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Un scénario courant présent sur une plage, pixabay.com.
Qu'est-ce que toutes ces choses ont en commun ? La réponse est que leur mouvement est périodique. Lesfonctions périod iques décrivent des choses comme les vagues de la mer. Les fonctions périodiques sont des fonctions qui répètent leurs sorties à intervalles réguliers. Les fonctions trigonométriques sont des exemples parfaits de fonctions périodiques. C'est pourquoi il est essentiel de savoir différencier les fonctions trigonométriques.
La signification de la dérivée des fonctions trigonométriques
Tu te demandes peut-être ce que signifie trouver la dérivée d'une fonction trigonométrique.
Trouver la dérivée d'une fonction signifie que tu trouves une autre fonction qui décrit son taux de changement.
En d'autres termes, la dérivée d'une fonction est une autre fonction qui décrit comment la fonction originale change. Cela se fait indépendamment du type de fonction auquel tu as affaire, et les fonctions trigonométriques ne font pas exception !
Les formules sont généralement données pour les dérivées de toutes sortes de fonctions. Tu trouveras ici comment trouver les dérivées des fonctions trigonométriques.
Formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques
Il existe six fonctions trigonométriques principales :
La fonction sinus : \N( \Nsin{x}.\N)
La fonction Cosinus : \N ( \Ncos{x}. \N)
La fonction tangente : \N ( \Ntan{x}.\N)
La fonction Cotangente : \N ( \Ncot{x}.\N)
La fonction sécante : \N ( \Nsec{x}.\N)
La fonction Cosécante : \ ( \csc{x}.\N)
Les fonctions trigonométriques sont le pont entre la trigonométrie et le calcul. Les six fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques.
Pour un rappel sur les graphiques de ces fonctions et leurs périodes, voir Fonctions trigonométriques.
Examinons maintenant chacune de leurs dérivées.
Les dérivées des principales fonctions trigonométriques sont :
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}=-\sin{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan{x}=\sec^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x}=-\csc^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x}=\left( \sec{x} \right)\left(\tan{x}\right),$$
et
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\left( \csc{x} \right)\left(\cot{x}\right).$$
Remarque que toutes les dérivées des fonctions trigonométriques impliquent d'autres fonctions trigonométriques. Cette connexion est une signature de la périodicité des fonctions trigonométriques !
Voyons comment trouver la dérivée de certaines fonctions trigonométriques en utilisant les dérivées ci-dessus ainsi que les règles de différenciation de base.
Dérivées des fonctions trigonométriques et règle de la chaîne
Voyons comment différencier les fonctions trigonométriques à l'aide de la règle de la chaîne.
Trouve la dérivée de \( f(x)=\sin{2x}.\N)
Réponse :
Pour trouver cette dérivée, tu devras utiliser la règle de la chaîne. Soit \( u=2x.\N- Puis par la règle de puissance,
$$u'(x)=2.$$
Alors maintenant, en utilisant la règle de la chaîne,
$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\sin{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left( \cos{u} \right) (2) \left( \cos{u} \right) &= 2\cos{u}. \n-{align}$$.
Enfin, substitue \( u=2x, \N) pour que
$$f'(x)=2\cos{2x}.$$
N'oublie pas d'élever au carré la fonction sécante lorsque tu différencies la fonction tangente !
Trouve la dérivée de \( g(x)=\tan{x^3}.\N-)
Réponse :
Commence par laisser \( u=x^3.\) Par la règle de puissance,
$$u'(x)=3x^2.$$
Ensuite, utilise la règle de la chaîne,
$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\tan{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \left[0.5em] &= \left(\sec^2{u} \right) (3x^2) \\N &= 3x^2\sec^2{u}, \end{align}$$$.
et remplacer \N( u=x^3,\N) en obtenant
$$g'(x)=3x^2\sec^2{x^3}.$$
N'oublie pas que tu as deux fonctions pour les dérivées des fonctions sécante et cosécante. N'oublie pas l'une ou l'autre lors de la substitution de \N( u.\N).
Trouve la dérivée de \( h(x)=\csc{2x^2}.\N-)
Réponse :
Commence par laisser \( u=2x^2.\NPar la règle de puissance,
$$u'(x)=4x.$$
Ensuite, utilise la règle de la chaîne pour obtenir
$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\csc{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \left[0.5em] &= \left(-\csc{u} \right) \left(\cot{u} \right) (4x) \\left &= -4x\left(\csc{u}\right) \left(\cot{u} \right) , \end{align}$$$.
et substitue \( u=2x^2\) pour obtenir
$$h'(x)=-4x\left(\csc{2x^2}\right) \left(\cot{2x^2} \right).$$
Exemples de dérivées de fonctions trigonométriques
Le calcul, c'est avant tout une question d'entraînement ! Tu dois aussi être capable d'utiliser d'autres règles de différenciation, comme la règle du produit et la règle du quotient.
Trouve la dérivée de f(x)=x à gauche (\sin{x} à droite).
Réponse :
Puisque tu as un produit de fonctions, commence par utiliser la règle du produit, c'est-à-dire
$$f'(x)=\Nà gauche(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \Nà droite) \sin{x} + x \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right).$$
Tu peux trouver la dérivée de \( x \N) en utilisant la règle de puissance,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x= 1,$$
et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x}.$$
Sachant cela, la dérivée de \( f(x) \N) est
$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x} x \right) \sin{x} + x \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right) \[0.5em] &= (1)\sin{x}+x\left( \cos{x} \right) \left &= \sin{x}+x \cos{x}.\end{align}$$$
Et la règle du quotient ? Pas de problème !
Trouve la dérivée de $$ g(x) = \frac{\tan{x}}{x^2}.$$
Réponse :
Tu as maintenant un quotient de fonctions, alors commence par utiliser la règle du quotient, c'est-à-dire
$$g'(x)=\frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x} \right)x^2-\tan{x}\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 \right) }{\left( x^2 \right)^2}.$$$
Tu peux trouver la dérivée de \( x^2 \N) avec la règle de puissance,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2=2x,$$
et la dérivée de la fonction tangente est la fonction sécante au carré
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x}=\sec^2{x}.$$
Enfin, substitue les dérivées ci-dessus dans la règle du quotient et simplifie, ce qui donne
$$\begin{align}g'(x) &= \frac{ \left( \sec^2{x} \right) x^2- \left( \tan{x} \right) (2x) }{ \left( x^2 \right) ^2} \N- [0.5em] &= \frac{x^2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \Nsec^2{x} \N- -2x \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- }{x^4} \N-[0.5em] &= \frac{x \Nà gauche( \Nsec^2{x} \Nà droite) - 2\Ntan{x}}{x^3} .\Nend{align}$$$.
Il est temps de donner un autre exemple utilisant la règle de la chaîne.
Trouve la dérivée de \( h(x)=\sin^2{x}.\N-)
Réponse :
Comme la fonction sinus est au carré, tu as affaire à une composition de fonctions, d'où la nécessité d'utiliser la règle de la chaîne. Commence par laisser \( u=\sin{x}.\N-) Sa dérivée est la fonction cosinus.
$$u'(x)=\cos{x}.$$
Ensuite, utilise la règle de la chaîne,
$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}u^2 \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \\[0.5em] &= \left(2u \right) \left( \cos{x} \right) \\left &= 2u \left(\cos{u} \right), \end{align}$$$.
où tu as utilisé la règle de puissance pour trouver la dérivée de \( u^2.\N-) Enfin, substitue \( u=\sin{x},\N-) et tu obtiendras
$$h'(x)=2 \left( \sin{x} \right) \left( \cos{x} \right) .$$
N'oublie pas que c'est en forgeant qu'on devient forgeron !
Erreurs courantes
Tout le monde fait des erreurs de temps en temps. Tu verras ici quelques erreurs courantes lors de la différenciation des fonctions trigonométriques.
Une erreur courante consiste à se tromper de signe lors de la différenciation de la fonction cosinus, de la fonction cotangente ou de la fonction cosécante, c'est-à-dire
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} \neq \sin{x}. $$
N'oublie pas de mettre le signe négatif !
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x}. $$
Un moyen facile de se souvenir des signes des dérivées des fonctions trigonométriques est de prêter attention au nom de la fonction. S'il commence par "co", comme le cosinus, la cotangenteet la cosécante, alors la dérivée a un signe négatif.
Une autre erreur fréquente se produit lorsqu'on différencie la fonction sécante ou la fonction cosécante. Rappelle-toi que lorsque tu différencies ces fonctions, tu dois écrire les entrées correctes dans tous les cas de fonctions trigonométriques.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} \neq 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x} \right). $$
Ici, il manque le carré de l'entrée de la fonction tangente. Trouve la dérivée en utilisant la formule de la dérivée de la fonction sécante. N'oublie pas d'utiliser toute technique de différenciation pertinente, comme la règle de la chaîne dans ce cas.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} = 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x^2} \right). $$
Fais attention si tu différencies des fonctions trigonométriques avec différentes entrées. Faire les choses étape par étape t'aidera à ne pas mélanger les entrées !
Dérivées des fonctions trigonométriques inverses
Tu peux aussi avoir besoin de trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses, comme le sinus inverse, la tangente inverse, etc. Consulte notre article sur les dérivées des fonctions trigonométriques inverses pour en savoir plus !
Dérivées des fonctions trigonométriques - Principaux enseignements
- Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques. Les fonctions trigonométriques sont utilisées pour décrire des phénomènes périodiques.
- Les dérivées des six principales fonctions trigonométriques sont les suivantes :$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x},$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x}
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}=-\sin{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan{x}=\sec^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x}=-\csc^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x}=\left( \sec{x} \right)\left(\tan{x}\right),$$
et
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\left( \csc{x} \right)\left(\cot{x}\right).$$
- Les erreurs les plus courantes lors de la différenciation des fonctions trigonométriques sont les suivantes :
- Se tromper de signe. Rappelle-toi que les fonctions qui commencent par "co" ont un signe négatif dans leur dérivée.
- Mélanger les entrées des dérivées de la fonction sécante et de la fonction cosécante. N'oublie pas de placer la bonne entrée dans chaque fonction trigonométrique après l'avoir différenciée.
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