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Figure 1. Deux fourchettes et un cure-dent en équilibre sur un verre.
Au début, j'ai été surpris. Si quelqu'un a du ruban adhésif, cela devient une tâche simple. Mais qui emporte du ruban adhésif au brunch ? On dirait qu'il y a là une astuce de physique.
En fait, l'un de mes amis a tiré parti du centre de masse de la disposition des couverts. En connaissant le centre de masse, ils ont pu faire un arrangement tel que tout le poids des couverts est supporté par le verre. Tu apprendras ici ce que sont la densité et le centre de masse et comment les calculer.
Définitions de la densité et du centre de masse
Suppose qu'une planche de bois de poids négligeable, qui ne se casse pas et ne fléchit pas, repose sur un point d'appui à la moitié de sa longueur.
Figure 2. Une planche de poids négligeable reposant sur un point d'appui
Si tu poses un poids sur l'une des extrémités de la planche, celle-ci s'inclinera vers le poids, et le poids tombera !
Figure 3. Un poids placé à l'une des extrémités de la planche, faisant basculer la configuration de la planche et du poids.
Cependant, si tu places le poids exactement à l'endroit du point d'appui, la planche restera horizontale et tout sera équilibré.
Figure 4. Un poids équilibré au milieu de la planche
Pour décrire ce scénario, tu dois connaître la définition du moment.
Définition du moment
Le moment par rapport à un point est défini comme le produit de la masse par sa distance à ce point.
Soit \(A\) un objet de masse \(m_A\) situé à une position relative \(x_A\) par rapport à l'origine. Le moment de \(A\) est défini comme le produit de \(m_A\) et de sa position relative \(x_A\), c'est-à-dire
\N- [m_Ax_A.\N]
Dans l'exemple de la planche ci-dessus, tu as constaté qu'en plaçant le poids, que nous appellerons \N(A\N), exactement à l'endroit où se trouve le point d'appui, le système était équilibré. En effet, la position du point d'appui représente l'origine, donc \(x_A=0\) et le moment de \(A\) est donné par
\[ \begin{align} m_Ax_A &= m_A(0) \\ &= 0.\end{align}\]
Cependant, si tu places le poids ailleurs, la planche basculera. Dans ce cas, \(x_A \neq 0\), son moment serait également différent de zéro !
Jusqu'à présent, il semble que si le moment est égal à zéro, alors le système restera en équilibre, sinon, il commencera à basculer. Avant de tirer des conclusions hâtives, tu devrais explorer ce qui se passe lorsque tu ajoutes du poids.
Tout d'abord, supposons que tu places le poids \(A\) à l'extrémité droite de la planche, et que tu ajoutes un poids identique, appelé \(B\), à l'autre extrémité de la planche. Puisque la planche repose sur le point d'appui à la moitié de sa longueur, alors
\[ x_A = \frac{\ell}{2}\]
et
\N[ x_B = -\frac{\ell}{2}.\N]
Comme les poids pèsent la même chose, tu peux simplement les appeler \(m\), donc
\N- [m_A = m\N]
et
\N- [m_B = m.\N]
Tu devrais t'attendre à ce que ce système soit équilibré, n'est-ce pas ? Trouvons le moment total du système, qui peut être trouvé en ajoutant simplement le moment de \(A\) et le moment de \(B\), donc
\N- m_Ax_A + m_Bx_B &= m\left(\frac{\ell}{2} \Ndroite) + m\left( - \frac{\ell}{2} \Ndroite) \N- &= m \left( \frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{2} \Ndroite) \N&= m(0) \N- &= 0. \N- [end{align}\N]
Figure 5. Deux poids égaux en équilibre sur une planche de bois de poids négligeable au sommet d'un point d'appui.
Jusqu'ici, tout va bien. Suppose maintenant que l'un des poids est plus lourd. La planche devrait s'incliner vers le poids le plus lourd, n'est-ce pas ? Si c'est le cas, la somme des moments de \(A\) et \(B\) ne sera pas égale à zéro, tu peux donc tirer une conclusion.
Figure 6. Deux poids différents sur une planche de bois. La planche penche vers le poids le plus lourd
Les poids forment ensemble ce qu'on appelle une distribution de masse, et si le système ne penche dans aucune direction, on dit qu'il est en équilibre.
Si la somme des moments d'une distribution de masse est égale à zéro, alors le système est en équilibre.
Supposons que tu aies deux poids, \(m_A=2 \text{ lb}\) et \( m_B=4 \text{ lb}\) qui sont reliés par une fine tige de poids négligeable. La tige repose sur un point d'appui situé à \(\frac{2}{3}\) de sa longueur, plus près de \(m_A\). Cette distribution de masse est-elle en équilibre ?
Solution :
Imagine que tu viens de placer les poids, il n'y a donc pas encore de basculement sur la planche s'il y en a.
Figure 7. Deux poids reliés par une tige reposant sur un point d'appui à \(2/3\) de sa longueur.
À partir de là, tu peux trouver que
\[ x_A= \frac{1}{3} \ell\]
et
\[ x_B=-\frac{2}{3} \ell, \]
tu peux donc trouver le moment total du système, c'est-à-dire
\[ \begin{align} m_A x_A + m_B x_B &= (2) \left( \frac{1}{3}\ell \right) + (4) \left(- \frac{2}{3}\ell \right) \\ &= \frac{2}{3}\ell - \frac{8}{3}\ell \\&= -2\ell. \N-END{align} \]
Puisque \( \ell\) représente une longueur, il est différent de zéro, donc le moment total de la distribution de masse n'est pas égal à zéro. Cela signifie qu'elle n'est pas en équilibre.
Distributions de masse en deux dimensions
Il est également possible d'avoir une distribution de masse en deux dimensions. Dans ce cas, tu peux faire la distinction entre les moments autour de l'axe \N(x-\N)et les moments autour de l'axe \N(y-\N). Bien que tu aies trouvé la position sur l'axe x, dans l'exemple de la planche, tu faisais référence au moment par rapport à l'axe y, car tu mesurais la distance entre chaque poids et l'axe y. Pour cette raison, le moment par rapport à l'axe \(y-\)du poids \(A\) est défini comme suit
\N[ m_Ax_A,\N]
tandis que son moment par rapport à l'axe \(x-\)est défini comme suit
\N[ m_Ay_A.\N]
Pour savoir si le système est en équilibre, tu dois considérer les moments par rapport aux deux axes séparément. Cela signifie que tu dois trouver la somme des moments par rapport à l'axe \N(x-\N) et la somme des moments par rapport à l'axe \N(y-\N).
Si la somme des moments par rapport aux deux axes est égale à zéro, alors le système est en équilibre par rapport à l'origine.
Les positions dans le plan cartésien de trois poids sont données par
\[ A=(3,2),\]
\[ B=(-2,1),\]
et
\[ C=(0,3).\]
La masse de \(A\) est égale à \(m\), \(B\) pèse deux fois plus que \(A\), et \(C\) pèse trois fois plus que \(A\). Cette configuration de masse est-elle en équilibre autour de l'origine ?
Solution :
Pour savoir si la répartition des masses est en équilibre autour de l'origine, tu dois déterminer si elle est en équilibre autour des deux axes.
Commence par déterminer si elle est en équilibre autour de l'axe \(y-\), tu dois donc calculer
\N[ m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C. \N]
N'oublie pas que si tu veux trouver le moment autour de l'axe des y, tu dois utiliser les valeurs des x. De même, pour trouver le moment autour de l'axe des x, tu utilises les valeurs des y.
On te dit que \(m_A=m\). Puisque \N-(B\N) pèse deux fois plus et \N-(C\N) trois fois plus, cela signifie que \N-(m_B=2m\N) et \N-(m_C=3m\N). Donc
\[ \begin{align} m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C &= (m)(3)+(2m)(-2)+(3m)(0) \\ &= 3m-4m+0m \\ &= -m. \N- [\N-]
Tu peux t'arrêter ici, car tu viens de constater que le système n'est pas en équilibre par rapport à l'axe \(y-\), ce qui signifie qu'il n'est pas non plus en équilibre par rapport à l'origine.
À titre d'illustration, tu peux trouver le moment autour de l'axe \N(x-\N), donc
\[ \begin{align} m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C &= (m)(2)+(2m)(1)+(3m)(3) \\ &= 2m+2m+9m = 13m. \N-{align}\N- [\N]
Cela signifie que le système n'est pas non plus en équilibre autour de l'axe \(x-\).
Dans ces exemples, on t'a donné la masse des poids ainsi que leur position. Bien que cela soit simple pour quelques poids, il est possible d'avoir un grand nombre de poids, c'est pourquoi une fonction décrivant la distribution de la masse est nécessaire.
La densité est une fonction qui décrit la distribution de la masse d'un système.
Remarque que cette définition de la densité s'inscrit dans le contexte du moment et du centre de masse.
Avec tout ce qui précède, tu es maintenant prêt à examiner la définition du centre de masse.
Le centre de masse d'une distribution de masse est un point tel que la somme des moments par rapport à lui est égale à zéro. Le centre de masse est également connu sous le nom de centre de gravité.
Cela signifie que si tu places le point d'appui au centre de masse d'une distribution de masse, alors celle-ci sera en équilibre.
En général, on te demandera de trouver le centre de masse d'une configuration de masse en deux dimensions.
Les coordonnées \( (x_{CM}, y_{CM}) \) du centre de masse d'une configuration de masse sont données par
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}\]
et
\[ y_{CM} = \frac{M_x}{M},\]
où \(M_y\) est la somme des moments par rapport à l'axe \(y-\), \(M_x\) est la somme des moments par rapport à l'axe \(x-\), et \(M\) est la masse totale de la configuration.
Tu as constaté que la configuration de masse de l'exemple précédent n'était pas en équilibre par rapport à l'origine. Essaie maintenant de trouver son centre de masse.
Les positions dans le plan cartésien de trois poids sont données par
\[ A=(3,2),\]
\[ B=(-2,1),\]
et
\[ C=(0,3).\]
La masse de \(A\) est égale à \(m\), \(B\) pèse deux fois plus que \(A\), et \(C\) pèse trois fois plus que \(A\). Trouve le centre de masse de cette configuration.
Solution :
Tu as déjà trouvé que
\N- [M_y = -m \N]
et
\N- [M_x = 13m, \N]
il ne te reste plus qu'à trouver la masse totale de la configuration, c'est-à-dire
\[ \begin{align} M &= m_A+m_B+m_C \\N- &= m+2m+3m \N- &= 6m. \n-{align}\n-[ \n-{align}} \n-{align}]
Enfin, tu peux trouver le centre de masse, donc
\[ \begin{align} x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \\N- &= \frac{-m}{6m} \N-\N-\N-\N-\N-\N -\Nfrac{1}{6} \N-END{align}\N]
et
\N[ \N- Début{alignement} y_{CM} &= \Nfrac{M_x}{M} \N- &= \frac{13m}{6m} \\N- &= \frac{13}{6}.\Nend{align}\N]
Cela signifie que le centre de masse de la configuration est situé à
\N[ \Nà gauche( -\Nfrac{1}{6}, \Nfrac{13}{6} \Nà droite).\N]
Densité et centre de masse en calcul
Jusqu'à présent, tu as étudié des configurations de masse composées de poids qui sont pris comme s'ils étaient des points. Ces configurations sont appelées configurations de masse discrète parce qu'elles sont constituées d'une quantité finie et dénombrable de masses.
Cependant, les objets tels que les planches, les tiges, les feuilles et les laminés ont une masse ! On peut considérer ces objets comme s'ils étaient des configurations de masse continue, et c'est là que le calcul entre en jeu.
Il y a deux choses que tu peux faire lorsqu'il s'agit de configurations de masse continue :
- On peut te donner une fonction qui décrit la densité d'un objet, auquel cas tu devras trouver sa masse totale.
- On peut te donner une fonction qui décrit la forme d'un objet, auquel cas tu devras trouver son centre de masse.
Par exemple, supposons que tu doives trouver le centre de masse d'une fine lamelle dont la forme peut être considérée comme la zone située sous une courbe.
Figure 8. Une lamelle mince dont la forme correspond à la zone située sous une parabole
L'aire sous une courbe te semble familière, n'est-ce pas ? Pour répondre à ce scénario, tu devras utiliser des intégrales.
Densité et centre de masse à l'aide d'intégrales
Tu peux utiliser les intégrales pour trouver la masse d'un objet en fonction de sa densité ou pour trouver son centre de masse en fonction de sa forme.
Centre de masse à l'aide d'intégrales
Lorsqu'il s'agit de trouver le centre de masse d'une lamelle décrite par la zone située sous une courbe, on te dira généralement qu'elle a une densité de masse constante (ou uniforme) \( \rho\). Pour ce faire, tu peux toujours utiliser les formules suivantes
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}\]
et
\[ y_{CM} = \frac{M_x}{M}.\]
La différence est que tu dois trouver \(M_y} et \(M_x}) en utilisant une approche différente, à savoir
\N[ M_y =\Nrho \Nint_a^b xf(x)\N,\Nmathrm{d}x, \N]
\[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]
et
\[ M = \rho \int_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x.\N]
On comprend mieux cela à l'aide d'un exemple.
Trouve le centre de masse d'une lamelle de densité constante \( \rho\) dont la forme est décrite par la surface ci-dessous.
\N[ f(x)= 4-x^2\]
dans l'intervalle \N([-2,2]\N).
Solution :
Ici, tu devras trouver le moment par rapport aux deux axes et la masse totale de la lamelle. Pour le moment par rapport à l'axe \(y-\)tu dois trouver
\[ \begin{align} M_y &= \rho \int_a^b x f(x) \N, \Nmathrm{d}x \N &= \rho \Nint_{-2}^2 x (4-x^2)\N,\Nmathrm{d}x, \Nend{align}\N]
ce que tu peux faire à l'aide de la règle de puissance, donc
\[ \begin{align} M_y &= \rho \int_{-2}^2 x(4-x^2)\N,\mathrm{d}x \N &= \rho \int_{-2}^2 (4x-x^3)\N,\mathrm{d}x \N &=\rho \Nà gauche. \left[ 2x^2-\frac{1}{4}x^4\right]\right|_{-2}^2 \\ &= \rho \left[ \left( 2(2)^2-\frac{1}{4}(2)^4 \right) - \left(2(-2)^2-\frac{1}{4}(-2)^4 \right) \right] \N- &= \Nrho \Ngauche( 4-4 \Ndroite) \N- &= 0. \N- [end{align}\N]
Note que pour l'intégrale ci-dessus, tu aurais aussi pu utiliser le fait qu'il s'agit d'une fonction impaire intégrée sur un intervalle symétrique, donc on peut s'attendre à ce que l'intégrale soit nulle.
Ensuite, trouve le moment par rapport à l'axe \(x-\), donc
\[ \begin{align} M_x &= \frac{1}{2} \rho \int_a^b (f(x))^2\,\mathrm{d}x, \rho \frac{1}{2}\rho \int_{-2}^2 (4-x^2)^2\,\mathrm{d}x, \end{align} \]
où tu devras d'abord développer le binôme
\[ M_x = \frac{1}{2}\rho \int_{-2}^2 (16-8x^2+x^4)\N,\rmathrm{d}x.\N]
Cette fois, tu dois identifier que tu intègres une fonction paire sur un intervalle symétrique, donc
\N[ \Nint_{-2}^2 (16-8x^2+x^4)\N,\Nmathrm{d}x = 2 \Nint_0^2 (16-8x^2+x^4)\N,\Nmathrm{d}x, \N]
ce qui signifie que
\[ M_x = \rho \int_0^2 (16-8x^2+x^4)\\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Tu peux maintenant utiliser la règle de puissance,
\[ \begin{align} M_x &= \rho \left. \left[16x-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5 \right] \right|_{0}^2 \\\\N- &= \rho \left[ \left(16(2)-\frac{8}{3}(2)^3+\frac{1}{5}(2)^5 \right) - \left( 16(0)-\frac{8}{3}(0)^3+\frac{1}{5}(0)^5\right)\right] \N- &= \N- \N- \N- \N- &= \N- &= \N-{256}{15} - 0\N- \N- \N- &= \N-{256}{15}\N- \N- \N- \N- \N- \N-. \N- [Fin{align}\N]
Enfin, trouve la masse de la lamelle, qui est donnée par
\[ \begin{align} M &= \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \rho \int_{-2}^2 (4-x^2) \, \mathrm{d}x \rho & = 2 \rho \int_0^2 (4-x^2)\,\mathrm{d}x \rho &= 2\rho \rho \left. \left( 4x-\frac{1}{3}x^3 \right) \right |_0^2, \end{align}\N]
où tu as une fois de plus utilisé le fait que l'intégrande est symétrique. Termine l'évaluation en substituant \N(x=2\N) et \N(x=0\N), c'est-à-dire
\[ \begin{align} M &= 2 \rho \left[ \left( 4(2)-\frac{1}{3}(2)^3\right)-\left( 4(0)-\frac{1}{3}(0)^3\right) \right] \\N- &=2\rho \N-gauche(8-\frac{8}{3}\rho) \N&= \frac{32}{3}\rho. \N- [end{align}\N]
Enfin, tu peux trouver les coordonnées du centre de masse en substituant les valeurs que tu viens de trouver, c'est-à-dire
\[ \begin{align} x_{CM} &= \frac{M_y}{M}\ \\ &= \frac{0}{\frac{32}{3} \rho} \N- &=0\Nend{align},\N]
et
\[ \begin{align} y_{CM} &= \frac{M_x}{M}\ \\ &= \frac{\frac{256}{15}\rho}{\frac{32}{3} \rho} \N- &=\frac{8}{5}\Nend{align}.\N]
Figure 9. Lamine de densité uniforme et son centre de masse
Trouver la masse d'un objet à l'aide d'intégrales
Tu peux aussi être amené à trouver la masse totale d'un objet lorsque la densité n'est pas constante, c'est-à-dire
\[ \rho = \rho (x).\r]
Généralement, cette tâche sera effectuée en une seule dimension, car pour la réaliser en deux ou trois dimensions, il faudra utiliser des intégrales doubles ou triples, ce qui est hors du champ d'application de l'AP.
Pour trouver la masse d'un objet étant donné une fonction décrivant sa densité, il te suffit d'intégrer, c'est-à-dire
\N[ M = \Nint_a^b \Nrho(x) \N, \Nmathrm{d}x.\N]
Trouve la masse \(M\) d'un bâton de densité non uniforme de longueur \(2\) dont la densité est décrite par la fonction
\[ \rho(x) = \frac{1}{4}(x-1)^2,\]
où \(x\) représente la distance à partir d'une extrémité de la tige.
Solution :
Commence par regarder le graphique de la fonction décrivant la densité de la tige, qui est une parabole.
Figure 10. Graphique de \( \rho(x)\). La zone située sous la courbe représente la masse de chaque section de la tige
Tu peux remarquer que la majeure partie du poids de la tige se trouve à ses extrémités. Pour trouver la masse totale, tu dois résoudre l'intégrale définie
\N[ M = \Nint_0^2 \Nfrac{1}{4}(x-1)^2\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Tu peux développer le binôme, mais tu trouveras plus simple d'utiliser la substitution avec
\N[ u=x-1,\N]
donc
\[ \mathrm{d}u=\mathrm{d}x.\]
De cette façon, tu peux trouver l'intégrale indéfinie
\[ \N- début{alignement} \int \frac{1}{4}(x-1)^2\\N- \Mathrm{d}x &= \int \frac{1}{4}u^2\N- \Mathrm{d}x \N- &= \frac{1}{4}\Nà gauche( \frac{1}{3} u^3\Nà droite) \N- &= \frac{1}{12}(x-1)^3\N- \Nend{align} \]
Alors que d'habitude, tu n'as pas besoin d'ajouter la constante d'intégration parce que ton but est l'évaluation d'une intégrale définie. Tu peux maintenant utiliser le théorème fondamental du calcul et évaluer l'intégrale définie, donc
\[ \begin{align} M &= \N- gauche. \n- gauche( \frac{1}{12}(x-1)^3 \n- droite) \n- droite |_0^2 \n- &= \n- gauche( \frac{1}{12}(2-1)^3 \n- droite) - \n- gauche( \frac{1}{12}(0-1)^3 \n- droite) \n- &= \frac{1}{12}-\left(-\frac{1}{12} \right) \c &= \frac{1}{6}. \N- [Fin{align}\N]
Cela signifie que la tige pèse \( \frac{1}{6}\) unités de masse.
Formules de densité et de centre de masse
Tu trouveras ici une compilation des formules impliquant la densité et le centre de masse.
Le centre de masse d'une configuration de masse a des coordonnées \( (x_{CM}, y_{CM})\), qui sont données par
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}\]
et
\[ y_{CM} = \frac{M_x}{M}.\]
Si tu travailles avec une configuration de masse discrète, alors
\N- M_y = m_1 x_1 + m_2 x_2 + \Npoints + m_n x_n,\N- M_y = m_1 x_1 + m_2 x_2 + \Npoints + m_n x_n,\N]
\[ M_x = m_1 y_1 + m_2 y_2 + \dots + m_n y_n,\]
et
\N- M= m_1 + m_2 + \Npoints + m_n,\N]
Si tu travailles avec une lamelle de densité constante \(\rho\), alors
\[ M_y =\rho \int_a^b xf(x)\N,\Nmathrm{d}x, \N]
\[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]
et
\[ M = \rho \int_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x,\N]
où la forme de la lamelle est donnée par la surface entre \( f(x) \), \( x=a\), \(x=b\), et l'axe \(x-\).
Si l'on te demande de trouver la masse d'une tige fine dont la densité est décrite par \N( \rho(x)\N), alors
\M = \int_a^b \rho(x) \, \mathrm{d}x.\N]
Exemples de problèmes sur la densité et le centre de masse
Tu trouveras ici d'autres problèmes concernant la densité et le centre de masse.
Les positions dans le plan cartésien de trois poids sont données par
\[ A=(-1,2),\]
\[ B=(1,-2),\]
et
\[ C=(2,-1).\]
\N- Le poids de \N(A) est le même que celui de \N(B), tandis que \N(C) pèse le même poids que la somme des poids de \N(A) et de \N(B). Trouve le centre de masse de cette configuration.
Solution :
Commence par noter que \(A\) et \(B\) pèsent le même poids, tu peux donc appeler cette valeur \(m\). \N- Le poids de \NC\NC\NC est le même que la somme de \NC\NA\Net \NC\NB\N donc
\[ \N- m_C &= m_A+m_B \N- \N- &= m+m \N- &=2m. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{align}}]
Trouve maintenant les moments, en commençant par le moment par rapport à l'axe \N(y-\N),
\[ \begin{align} M_y &= m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C \N- &= (m)(-1)+(m)(1)+(2m)(2) \N- &= -m+m+4m \N- &= 4m, \Nend{align}\N]
puis le moment par rapport à l'axe \(x-\),
\[ \begin{align} M_x &= m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C \N&= (m)(2)+(m)(-2)+2m(-1) \N- &= 2m-2m-2m \N- &=-2m, \Nend{align} \]
et la masse totale du système,
\[ \begin{align} M &= m_A + m_B + m_C \\N- &= m+m+2m \N- &=4m. \n-{align} \]
Enfin, tu peux trouver les coordonnées du centre de masse, c'est-à-dire
\[ \begin{align} x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \\N- &= \frac{4m}{4m} \N- &= 1, \Nend{align}\N]
et
\N-[\N- Début{align} y_{CM} &= \Nfrac{M_x}{M}]. \\N- &= \frac{-2m}{4m} \N- -\Nfrac{1}{2}.\Nend{align}\N]
Cela signifie que le centre de masse est situé à
\N[ \Nà gauche( 1, -\Nfrac{1}{2} \Nà droite).\N]
Qu'en est-il du centre de masse d'une lamelle ?
Trouve le centre de masse d'une lamelle de densité constante \( \rho\) dont la forme est décrite par la surface ci-dessous.
\N[ f(x)= 2x\N]
dans l'intervalle \N([0,3]\N).
Solution :
Comme d'habitude, tu devras trouver les deux moments et la masse de la lamelle. Pour le moment par rapport à l'axe \(y-\)tu devras calculer
\N- \N[ \N- \Ndébut{alignement} M_y &= \rho \int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x \rho \int_0^3 x (2x)\,\mathrm{d}x \rho \int_0^3 2x^2\,\mathrm{d}x, \end{align} \]
que tu peux trouver à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire
\[ \begin{align} M_y &= \rho \int_0^3 2x^2 \, \mathrm{d}x \\N &= \rho \Nà gauche. \left( \frac{2}{3}x^3\right)\right|_0^3 \\rho &= \left( \frac{2}{3}(3)^3-\frac{2}{3}(0)^3 \rright) \rho &= \frac{54}{3}\rho \rho &= 18\rho. \N- [end{align}\N]
Trouve ensuite le moment par rapport à l'axe \(x-\)en utilisant la formule correspondante, donc
\N- [\N- Début{align}] M_x &= \frac{1}{2}\rho \int_a^b (f(x))^2\,\mathrm{d}x \\N &= \frac{1}{2}\rho \int_0^3 (2x)^2 \N,\mathrm{d}x \N &= \frac{1}{2}\rho \int_0^3 (2x)^2 \N \N &= \frac{1}{2}\rho\int_0^3 4x^2\,\mathrm{d}x \\rho \int_0^3 2x^2\,\mathrm{d}x.\N- [Fin{align}\N]
Remarque qu'il s'agit de la même intégrale que celle que tu as trouvée précédemment, donc
\N- [M_x = 18\rho\N]
également. Trouve maintenant la masse de la lamelle en utilisant
\[ \begin{align} M &= \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \\N &= \rho \int_0^3 2x\,\mathrm{d}x, \Nend{align}\N]
En procédant ainsi, tu obtiendras
\[ \begin{align} M &= \rho \left.\left( x^2 \right) \right|_0^3 \\ &= \rho( (3)^2-(0)^2 ) \\&= 9\rho. \N- [end{align}\N]
Enfin, tu peux utiliser ces valeurs pour trouver les coordonnées du centre de masse, c'est-à-dire
\[ \begin{align} x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \N- &= \frac{18\rho}{9\rho} \N- &= 2\Nend{align}\N]
et
\N[ \N- début{align} y_{CM} &= \Nfrac{M_x}{M} \N- &= \frac{18\rho}{9\rho} \N- &= 2.\Nend{align}\N]
Cela signifie que le centre de masse est situé à
\[ (2,2).\]
Densité et centre de masse - Points clés à retenir
- Le moment par rapport à un point est défini comme le produit de la masse par sa distance à ce point.
- Si la somme des moments par rapport à un point est égale à zéro, alors le système est en équilibre par rapport à ce point.
- La répartition de la masse est un système composé de plusieurs corps qui ont un poids.
- La distribution de la masse peut être discrète ou continue.
- La densité est une fonction qui décrit la répartition de la masse d'un système.
- Le centre de masse d'une distribution de masse est un point tel que la somme des moments par rapport à lui est égale à zéro.
- Pour trouver le centre de masse \( (x_{CM},y_{CM}) \) d'une distribution de masse, tu utilises les formules\[x_{CM} = \frac{M_y}{M}\]et\[y_{CM} = \frac{M_x}{M}.\].
- Si tu as une distribution de masse discrète, alors\N-[ M_y = m_1 x_1 + m_2 x_2 + \N points + m_n x_n, \N] \N-[ M_x = m_1 y_1 + m_2 y_2 + \N points + m_n y_n,\N]et\N-[ M = m_1 + m_2 + \N points + m_n.\N]
- Si tu as une fine lamelle de densité uniforme \N( \rho\N) dont la forme est décrite par \N( f(x)\N), alors\N[ M_y =\rho \Nint_a^b xf(x)\N,\mathrm{d}x, \] \[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]et\[ M = \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
- Si l'on te donne une densité non uniforme sous la forme de \N( \Nrho(x)\N) alors tu peux trouver la masse totale de l'objet avec une intégrale\N[ M = \Nint_a^b \Nrho(x)\N,\Nmathrm{d}x.\N].
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