}{1+x^2},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}{\,x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$
et
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\,x}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Méthode pour trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses
Tout comme pour les dérivées des autres fonctions, la méthode pour trouver la dérivée d'une fonction trigonométrique inverse dépend de la fonction. Voyons comment procéder.
Identifie quelle(s) règle(s) de différenciation est (sont) pertinente(s).
Utilise la ou les règles de différenciation ci-dessus.
Écris la (les) dérivée(s) de la (des) fonction(s) trigonométrique(s) inverse(s), ainsi que toute autre fonction impliquée dans le calcul.
Comme d'habitude, on comprend mieux ces étapes en regardant des exemples. Passons à la section suivante !
Exemples de dérivées de fonctions trigonométriques inverses
Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses peuvent être utilisées avec d'autres règles de différenciation comme la règle de la chaîne, la règle du produit et la règle du quotient. Voyons un exemple de chaque cas !
Trouve la dérivée de \( f(x)=\arcsin{x^2}.\N-)
Réponse :
- Identifie la règle de différenciation pertinente.
La fonction est écrite comme une composition de fonctions et il n'y a pas de produits ou de quotients impliqués, donc tu peux faire cette dérivée en utilisant la règle de la chaîne.
2. Utilise la règle de différenciation, qui dans ce cas est la règle de la chaîne.
Puisque tu utilises la règle de la chaîne, tu dois commencer par laisser \(u=x^2\) et ensuite appliquer la règle de la chaîne, donc
$$f'(x)=\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\arcsin{u} \right)\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$
3.Écris les dérivées des fonctions impliquées dans le calcul.
Tu peux maintenant écrire la dérivée de la fonction sinus inverse dans l'expression ci-dessus
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$
Tu devras également trouver la dérivée restante. Puisque \(u=x^2,\N) tu peux trouver sa dérivée en utilisant la règle de la puissance,
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x,$$
et la substitue ensuite, ce qui donne
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot 2x.$$
Chaque fois que tu fais un changement de variable, tu dois l'annuler à la fin, alors remplace \( u=x^2 \) et simplifie, c'est-à-dire
$$\begin{align}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-\left( x^2 \right)^2}}\cdot 2x \[0.5em] f'(x) &= \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}.\end{align}$$$.
Qu'en est-il de la règle du produit ?
Trouve la dérivée de \(g(x)=\left(\arctan{x}\right) \left(\cos{x}\right). \)
Réponse :
1. Identifie la règle de différenciation pertinente.
La fonction est écrite comme un produit de fonctions, tu dois donc utiliser la règle du produit.
2. Utilise la règle de différenciation, dans ce cas la règle du produit.
Les produits impliqués sont la fonction tangente inverse et la fonction cosinus, donc
$$g'(x)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x} \right) \cos{x} + \arctan{x} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x} \right).$$
3. Ecris les dérivées des fonctions impliquées dans le calcul.
Tu peux trouver ci-dessus la dérivée de la fonction tangente inverse, et la dérivée de la fonction cosinus est la négative de la fonction sinus, donc
$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{1}{1+x^2} \right)\cos{x} + \arctan{x} \N-\Ngauche( -\Nsin{x} \Ndroite) \N[0.5em] &= \Nfrac{\cos{x}}{1+x^2}-\Ngauche(\Narctan{x}\Ndroite) \Ngauche(\Nsin{x} \Ndroite). \n-{align}$$
Preuves des dérivées des fonctions trigonométriques inverses
Tu as peut-être remarqué que les dérivées des fonctions trigonométriques impliquent d'autres fonctions trigonométriques, mais pas les dérivées des fonctions trigonométriques inverses. Pour mieux comprendre pourquoi cela se produit, nous allons examiner la preuve de la dérivée de chaque fonction trigonométrique inverse.
Dérivée du sinus inverse
Commençons par rappeler que la fonction sinus inverse est liée à la fonction sinus par le fait qu'elles sont les inverses l'une de l'autre. Cela signifie que
$$y=\arcsin{x} \mbox{ est vrai si et seulement si } \sin{y}=x.$$
Ensuite, différencie les deux côtés de \( \sin{y}=x,\N) de sorte que
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x.$$
La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, mais comme \N( y\N) est une fonction de \N( x, \N), tu dois utiliser la règle de la chaîne pour le côté gauche de l'équation. Le côté droit de l'équation est la dérivée de \N(x,\N), il est donc égal à 1. Cela te donnera
$$(\cos{y})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1,$$
où tu peux utiliser l'identité trigonométrique de Pythagore,
$$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1,$$ pour écrire le cosinus en termes de sinus. Ce faisant, tu obtiens
$$\left(\sqrt{1-\sin^2{y}}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1.$$
Ensuite, substitue \( \sin{y}=x \) pour obtenir
$$\left(\sqrt{1-x^2}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1.$$
Puis isole la dérivée de \( y \N),
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
qui est la formule de différenciation de la fonction sinus inverse
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Reprenons la preuve de la dérivée de la fonction sinus inverse. Après avoir effectué la différenciation implicite, tu te retrouves avec l'équation suivante :
$$\cos{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1.$$
Si tu substitues \( y=\arcsin{x} \) tu auras une composition d'une fonction trigonométrique et d'une fonction trigonométrique inverse, c'est à dire
$$\cos{\left(\arcsin{x}\right)}.$$
Il existe une méthode astucieuse qui te permet d'utiliser un triangle auxiliaire pour trouver cette composition. Tout d'abord, construis un triangle en utilisant \N(\Nsin{y}=x,\N), ce qui signifie que le rapport entre la jambe opposée et l'hypoténuse est égal à \N(x.\N) Cette idée est mieux comprise si tu l'écris sous la forme suivante
$$\begin{align} \sin{y} &= x\\[0.5em] &= \frac{x}{1}.\Nend{align}$$$.
Ici, tu dois considérer \( y \N) comme s'il s'agissait d'un angle.
Fig. 1. Triangle auxiliaire construit avec \(sin(y)=x\).
La jambe restante peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore
$$a^2+b^2=c^2,$$
où \N(a=x,\N) \N(c=1,\N) et \N( b,\N) est la jambe manquante, donc
$$\begin{align} b &= \sqrt{c^2-a^2} \\ &= \sqrt{1-x^2}. \n-{align}$$$
Fig. 2. La branche restante du triangle auxiliaire.
Maintenant que tu connais la longueur de la branche adjacente, tu peux écrire le cosinus de \(y\) comme le rapport entre la branche adjacente et l'hypothénuse.
$$\begin{align} \cos{y} &= \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} \\N- &= \sqrt{1-x^2}.\N-end{align}$$$.
Avec ces informations, tu peux maintenant écrire la dérivée de la fonction sinus inverse,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Essaie de faire la même chose avec les dérivées des autres fonctions trigonométriques inverses !
Tu peux essayer de trouver les dérivées du cosinus inverse, de la tangente inverse et de la cotangente inverse de la même manière.
Dérivée de la cosécante inverse
Comme tu as déjà trouvé la dérivée de la fonction sinus inverse, tu peux l'utiliser à ton avantage ! Comme la fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, tu peux écrire l'identité suivante
$$y=\mathrm{arccsc}{\,x}=\arcsin{\left(\frac{1}{x}\right)}.$$
On peut la différencier en utilisant la règle de la chaîne et la dérivée de la fonction sinus inverse. Soit
$$u=\frac{1}{x}$$$
et trouvons la dérivée,
$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\arcsin{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\[0.5em] &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}. \Nend{align}$$
Substitue \(u \N) et sa dérivée pour obtenir
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}.$$
Utilise ensuite l'expression résultante avec un peu d'algèbre pour trouver
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right).$$
Tu peux réécrire cette dernière équation en travaillant l'expression à l'intérieur de la racine et en utilisant le fait que la racine carrée de \( x\N) au carré est égale à la valeur absolue de \( x\N), c'est à dire
$$\sqrt{x^2}=|x|.$$
A partir de là, tu peux encore simplifier l'équation pour obtenir
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$
ce qui donne la dérivée de la fonction cosécante inverse
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\, x} =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
La dérivée de la sécante inverse peut être trouvée de la même façon, il suffit d'utiliser la dérivée du cosinus inverse à la place.
Graphiques des dérivées des fonctions trigonométriques inverses
Tu as peut-être remarqué que, contrairement aux dérivées des fonctions trigonométriques, les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont des fonctions rationnelles qui impliquent parfois des racines carrées. Cela semble un peu extravagant, mais les graphiques ont l'air vraiment cool ! Jetons-y un coup d'œil !
Sinus et cosinus inversés
Lorsque tu regardes les graphiques des dérivées des fonctions trigonométriques inverses, tu dois prêter une attention particulière à leur domaine. Dans le cas du sinus inverse et du cosinus inverse, le domaine est le suivant
$$-1 \leq x \leq 1,$$
le graphique de la dérivée du sinus inverse sera donc représenté sur le même intervalle.
Fig. 3. Graphique de la dérivée de la fonction sinus inverse.
Puisque la dérivée du cosinus inverse est le négatif du graphique ci-dessus, le graphique du cosinus inverse est le graphique du sinus inverse réfléchi sur l'axe des x.
Fig. 4. Graphique de la dérivée de la fonction cosinus inverse.
Note qu'il y a des asymptotes à \( x=-1 \) et \( x=1.\).
Tangente inverse et cotangente
Cette fois-ci, commence par rappeler que le domaine des fonctions tangente et cotangente sont tous des nombres réels, de sorte que leurs graphiques s'étendent à l'infini. Le graphique de la dérivée de la tangente inverse est donné ci-dessous.
Fig. 5. Graphique de la dérivée de la fonction tangente inverse.
Une fois encore, la dérivée de la cotangente inverse a le signe opposé à celui de la dérivée de la tangente inverse, ce qui donne lieu à une autre réflexion sur l'axe des x.
Fig. 6. Graphique de la dérivée de la fonction cotangente inverse.
Dans ce cas, il n'y a pas d'asymptotes verticales !
Sécante et cosécante inverses
Pour la sécante inverse et la cosécante inverse, il convient de noter que le domaine présente une discontinuité, c'est-à-dire que
$$-\infty < x \leq -1 \, \mbox{ and } \N- 1 \N- x < \Ninfty,$$
donc le graphique de leur dérivée aura une lacune pour \N( -1 < x < 1.\N).
Fig. 7. Graphique de la dérivée de la fonction sécante inverse.
Enfin, le graphique de la dérivée de la cosécante inverse est également une réflexion de la dérivée de la sécante inverse sur l'axe des x.
Fig. 8. Graphique de la dérivée de la fonction cosécante inverse.
Dérivés des fonctions trigonométriques inverses - Principaux enseignements
- L'inverse de la fonction sinus est connue sous le nom de fonction arcsine. Les autres fonctions trigonométriques inverses sont nommées de la même façon.
- Les dérivées des six fonctions trigonométriques inverses sont les suivantes :
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}{\,x}=-\frac{1}{1+x^2}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}{\,x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\,x}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
- Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses peuvent être prouvées en utilisant la différenciation implicite et en appliquant les identités trigonométriques de Pythagore.
- Un triangle auxiliaire peut être utilisé si tu as du mal à te souvenir des identités trigonométriques de Pythagore.
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