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Dans le domaine de la biologie, il est courant d'étudier des populations de bactéries à l'aide d'un microscope. Les bactéries sont connues pour avoir des intervalles de réplication réguliers et fiables. Même en partant d'un petit nombre de bactéries, la population peut devenir incroyablement grande en très peu de temps !
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Équipe enseignants Dérivée de la fonction exponentielle
Une population d'Escherichia Coli, pixabay.com
Au début, lorsque la population est petite, il n'y aura que quelques réplications. Cependant, les bactéries nouvellement répliquées commenceront elles aussi à se répliquer. Maintenant, la population croît à un rythme plus rapide ! Comment le calcul peut-il être utilisé pour décrire ce phénomène ?
La dérivée d 'une fonction peut également être considérée comme son taux de changement. Ainsi, les exemples ci-dessus peuvent être considérés comme des fonctions dont les dérivées sont directement proportionnelles à elles-mêmes ! Explorons plus en détail ce type de fonction exponentielle et sa dérivée.
Examinons les deux cas de figure pour les dérivées des fonctions exponentielles : lorsque la base est le nombre \(e \N), et lorsqu'elle ne l'est pas. Si la base est \(e \)alors nous avons une fonction exponentielle naturelle.
La fonction exponentielle naturelle a une caractéristique très particulière : elle est sa propre dérivée ! Plutôt cool, non ?
La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est la fonction exponentielle naturelle. En d'autres termes ,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x.$$
Trouver la dérivée d'une fonction exponentielle est assez simple. Garde simplement à l'esprit que tu dois aussi utiliser les règles de différenciation en fonction des problèmes spécifiques.
Tu as trouvé que la dérivée de la fonction exponentielle naturelle est elle-même. Cela signifie que dans la fonction exponentielle naturelle, la pente de la ligne tangente à chaque point est égale à la valeur de l'ordonnée !
Fig. 1. Graphique de la fonction exponentielle avec une ligne tangente à \(x=1\).
Mais que se passe-t-il si la fonction exponentielle a une base autre que \N( e \N) ? Alors tu multiplies par le logarithme naturel de cette base !
Si la base \N( b \N) de la fonction exponentielle est différente de \N( e \N), alors :
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}b^x=(\ln b)b^x,$$.
où \( b>0.\)
La dérivée ci-dessus est considérée comme plus générale car si tu laisses \( b=e \N), puis \N(\N{e}=1\N), tu reviens à la première règle. Celle-ci couvre donc le cas où la base est \N( e\N) ainsi que le cas où la base est constituée d'un grand nombre d'autres nombres.
Tu peux utiliser ces règles de différenciation ainsi que des règles comme la règle de la chaîne et la règle du produit pour trouver les dérivées des fonctions impliquant des fonctions exponentielles.
Voyons quelques exemples de dérivées impliquant des fonctions exponentielles.
La règle de la chaîne peut être utilisée pour trouver la dérivée d'une fonction exponentielle.
Trouve la dérivée de \(f(x)=e^{3x}.\N-)
Réponse :
Pour trouver cette dérivée, tu devras utiliser la règle de la chaîne. Soit \(u=3x\). Puis, par la règle de puissance, \N(u'(x) = 3 \N). Utilise donc maintenant la règle de la chaîne,
$$\begin{align} f'(x) &= \left(\frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u} e^u \right)\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right) \e &= (e^u )(3) \e &= 3e^{3x}, \end{align}$$$.
où tu as utilisé le fait que la dérivée de la fonction exponentielle naturelle est juste la fonction exponentielle naturelle. Donc \(f'(x) = 3e^{3x}\).
De la même façon, tu peux trouver la dérivée de fonctions plus complexes.
Trouve la dérivée de \(g(x)=e^{x^2}.\N-)
Réponse :
Tu devras également utiliser la règle de la chaîne ici ! Cette fois-ci, laisse \N( u=x^2 \N). En utilisant la règle de puissance, tu peux trouver que \( u'(x)=2x \). Tu peux maintenant trouver la dérivée de \N(g(x)\N) en travaillant d'une manière similaire à l'exemple précédent :
$$\begin{align} g'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}}{\mathrm{d}u} e^u \right) \left( \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) \e &= (e^u)(2x) \e&= 2xe^{x^2}. \Nend{align}$$
Commençons par un exemple utilisant la règle du produit.
Trouve la dérivée de \( f(x) = x^2 e^x.\)
Réponse :
Puisque cette fonction est le produit de deux fonctions, tu peux trouver sa dérivée en utilisant la règle du produit,
$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \left( e^x \rright) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2 \rright) + \left( x^2 \rright) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x \rright) \\e &= (e^x)(2x)+(x^2)(e^x) \N- &=e^x(x^2+2x). \Nend{align}$$
Voyons maintenant un exemple utilisant la règle du quotient.
Trouve la dérivée de \(g(x)=\frac{e^x}{x+1} .\)
Réponse :
Cette fonction implique maintenant un quotient de fonctions, tu dois donc utiliser la règle du quotient,
$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} &= \frac{(x+1)\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x\right) -(e^x) \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x+1) \right)}{(x+1)^2} \N- &= \Nfrac{(x+1)(e^x)-(e^x)(1)}{(x+1)^2} \N- &= \frac{xe^x}{(x+1)^2}, \N-end{align}$$.
où tu as utilisé la règle de puissance pour trouver la dérivée de \(x+1.\N)
Tu ne peux pas être tout à fait littéral lorsque tu dis que la dérivée d'une fonction exponentielle est elle-même. Cela ne s'applique qu'à la fonction exponentielle naturelle. Voyons un exemple.
Trouve la dérivée de \(f(x)=e^{x^2+x}.\N-) Une erreur fréquente est d'oublier d'utiliser la règle de la chaîne :
$$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\neq e^{x^2+x}.$$
En prenant la dérivée à l'aide de la règle de la chaîne, on obtient
$$\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=(2x+1)e^{x^2+x}.$$
Une autre erreur consiste à utiliser la règle de puissance pour différencier la fonction exponentielle.
Si tu observes une fonction exponentielle, tu pourrais penser à utiliser la règle de puissance pour trouver la dérivée de la fonction. Mais c'est une erreur !
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{2x}\neq (2x)3^{2x-1}$$
Tu utilises la règle de la puissance lorsque la variable est la base de l'expression exponentielle. Cependant, si la variable est l'exposant, nous devons utiliser la règle de différenciation de la fonction exponentielle. N'oublie pas non plus d'utiliser la règle de la chaîne !
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}3^{2x}=2\left(\ln{3}\right)3^{2x}$$
N'oublie pas de multiplier par le logarithme naturel de la base lorsque celle-ci est différente de \N( e \N) !
Trouve la dérivée de \(5^{2x}.\N-) La base de cette fonction exponentielle est 5, il ne s'agit donc pas d'une fonction exponentielle naturelle. Une autre erreur courante est d'oublier de multiplier par le logarithme naturel de la base :
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}5^{2x}\neq (2) 5^{2x}.$$
Comme la base de cette fonction exponentielle est différente de \(e\), tu dois aussi multiplier par le logarithme naturel de la base pour obtenir
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}5^{2x}=2 \left( \ln{5} \right) 5^{2x}.$$
Rappelle-toi que la définition de la dérivée d'une fonction implique la limite du taux de variation. En d'autres termes ,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}$$
Tu peux réécrire la limite en utilisant les propriétés des exposants pour factoriser \(e^x\), ce qui te donne
$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x &=\lim_{hrightarrow 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \\N&= \Nlim_{h\Nflèche droite 0}\Nfrac{e^x \Ngauche( e^h-1 \Nflèche droite)}{h}. \n-{align}$$
Puisque \(e^x\) ne dépend pas de \( h, \) il peut être supprimé de la limite, ce qui donne
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x= e^x \lim_{hright\arrow 0} \frac{e^h - 1}{h}.$$
Puis en prenant la limite,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x.$$
Tu peux te demander pourquoi
$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^h - 1}{h} = 1.$$
Pour le savoir, passe à la section suivante !
Tu peux utiliser la définition de la limite pour faire une preuve plus formelle de la dérivée de la fonction exponentielle.
Tu as utilisé la valeur d'une limite dans notre preuve de la dérivée de la fonction exponentielle naturelle. Trouver la valeur de cette limite peut être un peu délicat, alors regardons attentivement le calcul.
Tu trouveras ici la valeur de la limite :
$$L=\lim_{hrightarrow 0} \frac{e^h-1}{h}.$$
Commence par faire la substitution suivante :
$$u=e^h-1$$
Note que \(u \rightarrow 0 \N) comme \N(h \Nrightarrow 0.\N) Tu peux maintenant réécrire la limite en termes de \N( u \N), ce qui te donne
$$L=\lim_{u\rrowarrow 0} \frac{u}{\ln{(u+1)}}.$$
Tu peux aussi écrire \(u \N) au numérateur à l'intérieur de la limite comme \N( \frac{1}{u} \N) au dénominateur. De plus, tu peux réécrire cette expression comme l'exposant du logarithme naturel en utilisant la propriété de puissance des logarithmes. (Voir Propriétés des logarithmes.)
$$L=\lim_{u \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{u} \ln{(u+1)}} = \lim_{u \rightarrow 0}\frac{1}{\ln{(u+1)}^{^1 / _u}}$$$.
Ensuite, utilise les propriétés des limites pour réécrire la limite à l'intérieur du logarithme naturel. Tu peux le faire parce que le logarithme naturel est une fonction continue :
$$L=\frac{1}{\ln{\left( \lim_{u\rowarrow 0}(u+1)^{^1 / _u} \right)}}$.
La limite résultante dans le dénominateur est la définition de la base du logarithme naturel, \( e \N), donc
$$ L = \frac{1}{\ln{e}}.$$
Puisque \N( e \N) est la base du logarithme naturel, nous savons que \N( \Nn{e}=1. \N) Tu as prouvé la limite requise, et $L=1$!
La preuve pour le cas où la base n'est pas \N( e \N) repose sur le fait que la fonction exponentielle et la fonction logarithme naturel sont inverses. Cela signifie que \N( e^{\ln{a}}=a.\N) Utilise ceci à ton avantage !
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{\ln{b^x}}$$$
Tu peux maintenant utiliser la propriété de puissance des logarithmes pour réécrire l'expression ci-dessus sous la forme suivante
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^{x\, \ln{b}}.$$
Ensuite, tu dois utiliser la règle de la chaîne et la règle de différenciation de la fonction exponentielle, que tu as déjà prouvée plus haut, pour obtenir
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x = \left( \ln{b} \right)e^{x\ln{b}}.$$
Enfin, annule la modification que tu as effectuée à la première étape. Donc \(e^{x\ln{b}}=b^x\), ce qui signifie
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} b^x=\left(\ln{b}\right)b^x.$$
Tu as étudié la dérivée de la fonction exponentielle naturelle et des fonctions exponentielles plus générales. Comme les fonctions exponentielles et logarithmiques sont liées, tu peux aussi jeter un coup d'œil à la Dérivée des fonctions logarithmiques pour voir comment leurs dérivées sont liées.
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