Dérivées des fonctions trigonométriques

Trouve la dérivée de \( f(x)=\sin{2x}.\N)

Réponse :

Pour trouver cette dérivée, tu devras utiliser la règle de la chaîne. Soit \( u=2x.\N- Puis par la règle de puissance,

$$u'(x)=2.$$

Alors maintenant, en utilisant la règle de la chaîne,

$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\sin{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left( \cos{u} \right) (2) \left( \cos{u} \right) &= 2\cos{u}. \n-{align}$$.

Enfin, substitue \( u=2x, \N) pour que

$$f'(x)=2\cos{2x}.$$

Trouve la dérivée de \( g(x)=\tan{x^3}.\N-)

Réponse :

Commence par laisser \( u=x^3.\) Par la règle de puissance,

$$u'(x)=3x^2.$$

Ensuite, utilise la règle de la chaîne,

$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\tan{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \left[0.5em] &= \left(\sec^2{u} \right) (3x^2) \\N &= 3x^2\sec^2{u}, \end{align}$$$.

et remplacer \N( u=x^3,\N) en obtenant

$$g'(x)=3x^2\sec^2{x^3}.$$

Trouve la dérivée de \( h(x)=\csc{2x^2}.\N-)

Réponse :

Commence par laisser \( u=2x^2.\NPar la règle de puissance,

$$u'(x)=4x.$$

Ensuite, utilise la règle de la chaîne pour obtenir

$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}\csc{u} \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \left[0.5em] &= \left(-\csc{u} \right) \left(\cot{u} \right) (4x) \\left &= -4x\left(\csc{u}\right) \left(\cot{u} \right) , \end{align}$$$.

et substitue \( u=2x^2\) pour obtenir

$$h'(x)=-4x\left(\csc{2x^2}\right) \left(\cot{2x^2} \right).$$

Trouve la dérivée de f(x)=x à gauche (\sin{x} à droite).

Réponse :

Puisque tu as un produit de fonctions, commence par utiliser la règle du produit, c'est-à-dire

$$f'(x)=\Nà gauche(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \Nà droite) \sin{x} + x \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right).$$

Tu peux trouver la dérivée de \( x \N) en utilisant la règle de puissance,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x= 1,$$

et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x}.$$

Sachant cela, la dérivée de \( f(x) \N) est

$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}x} x \right) \sin{x} + x \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right) \[0.5em] &= (1)\sin{x}+x\left( \cos{x} \right) \left &= \sin{x}+x \cos{x}.\end{align}$$$

Trouve la dérivée de $$ g(x) = \frac{\tan{x}}{x^2}.$$

Réponse :

Tu as maintenant un quotient de fonctions, alors commence par utiliser la règle du quotient, c'est-à-dire

$$g'(x)=\frac{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x} \right)x^2-\tan{x}\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 \right) }{\left( x^2 \right)^2}.$$$

Tu peux trouver la dérivée de \( x^2 \N) avec la règle de puissance,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2=2x,$$

et la dérivée de la fonction tangente est la fonction sécante au carré

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x}=\sec^2{x}.$$

Enfin, substitue les dérivées ci-dessus dans la règle du quotient et simplifie, ce qui donne

$$\begin{align}g'(x) &= \frac{ \left( \sec^2{x} \right) x^2- \left( \tan{x} \right) (2x) }{ \left( x^2 \right) ^2} \N- [0.5em] &= \frac{x^2 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \Nsec^2{x} \N- -2x \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- }{x^4} \N-[0.5em] &= \frac{x \Nà gauche( \Nsec^2{x} \Nà droite) - 2\Ntan{x}}{x^3} .\Nend{align}$$$.

Trouve la dérivée de \( h(x)=\sin^2{x}.\N-)

Réponse :

Comme la fonction sinus est au carré, tu as affaire à une composition de fonctions, d'où la nécessité d'utiliser la règle de la chaîne. Commence par laisser \( u=\sin{x}.\N-) Sa dérivée est la fonction cosinus.

$$u'(x)=\cos{x}.$$

Ensuite, utilise la règle de la chaîne,

$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u}u^2 \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \\[0.5em] &= \left(2u \right) \left( \cos{x} \right) \\left &= 2u \left(\cos{u} \right), \end{align}$$$.

où tu as utilisé la règle de puissance pour trouver la dérivée de \( u^2.\N-) Enfin, substitue \( u=\sin{x},\N-) et tu obtiendras

$$h'(x)=2 \left( \sin{x} \right) \left( \cos{x} \right) .$$

Une erreur courante consiste à se tromper de signe lors de la différenciation de la fonction cosinus, de la fonction cotangente ou de la fonction cosécante, c'est-à-dire

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} \neq \sin{x}. $$

N'oublie pas de mettre le signe négatif !

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x}. $$

Une autre erreur fréquente se produit lorsqu'on différencie la fonction sécante ou la fonction cosécante. Rappelle-toi que lorsque tu différencies ces fonctions, tu dois écrire les entrées correctes dans tous les cas de fonctions trigonométriques.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} \neq 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x} \right). $$

Ici, il manque le carré de l'entrée de la fonction tangente. Trouve la dérivée en utilisant la formule de la dérivée de la fonction sécante. N'oublie pas d'utiliser toute technique de différenciation pertinente, comme la règle de la chaîne dans ce cas.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} = 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x^2} \right). $$