Dérivées de Sin, Cos et Tan

Dérivation des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente

Les dérivées de la fonction sinus, de la fonction cosinus et de la fonction tangente impliquent toutes d'autres fonctions trigonométriques.

Les dérivées de ces fonctions trigonométriques, ainsi que les règles de différenciation de base, peuvent être utilisées pour trouver les dérivées des autres fonctions trigonométriques : sécante, cosécante et cotangente. Voyons d'abord quelques exemples impliquant les fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente.

Règles et astuces concernant les dérivées de sin, cos et tan

Si tu observes les dérivées et leurs formules, il est facile de voir un modèle. Les dérivées des deux premières fonctions \(sin\) et \(cos\) sont l'opposé des fonctions originales.

Dans ce cas, il existe une règle ou une astuce simple que tu peux mémoriser :

1. La dérivée de la fonction sinus est une fonction cosinus avec le même signe.

2. La dérivée de la fonction cosinus est une fonction sinus avec un signe différent.

3. La dérivée d'une fonction tangente est la fonction \(\dfrac{1}{\cos^2(x)}\).

Dérivées de Sin, Cos et Tan : Exemples

Commençons par la dérivée d'une fonction impliquant la fonction sinus.

Nous allons maintenant trouver la dérivée d'une fonction impliquant la fonction cosinus.

La dérivée d'une fonction impliquant la fonction tangente est simple. Prenons un autre exemple.

Nous avons utilisé les règles de différenciation de ces fonctions trigonométriques sans les prouver. Voyons maintenant comment trouver la dérivée de chaque fonction.

Preuve des dérivées des fonctions Sin, Cos et Tan

Tu peux prouver les dérivées de chaque fonction trigonométrique en utilisant la définition d'une limite. Grâce à cela, tu comprendras mieux les dérivées de chacune d'entre elles.

Différenciation de la fonction Sin

La dérivée de la fonction sinus peut être trouvée en utilisant la définition de la dérivée d'une fonction.

\[\dfrac{d}{dx}\sin(x) = lim_{h \rightarrow 0 \dfrac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\]

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité du sinus de la somme de deux angles pour réécrire l'expression ci-dessus.

\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)\cosh(h)+\sinh(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}\]

Ceci peut être réécrit en utilisant l'algèbre et les propriétés des limites

\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}\]

La valeur des limites concernées peut être trouvée en utilisant le théorème de l'écrasement.

Si nous utilisons les limites \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{sin(h)}{h}=1\) et ensuite \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{cos(h)-1}{h}=1\).

Nous trouvons la dérivée de la fonction sinus en substituant les expressions ci-dessus.

\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\]

Pour cette dérivation, nous avons utilisé les valeurs de deux limites sans les prouver. Par souci d'exhaustivité, plongeons-nous dans leur preuve !

Différenciation de la fonction cosinus

La dérivée de la fonction cosinus peut être trouvée de la même manière.

\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)= lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\]

Nous pouvons maintenant utiliser l'identité du cosinus de la somme de deux angles pour réécrire l'expression ci-dessus.

\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x)scos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}\]

Une fois de plus, nous réécrivons ceci à l'aide d'un peu d'algèbre et des propriétés des limites.

\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}-\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}\Nous allons ensuite substituer les valeurs de \sin(h)-\sin(h)}{h}\Nà celles de \sin(h)-\sin(h)}{h}\N-\sin(x).

Ensuite, nous substituons les valeurs des limites ci-dessus et trouvons la dérivée de la fonction cosinus.

\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]

Utiliser la définition de la dérivée n'est pas la seule façon de prouver la dérivée de la fonction cosinus. Nous pouvons utiliser la dérivée de la fonction sinus avec les identités trigonométriques en notre faveur !

Différencier la fonction tangente

Nous pouvons également utiliser la définition d'une dérivée pour trouver la dérivée de la fonction tangente. Cependant, comme nous connaissons déjà les dérivées des fonctions sinus et cosinus, nous pouvons essayer d'utiliser la règle du quotient à la place. Nous commençons par écrire la fonction tangente comme le quotient de la fonction sinus et de la fonction cosinus.

\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)\]

Ensuite, nous utilisons la règle du quotient.

\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\dfrac{ \left( \dfrac{d}{dx}\sin(x)\right)\cdot \cos(x)- \left( \dfrac{d}{dx} \cos(x) \cdot \sin(x) }{\cos^2(x)}\]

Remplaçons maintenant les dérivées des fonctions sinus et cosinus.

\[\dfrac{d}{dx}\tan(x) = \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{cos^2(x)}\]

Le numérateur peut être simplifié à l'aide de l'identité trigonométrique de Pythagore.

\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\]

On peut encore simplifier ce processus en se rappelant que la fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus.

\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\]

Dans ce cas, l'utilisation de la règle du quotient est plus rapide et plus facile que l'utilisation de la définition d'une dérivée !

Dérivée des fonctions inverses de Sin, Cos et Tan

Les fonctions sin, cos et tan ont également un inverse\(f^1\). Ces fonctions sont les suivantes.

• \N(arcsine\N) ou \N(\Nsin^{-1}\N).

• \N- (arccosine) ou \N(\Ncos^{-1}\N).

• \N- (arctangent\N) ou \N(\Ntan^{-1}\N).

Leurs dérivés se trouvent dans les formules ci-dessous.

\[\dfrac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[\dfrac{d}{dx} cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\]

\[\dfrac{d}{dx} tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1-x^2}\]