L'écran d'un électrocardiogramme
Les informations recueillies par un appareil sont d'abord transformées à l'aide d'une fonction, afin de pouvoir être traitées. Après cela, il est nécessaire d'annuler la transformation à l'aide d'une fonction inverse. Ce traitement peut consister à trouver une dérivée, et parfois il est même possible de travailler sur la dérivée de la fonction inverse elle-même ! Dans cet article, nous allons voir comment procéder.
Règle pour la dérivée des fonctions inverses
Si tu connais la dérivée d'une fonction, tu peux trouver la dérivée de son inverse sans utiliser la définition d'une dérivée. Voici comment tu peux procéder.
Soit \Nf(x) \Nune fonction inversible et différentiable, et \Nf(f^{-1}(x) \Nson inverse. Si \( f^{-1}(x) \) est différentiable, sa dérivée est donnée par la formule suivante :
$$\left( f^{-1} \right)' (x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$
Cela signifie que tu dois trouver la dérivée de \Nf(x) \Net trouver sa composition avec \Nf^{-1}(x). \) En supposant que l'on connaisse \Nf( f^{-1}(x) \N), cette procédure peut être résumée par les étapes suivantes :
Trouve la dérivée de \( f(x) \), c'est-à-dire trouve \( f'(x). \)
Trouve la composition de \Nf' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite). \)
Prends la réciproque de \( f' \left( f^{-1}(x) \rright). \)
Pour mieux comprendre, regarde quelques exemples.
Dérivées de fonctions inverses Exemples
Il existe une grande variété de fonctions inversibles que nous pouvons différencier.
Dérivées de fonctions irrationnelles
Les fonctions de racine carrée et les fonctions quadratiques sont des inverses l'une de l'autre. Tu peux trouver la dérivée d'une fonction quadratique en utilisant la règle de la puissance, puis utiliser ce résultat pour trouver la dérivée d'une fonction racine carrée.
Considère la fonction \N( f(x)=x^2. \) Son inverse est la fonction racine carrée \( f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \) Trouve la dérivée de la fonction racine carrée.
Réponds :
1. Trouve la dérivée de \( f(x).\N)
Pour utiliser la formule de la dérivée d'une fonction inverse, tu dois d'abord trouver la dérivée de \( f(x). \) Dans ce cas, tu peux utiliser la règle de la puissance, donc
$$f'(x)=2x.$$
2. Trouve la composition de f' à gauche de f^{-1}(x) à droite. \)
Tu peux trouver la composition en utilisant \Nf^{-1}(x) \Ncomme entrée de \Nf'(x). \) Prends la dérivée
$$f'(x)=2x,$$
et remplace \N(x \N) par \N(\Nsqrt{x},\N) ce qui te donne
$$f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2\sqrt{x}.$$
3. Prends la réciproque de \N( f' \Ngauche( f^{-1}(x) \Ndroite). \)
La dernière étape consiste à prendre la réciproque de l'expression que tu viens d'obtenir à la dernière étape, donc
$$\left( f^{-1}\right)' (x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Voyons maintenant un exemple de fonction cubique.
Considère la fonction \N( g(x)=x^3. \) Son inverse est la fonction racine cubique \( g^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}.\N-) Trouve la dérivée de la fonction racine cubique.
Réponse :
Tu peux trouver la dérivée de la fonction racine cubique en utilisant une procédure similaire.
1. Trouve la dérivée de g(x).
Tu peux utiliser la règle de puissance pour trouver la dérivée de \N( g(x), \N)
$$g'(x)=3x^2.$$
2. Trouve la composition de \N( g' \Nà gauche( g^{-1}(x) \Nà droite). \)
Ensuite, tu dois trouver la composition de la dérivée ci-dessus avec la fonction racine cubique, donc
$$\begin{align}g' \left( g^{-1}(x) \right) &= 3\left( \sqrt[3]{x}\right)^2 \[0.5em] &=3x^{^2/_3}. \Nend{align}$$
3.Prends la réciproque de \N( g' \Nà gauche( g^{-1}(x) \Nà droite). \)
Enfin, prends la réciproque de l'expression que tu as obtenue à l'étape précédente, qui peut être réécrite à l'aide des propriétés des exposants
$$\begin{align}\left( g^{-1}\right)' (x) &= \frac{1}{3x^{^2/_3}} \N[0.5em] &= \frac{1}{3}x^{^{-2}/_3}.\Nend{align}$$$.
Dérivées des fonctions logarithmiques
Même si tu peux trouver la dérivée des fonctions logarithmiques en utilisant la définition d'une dérivée, tu peux aussi utiliser le fait que la fonction logarithmique est l'inverse de la fonction exponentielle.
Soit \N( f(x)=e^x.\N) L'inverse de la fonction exponentielle est la fonction logarithme naturel, c'est-à-dire \( f^{-1}(x)=\ln{x}.\N-) Trouve la dérivée de la fonction logarithme naturel.
Réponds :
1. Trouve la dérivée de \( f(x). \N-)
Commence par trouver la dérivée de la fonction exponentielle, qui est elle-même, c'est-à-dire
$$f'(x)=e^x.$$
2. Trouve la composition \Nde f' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite). \N- )
Le fait que la dérivée d'une fonction exponentielle soit elle-même rend la composition assez facile, car une fonction composée avec son inverse est égale à \N( x, \N), c'est-à-dire à
$${begin{align}f' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite) &= e^{\ln{x}} \N-[0,5em] &= x. \Nend{align}$$
3.Prends la réciproque de \N( f' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite). \N-)
Enfin, prends la réciproque de l'expression obtenue à l'étape précédente pour obtenir la dérivée de la fonction logarithmique naturelle.
$$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{x}.$$
Cette procédure est une excellente alternative à la recherche de la dérivée de la fonction logarithmique naturelle à l'aide de la définition d'une dérivée !
Erreurs courantes lors de la recherche de la dérivée d'une fonction inverse
Il y a deux erreurs courantes lorsqu'on trouve la dérivée d'une fonction inverse.
Effectuer la composition dans le mauvais ordre.
Oublier de prendre la réciproque de la composition.
Examinons chacune de ces erreurs.
Faire la composition dans le mauvais ordre
Une erreur courante consiste à faire la composition dans le mauvais ordre. Rappelle-toi qu'en général
$$f'\left( f^{-1}(x)\right) \neq f^{-1}\left( f'(x) \leright).$$
Voyons un exemple de composition effectuée dans le mauvais ordre.
Reprenons l'exemple de la fonction quadratique \( f(x)=x^2. \) Tu as trouvé que sa dérivée est \N(f'(x)=2x\N) et que son inverse est \N( f^{-1}(x)=\sqrt{x}.\N) Que se passe-t-il si tu fais la composition dans le mauvais ordre ? Tu obtiendras
$$f^{-1}\gauche( f'(x) \droite) = \sqrt{2x},$$
qui a un \(2\) à l'intérieur de la racine carrée, plutôt qu'à l'extérieur, comme nous l'avons constaté précédemment. Tu n'as même pas besoin de prendre la réciproque, cela te donnera déjà un résultat différent !
Oublier de prendre la réciproque de la composition
Une autre erreur courante est d'oublier de prendre la réciproque après avoir trouvé la composition. C'est-à-dire
$$\left( f^{-1} \right) ' (x) \neq f'\left( f^{-1}(x)\right),$$$
donc n'oublie pas de prendre la réciproque de la composition
$$\left( f^{-1} \right) ' (x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x)\right)}.$$
Dérivés des fonctions trigonométriques inverses
Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques sont généralement simplement appelées fonctions trigonométriques inverses. Elles sont également connues sous le nom de fonctions d'arcus. Tu peux utiliser la formule de la dérivée d'une fonction inverse pour trouver les dérivées des fonctions trigonométriques inverses !
Soit \N( f(x)=\sin{x}.\N) La fonction sinus inverse est \( f^{-1}(x)=\arcsin{x}.\N-)
Trouve la dérivée de la fonction sinus inverse.
Réponse :
1. Trouve la dérivée de \( f(x).\)
Tout d'abord, tu as besoin de la dérivée de la fonction sinus (jette un coup d'œil à nos Dérivées des fonctions trigonométriques si tu as besoin d'un rafraîchissement)
$$f'(x)=\cos{x}.$$
2. Trouve la composition \N( f' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite). \N- )
Si tu essaies de faire la composition maintenant, ce sera un peu difficile. Tu peux plutôt utiliser l'identité de Pythagore
$$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$$
pour réécrire \( f'(x) \N) en termes de fonction sinus, c'est-à-dire
$$f'(x)=\sqrt{1-\sin^2{x}}.$$
De cette façon, en composant le sinus et l'inverse du sinus, tu obtiendras \N( x,\N), la composition est donc donnée par
$$\begin{align} f' \left( f^{-1}(x) \right) &= \sqrt{1-\left( \sin{ \left( \arcsin{x} \right) } \Ndroite)^2} \\N-[0.5em]&= \sqrt{1-x^2}.\Nend{align}$$.
3.Prends la réciproque de \( f' \a gauche( f^{-1}(x) \a droite). \N-)
Comme d'habitude, la dernière étape consiste à prendre la réciproque de l'expression ci-dessus
$$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
ce qui te donne la dérivée de la fonction sinus inverse.
Une procédure similaire peut être utilisée pour trouver la dérivée de la fonction tangente inverse. Examinons l'exemple suivant.
Soit \( g(x)=\tan{x}.\N-) La fonction tangente inverse est \( g^{-1}(x)=\arctan{x}.\N-) Trouve la dérivée de la fonction tangente inverse.
Réponse :
1. Trouve la dérivée de \( g(x).\N-)
Commence par trouver la dérivée de la fonction tangente, c'est-à-dire
$$g'(x)=\sec^2{x}.$$
2. Trouve la composition \Nde g' \Nà gauche( g^{-1}(x) \Nà droite). \ )
Tout comme pour la dérivée du sinus inverse, tu dois écrire ceci en termes de fonction tangente. Cette fois-ci, l'identité de Pythagore
$$\tan^2{x}+1=\sec^2{x}$$
fait le travail. De cette façon, la dérivée de la fonction tangente est
$$g'(x)=\tan^2{x}+1.$$
Cela rend la composition plus simple, donc
$$\begin{align} g' \left( f^{-1}(x) \right) &= \left( \tan{ \left( \arctan{x} \right) } \n-right)^2+1 \n-[0.5em]&= x^2+1,\n-end{align}$$.
3.Prends la réciproque de \( f' \a gauche( f^{-1}(x) \a droite). \)
Enfin, tu prends la réciproque de l'expression obtenue à l'étape précédente pour obtenir
$$\left( g^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$
Dérivée d'une fonction inverse à partir d'un tableau
Les fonctions peuvent être représentées de nombreuses façons. Prenons par exemple un tableau de valeurs.
| \( x \) | \N- f(x)=x^2 \N- f(x)=x^2 \N- \N |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Tu peux utiliser le tableau ci-dessus pour trouver la pente d'une droite sécante à la fonction en prenant deux points et en appliquant la formule de la pente
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
comme le montre l'image suivante.
Fig. 1. Graphique d'une droite sécante à la fonction en deux points.
Dans l'image ci-dessus, les points \N( (1,f(1)) \N) et \N( (2,f(2)) \) sont utilisés pour la droite sécante, sa pente est donc la suivante
\[ \N-{align} m &= \Nfrac{f(2)-f(1)}{2-1} \N-{\N-{4-1}{1}} \\ &= 3. \n-{align} \]
En changeant les valeurs du tableau, tu peux obtenir l'inverse de la fonction originale, dans ce cas, tu obtiendras la fonction racine carrée.
| \( x \) | \N( f^{-1}(x) \N) |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
Tu peux aussi trouver une ligne sécante à la fonction racine carrée en utilisant deux points. Le premier point peut rester le même puisqu'il est partagé entre les deux fonctions. Pour le deuxième point, au lieu d'utiliser \N( (2,f^{-1}(2))) \), tu dois composer la fonction, c'est-à-dire utiliser \N( (f(2),f^{-1}(f(2)).\N). Par conséquent, la sécante correspondante utilise \N( (1,f^{-1}(1)).\N) et \N( (4,f^{-1}(4)).\N) à la place, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. \(4,f^{-1}(4)) à la place, comme le montre l'image suivante.
Fig. 2. Graphique d'une droite sécante à la fonction inverse en deux points.
Cette fois-ci, les points \N( (1,f^{-1}(1)) \N) et \N( (4,f^{-1}(4)) \N) sont utilisés pour la fonction inverse. \) sont utilisés pour la ligne sécante, sa pente est donc la suivante
\N- [\N-] m &= \Nfrac{f^{-1}(4)-f^{-1}(1)}{4-1} \N- [\N-] &= \Nfrac{2-1}{3} \N- \N- \N- &= \Nfrac{1}{3}. \N-END{align} \]
Note que la pente de la sécante de la fonction inverse est la réciproque de la pente de la droite sécante à la fonction originale. De plus, tu dois composer la fonction et son inverse pour trouver la pente ci-dessus. Ces étapes te semblent-elles familières ?
La pente des droites sécantes est liée aux dérivées au moyen d'une limite. Le raisonnement ci-dessus continue de fonctionner à mesure que tu prends des intervalles plus petits, ce qui te permet de te connecter à la formule de la dérivée d'une fonction inverse.
Preuve de la formule de la dérivée d'une fonction inverse
La preuve de la formule de la dérivée d'une fonction inverse utilise le fait que la composition d'une fonction et de son inverse est égale à la fonction identité, c'est-à-dire
$$f\left(f^{-1}(x)\right)=x.$$
Ensuite, différencie les deux côtés de l'équation. Tu utilises la règle de puissance pour différencier le côté droit de l'équation, donc
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\left(f^{-1}(x)\rright) = 1.$$
Le côté gauche de l'équation peut être différencié à l'aide de la règle de la chaîne, ce qui donne
$$f'\left(f^{-1}(x)\right) \left( f^{-1} \right) ' (x)=1,$$.
et enfin, tu peux isoler la dérivée de la fonction inverse
$$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$
Dérivées des fonctions inverses - Principaux enseignements
- La formule pour trouver la dérivée de l'inverse d'une fonction est donnée comme suit : $$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$
- Le processus de recherche de la dérivée d'une fonction inverse peut être résumé par les étapes suivantes :
- Trouve la dérivée de \( f(x). \)
- Trouver la composition de \Nf' \Nà gauche( f^{-1}(x) \Nà droite).\N
- Prendre la réciproque de \( f' \left( f^{-1}(x) \N \Nright).\N)
- Il y a deux erreurs courantes lorsqu'on trouve la dérivée de l'inverse d'une fonction :
- Effectuer la composition dans le mauvais ordre.
- Oublier de prendre la réciproque de la composition.
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