Peux-tu également appliquer le même scénario que celui que tu as vu pendant le marathon ? Peux-tu vérifier si la série converge à peine ou absolument ? En fait, oui, tu peux vérifier si la série converge absolument ou converge conditionnellement.
Ici, tu verras la convergence absolue et condition nelle des séries, la différence entre convergence absolue et conditionnelle, le théorème de convergence absolue et quelques exemples de convergence absolue et conditionnelle.
Comment définir la convergence absolue et la convergence conditionnelle ?
Lorsqu'il s'agit de séries, tu peux déterminer si elles convergent ou divergent grâce à différents tests de convergence, que tu as probablement déjà vus. Mais il s'avère que tu peux avoir des séries avec des termes positifs et négatifs. Dans ce cas, quel est le degré de convergence de l'ensemble de la série ? C'est là qu'intervient le concept de convergence absolue.
Convergence absolue
La convergence absolue d'une série te donne la garantie qu'elle converge même après avoir réarrangé ses termes.
Si la série comporte des termes positifs et négatifs et qu'elle est parfaitement alternée, alors tu peux vérifier la convergence par le test des séries alternées.
Mais que se passe-t-il si une série n'est pas alternée et qu'elle comporte également des termes négatifs ? Tu considères la valeur absolue des termes pour trouver la convergence de ce type de série.
Si la série
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \]
converge, alors la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
est appelée absolument convergente, et tu peux dire qu'elle converge absolument.
La convergence absolue est considérée comme plus forte que la convergence simple, car elle t'oblige à considérer les valeurs absolues de la série. Comme tu le verras plus loin, la convergence absolue d'une série implique que la série converge également.
Si l'on considère la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3} ,\]
vérifie si elle est absolument convergente ou non.
Solution :
Vérifier si cette série est absolument convergente revient à vérifier si la série des termes en valeur absolue est convergente.
Pour cela, tu appliques la valeur absolue au terme \(a_n\), et tu identifies le type de série qu'il forme, afin de savoir quel test de convergence utiliser.
La série de termes avec valeur absolue de la série donnée est égale à une série \(p-\)avec \(p=3\) :
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{n^3} \right|=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}.\N-]
Puisque \(p>1\), par le test de la série \(p-\)la série donnée est absolument convergente.
Pour un rappel sur ce type de séries, voir l'article Séries p.
Convergence conditionnelle
Sinon, qu'arrive-t-il à la série \(\sum\limites_{n=1}^{infty} a_{n} \) si la série de ses termes à valeur absolue ne converge pas ? C'est là qu'intervient la définition suivante.
Si la série
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \]
diverge et la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
converge, alors la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
est appelée conditionnellement convergente, et tu peux dire qu'elle converge conditionnellement.
Ici, le "conditionnellement" suggère qu'une série converge à peine. Tu peux vérifier la convergence conditionnelle en testant la divergence de la série avec des valeurs absolues et la convergence de la série originale.
Note que les types absolu et conditionnel conduisent tous deux à la convergence. Les types de convergence montrent le comportement de la série et l'impact des termes positifs et négatifs. Cela ne signifie pas que les séries de convergence absolue convergent et que les séries de convergence conditionnelle ne convergent pas.
Voyons ce concept de convergence conditionnelle dans un exemple.
Montre que la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} ,\]
est conditionnellement convergente.
Solution :
Ici, tu as deux choses à faire :
- montrer que la série donnée est convergente ;
- montrer que la série des termes en valeur absolue est divergente.
1. La série représentée est une série alternée où
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Si tu vérifies les conditions du test des séries alternées, tu confirmes qu'elle converge. En effet ,
- \N(a_n>0\N) pour tout \N(n\N) ;
- les termes \(a_n\) diminuent lorsque \(n\) augmente ; et
- pour la limite,\N[\Nlim_{n \Nà \Nfty} a_n=\Nlim_{n \Nà \Nfty} \Nfrac{1}{\Nsqrt{n}}=0.\N].
Pour un rappel de ce type de test, voir l'article Séries alternées.
Examinons l'un des théorèmes importants sur la convergence absolue.
Théorème de convergence absolue
Rappelle que la plupart des tests de convergence exigent que les termes soient positifs. Mais avec des termes négatifs et positifs, le fait de prendre des valeurs absolues et de vérifier la convergence absolue ouvre davantage de possibilités.
La convergence absolue de la série conduit à la convergence de la série. En fait, il s'agit du théorème de convergence absolue.
Théorème de convergence absolue :
Si la série \[\sum\limites_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\] converge,
alors la série \[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\] converge également.
Il est important de noter que la réciproque n'est pas vraie. Autrement dit, toutes les séries convergentes peuvent être absolues ou non.
Ensuite, tu verras deux exemples, l'un d'une application directe du théorème, et l'autre où la réciproque du théorème n'est pas vraie.
Considère la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-6},\]
et détermine si le théorème de convergence absolue s'applique. Si c'est le cas, que peux-tu en conclure ?
Solution :
Pour que le théorème s'applique, tu dois vérifier les conditions du théorème. C'est-à-dire que tu dois vérifier si la série de termes ayant une valeur absolue converge. En regardant la valeur absolue, tu obtiens
\[\sum\limites_{n=2}^{\infty}\left| \frac{1}{3^n-6} \right| .\]
Cette série est un bon candidat pour le test de racine. En regardant la limite,
\[\begin{align}L &=\lim_{n\to 0}\frac{\left|\dfrac{1}{3^{n+1}-6} \right|}{\left|\dfrac{1}{3^{n}-6} \Ndroite|} \\N- &=\lim_{n\to 0}\frac{\left|3^{n}-6\right|}{\left|3^{n+1}-6\right|}\N- &=\lim_{n\to 0}\frac{3^{n}-6}{3^{n+1}-6}\N- &=\lim_{n\to 0}\N-\N- &==\_{n\to 0}\frac{3^{n}}{3^{n+1}}\ &=\lim_{n\to 0}\frac{1}{3}\cdot\frac{3^{n}}{3^{n}\ &=\frac{1}{3}.[\N-END{align}\N]
Parce que \(L<1\), la série
\[\sum\limites_{n=2}^{\infty}\left| \frac{1}{3^n-6} \right| \]
converge absolument. Alors, par le théorème de convergence absolue, tu sais que la série
\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{3^n-6} \]
converge.
Le contraire du théorème de convergence absolue serait que la convergence implique la convergence absolue. Prenons un exemple pour montrer que ce n'est pas vrai.
Montre que la série
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}\]
converge sous condition.
Solution :
Vérifions la convergence de la série originale. La série originale est une série alternée où
\[a_n=\frac{1}{\ln{n}}.\]
Vérifie que les conditions pour utiliser le test des séries alternées sont remplies,
- \N(\Ndfrac{1}{\N{n}}>0\N) pour tout \N(n> 2\N) ;
- les termes \(\dfrac{1}{\ln{n}}\) diminuent à mesure que \(n\) augmente ; et
- \(\limites_{n \à \infty} \frac{1}{\ln{n}}=0\).
Examinons maintenant la convergence de la série des termes à valeur absolue :
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{\ln{n}} \right|=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln{n}}.\]
Remarquez que pour \N(n> 2\N), \N(\Nn{n}>n\N), donc
\[\frac{1}{\ln{n}}\lt \frac{1}{n}.\]
Tu sais que
\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \]
est la série harmonique, donc elle diverge. Par conséquent, la série
\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln{n}} \]
diverge, ce qui signifie que la série originale ne converge pas absolument. En fait, la série originale converge de façon conditionnelle.
Par conséquent, la convergence d'une série n'implique pas la convergence absolue de la série.
Jetons un coup d'œil à une question connexe. Que peux-tu conclure si la série n'est pas absolument convergente ?
Reprenons l'exemple précédent avec la série
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}.\]
Peux-tu appliquer le théorème de convergence absolue à cette série ?
Solution :
Non ! En fait, tu as vu que cette série ne converge pas de façon absolue, donc tu ne peux pas du tout appliquer le théorème de convergence absolue. Cela ne dit rien sur la série en question. Elle peut converger sous condition (comme dans l'exemple précédent) ou diverger, cela dépend.
Examinons maintenant d'autres propriétés des séries.
Différence entre convergence absolue et convergence conditionnelle
Voyons un résumé des différences entre la convergence absolue et la convergence conditionnelle.
Propriétés de la convergence absolue :
Si la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) converge, alors la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge absolument ;
Si la série converge absolument, alors les deux séries \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) et \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) convergent ;
La convergence absolue est une condition forte, puisque la convergence absolue d'une série implique que la série converge.
Propriétés de convergence conditionnelle :
Si la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) diverge mais que la série \ (\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge, alors la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge sous condition ;
Si la série converge sous condition, alors \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) diverge ;
La convergence conditionnelle est une condition comparativement plus faible puisque la convergence conditionnelle d'une série n'implique pas qu'une série converge.
Avec ces informations, examinons un exemple de convergence absolue.
Considère la série suivante :
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n^2}.\N].
Quel est le type de convergence (s'il y en a un) de cette série ?
Solution :
Voyons d'abord si la série converge absolument en regardant
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty}\left| \frac{\sin n}{n^2} \right|.\]
Cette série est une bonne série à utiliser avec le test de comparaison directe.
Note que
\N[0 \le \Ngauche| \sin{n} \Ndroite| \le 1,\N]
donc
\[0 \le \left| \frac{\sin{n}}{n^2} \le right| \le \frac{1}{n^2}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
La série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
converge car c'est une série \(p-\)avec \(p=2\), donc par le test de comparaison directe
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }\left| \frac{\text{sin}\;n}{n^2} \right|\]
converge également.
Cela signifie que la série converge absolument, ce qui implique qu'elle converge également selon le théorème de la convergence absolue.
La convergence absolue est une convergence forte car le simple fait que la série de termes avec une valeur absolue converge, fait que la série d'origine, celle sans la valeur absolue, converge également.
La convergence conditionnelle vient ensuite.
Considère la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\]
Quel type de convergence cette série a-t-elle (le cas échéant) ?
Solution :
Pour vérifier la convergence absolue, regarde la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right|.\]
En fait, il s'agit de la série harmonique, et tu sais qu'elle diverge. La série originale ne converge donc pas de façon absolue. Cela signifie que tu ne peux pas utiliser le théorème de convergence absolue.
Vérifions maintenant la convergence de la série. Il s'agit d'une série alternée où \(a_n=\dfrac{1}{n}\). Les conditions d'application du test des séries alternées sont satisfaites puisque :
- \N(a_n>0\N) pour tout \N(n\N) ;
- les termes \(a_n\) diminuent lorsque \(n\) augmente ; et
- \(\limites_{n \Nà \Nfty} a_n=\limites_{n \Nà \Nfty} \frac{1}{n}=0\N).
Prochainement, d'autres exemples !
Exemple de convergence absolue
Prenons un autre exemple pour voir comment fonctionne la convergence absolue.
La série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]
converge absolument ou non ?
Solution :
Tu peux utiliser le test des séries alternées pour montrer que la série converge, mais cela ne veut pas dire qu'elle converge absolument.
Pour vérifier la convergence absolue, tu dois examiner les éléments suivants
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} \right |=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}.\]
Tu peux appliquer le test de la racine à la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]
pour voir qu'elle converge.
Rappelle-toi que tu as énoncé le test de racine comme suit :
Soit \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\) une série et définit \(L\) par \[L=\lim_{n\to \infty }\left | a_n \right |^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{\left | a_n \right |}.\N].
Alors les points suivants sont valables :
1. Si \(L<1\) alors la série est absolument convergente.
2. Si \(L>1\) alors la série diverge.
3. Si \(L=1\) alors le test n'est pas concluant.
Puisque la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} \Ndroite |\N] converge, la série
\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}] converge absolument.
Prenons maintenant un exemple de convergence conditionnelle.
Exemple de convergence conditionnelle
Tu vas voir ici l'exemple de convergence conditionnelle.
La série est-elle
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]
absolument convergente ou conditionnellement convergente ?
Solution :
Vérifie d'abord la convergence absolue en regardant
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}} \Ndroite | = \sum\limites_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}.\N]
Cette série diverge selon le test de \(p-\)Series. La série originale ne converge donc pas de façon absolue.
Mais convergera-t-elle conditionnellement ? Pour le vérifier, tu dois trouver la convergence de la série originale. La série originale est une série alternée avec \(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Le test des séries alternées, te donne que la série
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]
converge. La série est donc conditionnellement convergente.
Convergence absolue et conditionnelle - Principaux enseignements
- Si la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) converge, alors la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) est appelée absolument convergente.
- Si la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left | a_{n} \right | \) diverge mais \ (\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge, alors la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) est appelée conditionnellement convergente.
- Théorème de la convergence absolue - Si la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}|\) converge, alors la série \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge également.
- Une série qui converge peut être absolument convergente ou non. Tu ne peux pas le savoir sans vérifier.
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