Le comportement périodique des ondes est souvent décrit à l'aide de fonctions trigonométriques telles que le sinus, le cosinus et la tangente. Les dérivées des fonctions trigonométriques sont également nécessaires si nous devions étudier la propagation des ondes.
Dérivation des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente
Les dérivées de la fonction sinus, de la fonction cosinus et de la fonction tangente impliquent toutes d'autres fonctions trigonométriques.
Les dérivées de la fonction sinus, de la fonction cosinus et de la fonction tangente sont données comme suit :
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\]
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\]
Les dérivées de ces fonctions trigonométriques, ainsi que les règles de différenciation de base, peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des autres fonctions trigonométriques : sécante, cosécante et cotangente. Voyons d'abord quelques exemples impliquant les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente.
Ces fonctions sont également appelées sin, cos et tan. L'article suivant utilisera cette convention.
Règles et astuces concernant les dérivées de sin, cos et tan
Si tu observes les dérivées et leurs formules, il est facile de voir un modèle. Les dérivées des deux premières fonctions \(sin\) et \(cos\) sont l'opposé des fonctions originales.
Dans ce cas, il existe une règle ou une astuce simple que tu peux mémoriser :
La dérivée de la fonction sinus est une fonction cosinus avec le même signe.
La dérivée de la fonction cosinus est une fonction sinus avec un signe différent.
La dérivée d'une fonction tangente est la fonction \(\dfrac{1}{\cos^2(x)}\).
Dérivées de Sin, Cos et Tan : Exemples
Commençons par la dérivée d'une fonction impliquant la fonction sinus.
Considérons la fonction \(f(x)=\sin(x^2)\). Nous allons trouver sa dérivée en utilisant la dérivée de la fonction sinus, la règle de la chaîne et la règle de la puissance.
Soit \(u=x^2\) et différencier à l'aide de la règle de la chaîne.
\[\dfrac{df}{dx}=\dfrac{d}{du}\sin(u)\dfrac{du}{dx}\]
Différencie la fonction sinus.
\[\dfrac{df}{dx}=\cos(u)\dfrac{du}{dx}\]
Trouve \(\dfrac{du}{dx}\) en utilisant la règle de puissance.
\[\dfrac{du}{dx}=2x\]
Substitue \(u=x^2\) et \(\dfrac{du}{dx}=2x\).
\[\dfrac{df}{dx}=\left( \cos(x^2) \right) \cdot 2x\]
Réarrange l'équation.
\[\dfrac{df}{dx}=2x \cdot cos(x^")\]
Nous allons maintenant trouver la dérivée d'une fonction impliquant la fonction cosinus.
Considérons la fonction \(g(x)=\cos^4(x)\). Nous trouverons sa dérivée en utilisant la dérivée de la fonction cosinus, la règle de la puissance et la règle de la chaîne. N'oublie pas que la dérivée de la fonction cosinus est le négatif de la fonction sinus !
Soit \(u=\cos(x)\) et différencie à l'aide de la règle de la chaîne.
\[\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{d}{du}u^4\dfrac{du}{dx}\]
Différencie à l'aide de la règle de puissance.
\[\dfrac{dg}{dx}=4u^3 \dfrac{du}{dx}\]
Trouve \(\dfrac{du}{dx}) en différenciant la fonction cosinus.
\[\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)\]
Substitue \(u=\cos(x)\) et \(\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)\).
\[\dfrac{dg}{dx}=(4\cos^3(x))(-\sin(x))\]
Réarrange.
\[\dfrac{dg}{dx}=-4\sin(x)\cos^3(x)\]
La dérivée d'une fonction impliquant la fonction tangente est simple. Prenons un autre exemple.
Considérons la fonction \(r(x)=tan(x^2-1)\). Nous trouverons sa dérivée en utilisant la dérivée de la fonction tangente, la règle de la chaîne et la règle de la puissance.
Soit \(u=x^2-1\) et différencie à l'aide de la règle de la chaîne.
\[\dfrac{dr}{dx}=\dfrac{d}{du}\tan(u)\dfrac{du}{dx}\]
Différencie la fonction tangente.
\[\dfrac{dr}{dx}=\sec^2(u)\dfrac{du}{dx}\]
Trouve \(\dfrac{du}{dx}\) en utilisant la règle de puissance.
\[\dfrac{du}{dx}=2x\]
Substitue \(u=x^2-1\) et \(\dfrac{du}{dx}=2x\).
\[\dfrac{dr}{dx}=\left( \sec^2(x^2-1) \right) \cdot (2x)\]
Réarrange.
\[\dfrac{dr}{dx}=2x\sec^2(x^2-1)\]
Nous avons utilisé les règles de différenciation de ces fonctions trigonométriques sans les prouver. Voyons maintenant comment trouver la dérivée de chaque fonction.
Preuve des dérivées des fonctions Sin, Cos et Tan
Tu peux prouver les dérivées de chaque fonction trigonométrique en utilisant la définition d'une limite. Grâce à cela, tu comprendras mieux les dérivées de chacune d'entre elles.
Différenciation de la fonction Sin
La dérivée de la fonction sinus peut être trouvée en utilisant la définition de la dérivée d'une fonction.
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x) = lim_{h \rightarrow 0 \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\]
Nous pouvons maintenant utiliser l'identité du sinus de la somme de deux angles pour réécrire l'expression ci-dessus.
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)\cosh(h)+\sinh(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}\]
Ceci peut être réécrit en utilisant l'algèbre et les propriétés des limites
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}\]
La valeur des limites concernées peut être trouvée en utilisant le théorème de l'écrasement.
Si nous utilisons les limites \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{sin(h)}{h}=1\) et ensuite \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{cos(h)-1}{h}=1\).
Nous trouvons la dérivée de la fonction sinus en substituant les expressions ci-dessus.
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\]
Pour cette dérivation, nous avons utilisé les valeurs de deux limites sans les prouver. Par souci d'exhaustivité, plongeons-nous dans leur preuve !
Nous allons d'abord prouver la limite \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{sin(h)}{h}\). Considère le cercle unitaire et les triangles dans le diagramme suivant.
Fig. 1. Diagramme montrant les différentes zones liées à l'angle \(h\).
Soit \(S_1\) l'aire du triangle isocèle \(OAC\), \(S_2\) l'aire du secteur circulaire \(OAC\), et \(S_3\) l'aire du triangle rectangle \(OAB\). L'aire des triangles peut être trouvée en notant que leur base est égale à \(1\), la hauteur du triangle \(OAC\) est égale à \(\sin(h)\) et la hauteur du triangle \(OAB\) est égale à \(\tan(h)\).
\N- S_1=\dfrac{1}{2} \sin(h)\N et \N(S_2=\dfrac{1}{2} \Ntan(h)\N)
Nous pouvons trouver la surface \(S_2\)à l'aide de la formule pour la surface d'un secteur circulaire.
\[S_2=\dfrac{1}{2}h\]Note que \(S_3\) contient \(S_2\), qui à son tour contient \(S_1\). Cela signifie que nous pouvons établir l'inégalité suivante :
\N-[S_3>S_2>S_1\N].
En substituant les expressions de chaque zone dans l'inégalité ci-dessus, nous pouvons écrire ce qui suit :
\[\dfrac{1}{2}\tan(h)>\dfrac{1}{2}h>\dfrac{1}{2}\sin(h)\]
Ensuite, nous divisons l'ensemble de l'inégalité par \(\dfrac{1}{2}\sin(h)\N) :
\[\dfrac{1}{\cos(h)}>\dfrac{h}{\sin(h)}>1\]
Nous pouvons prendre la réciproque de chaque terme de l'inégalité, en inversant les signes de l'inégalité.
\[\cos(h)< \dfrac{\sin(h)}{h}<1\]
En vertu du théorème de l'écrasement, les valeurs de \(\dfrac{\sin(h)}{h}\) sont comprimées entre \(\cos(h)\) et 1\(1\) au fur et à mesure que \(h \rencontre 0\).
Puisque \N-(\Ncos(0)=1\N), nous pouvons conclure que \N-(lim_{h \N-rightarrow 0} \Ndfrac{\Nsin(h)}{h}=1\N).
Travaillons maintenant sur la deuxième limite avec un peu d'algèbre.
\[lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h} = lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}\left( \dfrac{cos(h)+1}{cos(h)+1}) \Ndroite) = lim_{h \Ndroite 0} \Ndfrac{\cos^2(h)-1}{h(\Ncos(h)+1)}\N]
Nous pouvons maintenant utiliser l'identité de Pythagore et la propriété du produit des limites.
\[lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{-\sin^2(h)}{h(\cos(h)+1)}= - \left( lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \right) \left( lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{\cos(h)+1} \Ndroite)\N]
La première limite est égale à 1 comme nous l'avons trouvé précédemment. La deuxième limite peut être évaluée pour trouver qu'elle est égale à \(0\).
\[lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}= 1\cdot(0)=0\]
Différenciation de la fonction cosinus
La dérivée de la fonction cosinus peut être trouvée de la même manière.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)= lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\]
Nous pouvons maintenant utiliser l'identité du cosinus de la somme de deux angles pour réécrire l'expression ci-dessus.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x)scos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}\]
Une fois de plus, nous réécrivons ceci à l'aide d'un peu d'algèbre et des propriétés des limites.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}-\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}\Nous allons ensuite substituer les valeurs de \sin(h)-\sin(h)}{h}\Nà celles de \sin(h)-\sin(h)}{h}\N-\sin(x).
Ensuite, nous substituons les valeurs des limites ci-dessus et trouvons la dérivée de la fonction cosinus.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
Utiliser la définition de la dérivée n'est pas la seule façon de prouver la dérivée de la fonction cosinus. Nous pouvons utiliser la dérivée de la fonction sinus avec les identités trigonométriques en notre faveur !
Si nous connaissons déjà la dérivée de la fonction sinus, nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique de Pythagore pour trouver la dérivée de la fonction cosinus. Considère l'identité trigonométrique pythagoricienne suivante :
\[\sin^2(x)+cos^2(x)=1\]
Nous pouvons différencier par rapport à \(x\) les deux côtés de l'équation. Puisque le côté droit de l'équation est égal à une constante, sa dérivée est égale à \(0\).
\[\dfrac{d}{dx}\left( \sin^2(x)+cos^2(x)\right)=0\]
La règle de la chaîne peut être utilisée sur le côté gauche de l'équation.
\[2\sin(x)\dfrac{d}{dx}\sin(x)+2\cos(x)\dfrac{d}{dx}\cos(x)=0\]
Nous avons constaté précédemment que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus, nous allons donc substituer ce résultat à l'équation ci-dessus.
\[2\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)\dfrac{d}{dx}\cos(x)=0\]
Enfin, nous divisons l'équation par \N(2\cos(x)\N) et isolons la dérivée de \N(\Ncos(x)\N).
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
Différencier la fonction tangente
Nous pouvons également utiliser la définition d'une dérivée pour trouver la dérivée de la fonction tangente. Cependant, comme nous connaissons déjà les dérivées des fonctions sinus et cosinus, nous pouvons essayer d'utiliser la règle du quotient à la place. Nous commençons par écrire la fonction tangente comme le quotient de la fonction sinus et de la fonction cosinus.
\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)\]
Ensuite, nous utilisons la règle du quotient.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\dfrac{ \left( \dfrac{d}{dx}\sin(x)\right)\cdot \cos(x)- \left( \dfrac{d}{dx} \cos(x) \cdot \sin(x) }{\cos^2(x)}\]
Remplaçons maintenant les dérivées des fonctions sinus et cosinus.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x) = \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{cos^2(x)}\]
Le numérateur peut être simplifié à l'aide de l'identité trigonométrique de Pythagore.
\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\]
On peut encore simplifier ce processus en se rappelant que la fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\]
Dans ce cas, l'utilisation de la règle du quotient est plus rapide et plus facile que l'utilisation de la définition d'une dérivée !
Dérivée des fonctions inverses de Sin, Cos et Tan
Les fonctions sin, cos et tan ont également un inverse\(f^1\). Ces fonctions sont les suivantes.
\N(arcsine\N) ou \N(\Nsin^{-1}\N).
\N- (arccosine) ou \N(\Ncos^{-1}\N).
\N- (arctangent\N) ou \N(\Ntan^{-1}\N).
Leurs dérivés se trouvent dans les formules ci-dessous.
\[\dfrac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx} cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx} tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1-x^2}\]
Dérivés de Sin, Cos et Tan - Principaux enseignements
- La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus. C'est-à-dire \(\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\).
- La dérivée de la fonction cosinus est la négative de la fonction sinus. C'est-à-dire \N(\Ndfrac{d}{dx}\Ncos(x)=-\Nsin(x)\N).
- La dérivée de la fonction tangente est la fonction sécante au carré. C'est-à-dire : \(\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\).
- Deux limites importantes sont utilisées pour prouver les dérivées de la fonction sinus et de la fonction cosinus. Ce sont : \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}=1\) et \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}=0\).
- La dérivée de la fonction tangente peut être trouvée en utilisant soit la règle du quotient, soit la définition d'une dérivée.
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