La signature des temps modernes est l'existence des télécommunications. Internet, la télévision et bien d'autres fonctionnalités nous facilitent la vie. Pour que les télécommunications fonctionnent, les scientifiques et les ingénieurs ont pour tâche d'envoyer des satellites sur l'orbite terrestre. Comme les orbites sont mieux décrites à l'aide de coordonnées polaires, il est important de savoir comment trouver les dérivées des fonctions polaires.
Définition des dérivées des fonctions polaires
Une fonction polaire est une fonction définie en coordonnées polaires. Tout comme lorsque tu travailles avec des coordonnées cartésiennes (également connues sous le nom de coordonnées rectangulaires), tu écris les fonctions sous la forme suivante
\N[ y = f(x),\N]
en coordonnées polaires, tu écris les fonctions comme
\N[ r = f(\Ntheta).\N]
Prenons l'exemple d'une spirale d'Archimède décrite par
\N[ r = 3\Ntheta,\N]
son graphique est donné comme suit.
Figure 1. Graphique d'une spirale d'Archimède
Tu pourrais être tenté de trouver sa dérivée comme tu as l'habitude de le faire en utilisant les coordonnées rectangulaires, et tu obtiendrais donc
\[ \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\thêta} = 3.\N]
L'expression ci-dessus est la dérivée de \N( r \N) par rapport à \N( \Ntheta,\N) qui t'indique comment la distance entre l'origine et un point de la courbe polaire change lorsque \N( \Ntheta\N) change. Comme la distance entre deux segments consécutifs d'une spirale d'Archimède est constante, tu peux t'attendre à ce que cette dérivée soit également constante.
Figure 2. La distance entre deux segments consécutifs d'une spirale d'Archimède est constante
Bien que la dérivée de \N( r \N) par rapport à \N( \Ntheta \N) représente le changement de \N( r \N) par rapport à un changement de \N( \Ntheta \N), elle ne représente pas la pente d'une ligne tangente à la courbe polaire.
Si tu veux trouver une ligne tangente à une courbe polaire, tu devras utiliser une formule spéciale qui implique des dérivées utilisant des coordonnées polaires.
Figure 3. Ligne tangente à un point de la spirale d'Archimède
Équations des dérivées des fonctions polaires
La dérivée d'une fonction qui s'écrit
\N[ y = f(x) \N]
peut t'aider à trouver une ligne tangente à la courbe \( f(x)\), tu peux donc utiliser cette idée pour trouver la ligne tangente à une courbe polaire. Dans ce cas, tu dois trouver la dérivée
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]
en termes de coordonnées polaires \( r\) et \( \theta\). Pour ce faire, tu peux utiliser la formule suivante.
Si \( r= f(\theta) \) est une fonction polaire, sa dérivée est donnée par
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \sin{\theta} + r \, \cos{\theta}}{\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}theta} \cos{\theta} - r \sin{\theta}.\frac{\mathrm{d}r}{\frac{\mathrm{d}r}{\sin{\theta} - r \sin{\theta}.\frac{\frac{\mathrm{d}r}{\frac{\frac{\mathrm{d}r}{\sin{\theta}}.\frac}
Puisque \( r=f(\theta)\N), tu peux aussi trouver cette formule écrite en termes de \( f\N) et en utilisant la notation des nombres premiers, c'est à dire
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}.\N- \N- \frac{\f'(\theta) \cdot \sin{\theta}}.
Tu peux évaluer cette dérivée pour n'importe quelle valeur de \( \theta \N), ce qui te donnera la pente d'une ligne tangente à la courbe au point défini par \( f(\theta) \N).
Remarque que dans la formule ci-dessus, il est possible d'avoir \( 0\) dans le dénominateur. Bien que l'on te dise généralement d'éviter ce scénario, dans ce contexte, cela signifie que la ligne tangente à la courbe est verticale.
Étapes pour trouver les dérivées des fonctions polaires
La formule utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction polaire peut sembler intimidante, alors décomposons-la en plusieurs étapes.
- Trouve la dérivée \( f'(\theta) \) en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.
- Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
- Substitue \( f(\theta) \) et \( f'(\theta) \) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
- Simplifie l'expression obtenue.
Les étapes sont toujours mieux comprises avec des exemples. En voici un !
Trouve la dérivée de la spirale d'Archimède décrite par
\N[ f(\Ntheta) = 3 \Ntheta.\N]
Solution :
Tu peux suivre ici les étapes introduites dans cette section pour trouver la dérivée de la spirale d'Archimède illustrée au début de l'article.
1. Trouve la dérivée \( f'(\theta) \) en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.
Rappelle-toi que la dérivée impliquée dans cette étape est la dérivée habituelle de \( f(\theta) \) par rapport à \( \theta), c'est-à-dire
\[ f'(\theta) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta},\]
tu peux donc la trouver à l'aide de la règle de puissance, ce qui te donne
\N[ f'(\Ntheta) = 3. \N]
2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Tu peux maintenant utiliser la formule de la dérivée d'une fonction polaire,
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}.\]
3. Substitue \N( f(\theta) \N) et \N( f'(\theta) \N) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
On t'a donné \Nf(\Ntheta) = 3\Ntheta \Net tu as trouvé que \Nf'(\Ntheta)=3\Nalors substitue ces valeurs dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire, c'est à dire
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(3)\sin{\theta}+(3\theta)\cos{\theta}}{(3)\cos{\theta}-(3\theta)\sin{\theta}}.\]
4. Simplifie l'expression obtenue.
Enfin, simplifie la dérivée en factorisant \N( 3 \N) au numérateur et au dénominateur, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{3\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{3\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \\ &= \frac{\cancel{3}\left(\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}\right)}{\cancel{3}\left(\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}\right)} \\ &= \frac{\sin{\theta}+\theta\cos{\theta}}{\cos{\theta}-\theta\sin{\theta}} . \N- [end{align}\N]
La dérivée résultante peut être évaluée à n'importe quelle valeur de \( \theta\), ce qui te donnera la pente de la ligne tangente à la spirale. Par exemple, tu peux utiliser \( \theta = \frac{\pi}{2}\) et obtenir
\N- [\N- Début{alignement} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\sin{\frac{\pi}{2}} +\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}} }{\cos{\frac{\pi}{2}}-\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi}{2}}} \N- \N- \N{1+\N{\N}{2}(0)}{0-\N{\N}{2}(1)} \N- \N- \N{1}{-\N{\N}{2}} \N- \N{1}{-\N{\N}{2}} \N-\N -\Nfrac{2}{\pi}. [\N-{align}\N]
Puisque \( r= f(\theta), \N) tu peux trouver le point de la courbe où \( \theta=\frac{\pi}{2} \N) en substituant cette valeur de \( \theta \N) dans \( f,\N), c'est à dire
\[ \begin{align} r &= f \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ &= 3\cdot\frac{\pi}{2} \N&= \Nfrac{3\pi}{2}, \Nend{align} \]
ce qui te donne la distance entre l'origine et le point.
Figure 4. Graphique d'une ligne tangente à la spirale d'Archimède lorsque \( \theta = \frac{\pi}{2} \)
Note que, comme tu as trouvé une pente négative, la droite est une fonction décroissante.
Types de dérivées des fonctions polaires
Comme nous l'avons déjà mentionné, pour trouver les dérivées des fonctions polaires, tu peux trouver soit
\[ f'(\theta)=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\]
de manière directe, ou tu peux aussi trouver
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\]
en utilisant la formule introduite dans le chapitre précédent pour la relier à la ligne tangente à la courbe polaire. Note que pour utiliser la formule de
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}},\]
tu dois en fait trouver \N( f'(\theta) \N).
En général, la dérivée d'une fonction polaire fait référence aux lignes tangentes à une courbe polaire, tu dois donc utiliser la formule ci-dessus pour les calculer.
Dérivées des fonctions polaires en physique
Une façon courante de décrire le mouvement des choses est d'utiliser les coordonnées polaires. Dans ce cas, les coordonnées \N( r \N) et \N( \Ntheta \N) deviennent des fonctions du temps, qui est généralement représenté par la lettre \N( t \N). Cela signifie que, pour un instant donné, tu peux trouver les coordonnées d'un objet en fonction de ses coordonnées polaires, c'est-à-dire
\N[ r = r(t), \N]
et
\[ \theta = \theta (t). \]
De cette façon, tu peux trouver les dérivées de \( r \N) et de \( \Ntheta \N) par rapport au temps, qui reçoivent des noms spéciaux.
La coordonnée \N( r \N) est généralement connue sous le nom de coordonnée radiale, et sa dérivée est connue sous le nom de vitesse radiale.
La vitesse radiale d'une particule en mouvement est définie par \[ v = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}.\N- La vitesse radiale d'un objet peut être considérée comme la vitesse à laquelle cet objet modifie sa distance par rapport au centre d'un système de coordonnées.
Et qu'en est-il de la coordonnée angulaire \( \theta \) ?
La vitesse angulaire d'une particule en mouvement est définie comme suit : \[ \omega = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}.\] La vitesse angulaire d'un objet peut être considérée comme la vitesse à laquelle cet objet change d'orientation par rapport à un axe fixe d'un système de coordonnées, qui est généralement l'axe \(x-\).
Les termes vitesse radiale et vitesse angulaire te viennent peut-être à l'esprit. Ces quantités sont les quantités vectorielles correspondantes pour chaque vitesse.
Le mouvement d'une particule décrit en coordonnées polaires est donné par
\[ r(t) = t^2-2t\]
et
\N- \N- \Ntheta(t) = \Nsin{(2\pi\N,t)}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Trouve ses vitesses radiale et angulaire.
Solution :
Tu peux obtenir la vitesse radiale de la particule en trouvant la dérivée de \( r(t)\N), ce qui peut être fait à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire
\N- [\N- Début{alignement} v &= \Nfrac{\Nmathrm{d}r}{\Nmathrm{d}t}]. \\ &= 2t-2. \Nend{align} \]
Pour la vitesse angulaire, tu trouves plutôt la dérivée de \( \theta(t)\), où tu dois utiliser le fait que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. N'oublie pas d'utiliser également la règle de la chaîne ! Tu obtiendras ainsi
\[ \begin{align} \noméga &= \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\N- &= 2\pi\Ncos{(2\pi\N,t)}. \N- [Fin{align}\N]
C'est simple, non ?
Exemples de dérivées de fonctions polaires
Ici, tu peux t'entraîner à trouver les dérivées des fonctions polaires à l'aide de quelques exemples.
Considère le limaçon décrit par
\[ f( \theta ) = 2+3\sin{\theta}. \]
Trouve la dérivée de cette courbe polaire.
Solution :
1. Trouve la dérivée \( f'(\theta) \) en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.
Puisque la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, tu peux écrire
\[ f'(\theta) = 3\cos{\theta}. \]
2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Ensuite, tu dois utiliser la formule
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}.\N- \N- \cdot \sin{\theta}}.\N- \N- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \c}
3. Substitue \( f(\theta) \) et \( f'(\theta) \) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Cette étape est assez simple, et vous obtiendrez[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta}) \cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}}.\]
4. Simplifie l'expression obtenue.
Cette étape implique généralement beaucoup d'algèbre.
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(3\cos{\theta})\sin{\theta} + (2+3\sin{\theta})\cos{\theta}}{(3\cos{\theta}) \cos{\theta}-(2+3\sin{\theta})\sin{\theta}} \\ &= \frac{3(\cos{\theta})(\sin{\theta})+2\cos{\theta}+3(\sin{\theta})(\cos{\theta})}{3\cos^2{\theta}-2\sin{\theta}-3\sin^2{\theta}} \\ &= \frac{6(\sin{\theta})(\cos{\theta})+2\cos{\theta}}{3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta}-2\sin{\theta}}. \N- [end{align}\N]
On ne peut pas faire mieux. En général, ces dérivées se présentent de cette façon.
Peut-être que la dérivée d'une courbe en forme de rose est plus jolie.
Considère la courbe rose décrite par
\N[ f(\Ntheta) = 3\Ncos{(2\Ntheta)}.\N]
Trouve la dérivée de cette courbe polaire.
Solution :
1. Trouve la dérivée \( f'(\theta) \) en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.
Trouve d'abord la dérivée de f' en utilisant le fait que la dérivée de la fonction cosinus est la négative de la fonction sinus, c'est-à-dire
\[ f'(\theta) = -6\sin{(2\theta)}.\]
2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Comme d'habitude, utilise la formule
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}]\]
pour trouver la dérivée de la courbe polaire.
3. Substitue \( f(\theta) \) et \( f'(\theta) \) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Avant de substituer quoi que ce soit, tu devrais essayer d'utiliser certaines identités trigonométriques pour réécrire \( f(\theta)\) et sa dérivée. Tu peux utiliser les identités du double angle et trouver que
\[\begin{align} f(\theta) &= 3\cos{(2\theta)} \\\N &= 3(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta}) \N &= 3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta}\end{align}\]
et
\N-[\N-] f'(\Ntheta) &= -6\sin{(2\Ntheta)} \N- &= -6(2\sin{\Ntheta}\N,\Ncos{\Ntheta}) \N- &= -12\sin{\Ntheta}\N,\Ncos{\Ntheta}. \N- [end{align}\N]
Tu peux maintenant substituer les expressions ci-dessus dans la formule de la dérivée d'une courbe polaire.
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\sin{\theta})+(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\cos{\theta})}{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\cos{\theta})-(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\sin{\theta})}. \]
4. Simplifie l'expression obtenue.
Enfin, simplifie l'expression ci-dessus autant que tu le peux, de sorte que
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\sin{\theta})+(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\cos{\theta})}{(-12\sin{\theta}\,\cos{\theta})(\cos{\theta})-(3\cos^2{\theta}-3\sin^2{\theta})(\sin{\theta})} \\ &= \frac{-12\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}-3\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}} {-12\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}-3\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}} \\ &= \frac{-15\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}+3\cos^3{\theta}}{-15\sin{\theta}\,\cos^2{\theta}+3\sin^3{\theta}}. \N- [Fin{align}\N]
A partir de là, tu peux factoriser \(-3\) du numérateur et du dénominateur, ce qui te donne
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\cancel{(-3)}(5\sin^2{\theta}\,\cos{\theta}-\cos^3{\theta})}{\cancel{(-3)}(5\sin{\theta}\,\cos^2{\theta} -\sin^3{\theta}) } \\N- &= \frac{5\sin^2{\theta}\N-\cos^3{\theta}}{5\sin{\theta}\N-\sin^2{\theta}\N-\sin^3{\theta} }. \N- [Fin{align}\N]
N'oublie pas que si tu trouves que la pente d'une ligne est infinie, cela signifie qu'il s'agit d'une ligne verticale.
Montre que la ligne tangente à
\N[ f(\Ntheta) = 3\N]
au point où \( \theta = 0 \) est verticale.
Solution :
La courbe polaire donnée est une courbe à constante \(r\), qui est une circonférence. Le rayon de cette circonférence est égal à \(3\).
Figure 5. Graphique de la courbe polaire \( f(\theta) = 3\)
Pour trouver la ligne tangente à la courbe au point demandé, tu dois d'abord trouver sa dérivée.
1. Trouve la dérivée \( f'(\theta) \) en utilisant toutes les règles de différenciation pertinentes.
Puisque la fonction donnée est une fonction constante, sa dérivée est égale à zéro, c'est-à-dire
\N[ f'(\Ntheta) = 0. \N]
2. Utilise la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Ensuite, tu devras utiliser la formule
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}]\]
pour trouver la dérivée de la courbe polaire donnée.
3. Substitue \( f(\theta) \) et \( f'(\theta) \) dans la formule de la dérivée d'une fonction polaire.
Cette fois, la fonction et sa dérivée sont des constantes, la substitution est donc simple. Ce faisant, tu obtiendras
\frac[ \mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(0)(\sin{\theta}) + (3)(\cos{\theta})}{(0)(\cos{\theta})-(3)(\sin{\theta})}.\nbsp;\frac{(0)(\sin{\theta})-(3)(\sin{\theta})}]
4. Simplifie l'expression obtenue.
Tu verras qu'il est très utile de simplifier les expressions avant de les évaluer. Dans ce cas, l'expression ci-dessus se simplifie comme suit
\N[ \N- Début{alignement} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{3\cos{\theta} }{-3\sin{\theta}} \\N- &= -\Ncot{\Ntheta}. \N- [Fin{alignement}\N]
Maintenant que tu as trouvé la dérivée de la courbe polaire, tu peux substituer \N( \Ntheta=0,\N) mais tu trouveras un problème ici
\N[ \Ncot{0} = \Ninfty. \N]
Ne t'inquiète pas ! Puisque l'expression ci-dessus te donne la pente de la ligne tangente, cela prouve en fait ce que l'on t'a demandé, puisque la pente d'une ligne verticale est l'infini.
Figure 6. La ligne tangente à la courbe polaire à \( \theta=0\) est verticale.
Dérivées des fonctions polaires - Points clés à retenir
- Les fonctions en coordonnées polaires s'écrivent généralement sous la forme\[ r =f(\theta), \] où \( r \) est la distance entre l'origine et un point de la courbe polaire.
- Tu peux trouver la dérivée \Nde f'(\theta) \Nde la même façon que tu trouves la dérivée de n'importe quelle autre fonction, c'est-à-dire\Nde f'(\theta) = \Nfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta}.\N]Cependant, cette dérivée ne décrit pas la pente d'une ligne tangente à un point de la fonction polaire.
- Si \( r= f(\theta) \) est une fonction polaire, sa dérivée, également connue sous le nom de dérivée de la courbe polaire, est donnée par \( r= f(\theta) \N- \N), est donnée par\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{f'(\theta) \cdot \sin{\theta} + f(\theta) \cdot \cos{\theta}}{f'(\theta) \cdot \cos{\theta}-f(\theta) \cdot \sin{\theta}}.\]
- Tu peux utiliser la dérivée \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) pour trouver la pente d'une ligne tangente à un point d'une fonction polaire.
- Note que la dérivée habituelle \( f'(\theta)\) est impliquée dans la formule de la dérivée d'une courbe polaire.
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