Convergence absolue et conditionnelle

Si l'on considère la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3} ,\]

vérifie si elle est absolument convergente ou non.

Solution :

Vérifier si cette série est absolument convergente revient à vérifier si la série des termes en valeur absolue est convergente.

Pour cela, tu appliques la valeur absolue au terme \(a_n\), et tu identifies le type de série qu'il forme, afin de savoir quel test de convergence utiliser.

La série de termes avec valeur absolue de la série donnée est égale à une série \(p-\)avec \(p=3\) :

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{n^3} \right|=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}.\N-]

Puisque \(p>1\), par le test de la série \(p-\)la série donnée est absolument convergente.

Montre que la série

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} ,\]

est conditionnellement convergente.

Solution :

Ici, tu as deux choses à faire :

1. montrer que la série donnée est convergente ;
2. montrer que la série des termes en valeur absolue est divergente.

1. La série représentée est une série alternée où

\[a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.\]

Si tu vérifies les conditions du test des séries alternées, tu confirmes qu'elle converge. En effet ,

• \N(a_n>0\N) pour tout \N(n\N) ;
• les termes \(a_n\) diminuent lorsque \(n\) augmente ; et
• pour la limite,\N[\Nlim_{n \Nà \Nfty} a_n=\Nlim_{n \Nà \Nfty} \Nfrac{1}{\Nsqrt{n}}=0.\N].

Considère la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-6},\]

et détermine si le théorème de convergence absolue s'applique. Si c'est le cas, que peux-tu en conclure ?

Solution :

Pour que le théorème s'applique, tu dois vérifier les conditions du théorème. C'est-à-dire que tu dois vérifier si la série de termes ayant une valeur absolue converge. En regardant la valeur absolue, tu obtiens

\[\sum\limites_{n=2}^{\infty}\left| \frac{1}{3^n-6} \right| .\]

Cette série est un bon candidat pour le test de racine. En regardant la limite,

\[\begin{align}L &=\lim_{n\to 0}\frac{\left|\dfrac{1}{3^{n+1}-6} \right|}{\left|\dfrac{1}{3^{n}-6} \Ndroite|} \\N- &=\lim_{n\to 0}\frac{\left|3^{n}-6\right|}{\left|3^{n+1}-6\right|}\N- &=\lim_{n\to 0}\frac{3^{n}-6}{3^{n+1}-6}\N- &=\lim_{n\to 0}\N-\N- &==\_{n\to 0}\frac{3^{n}}{3^{n+1}}\ &=\lim_{n\to 0}\frac{1}{3}\cdot\frac{3^{n}}{3^{n}\ &=\frac{1}{3}.[\N-END{align}\N]

Parce que \(L<1\), la série

\[\sum\limites_{n=2}^{\infty}\left| \frac{1}{3^n-6} \right| \]

converge absolument. Alors, par le théorème de convergence absolue, tu sais que la série

\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{3^n-6} \]

converge.

Montre que la série

\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}\]

converge sous condition.

Solution :

Vérifions la convergence de la série originale. La série originale est une série alternée où

\[a_n=\frac{1}{\ln{n}}.\]

Vérifie que les conditions pour utiliser le test des séries alternées sont remplies,

• \N(\Ndfrac{1}{\N{n}}>0\N) pour tout \N(n> 2\N) ;
• les termes \(\dfrac{1}{\ln{n}}\) diminuent à mesure que \(n\) augmente ; et
• \(\limites_{n \à \infty} \frac{1}{\ln{n}}=0\).

Examinons maintenant la convergence de la série des termes à valeur absolue :

\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{\ln{n}} \right|=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln{n}}.\]

Remarquez que pour \N(n> 2\N), \N(\Nn{n}>n\N), donc

\[\frac{1}{\ln{n}}\lt \frac{1}{n}.\]

Tu sais que

\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \]

est la série harmonique, donc elle diverge. Par conséquent, la série

\[\sum\limites_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln{n}} \]

diverge, ce qui signifie que la série originale ne converge pas absolument. En fait, la série originale converge de façon conditionnelle.

Par conséquent, la convergence d'une série n'implique pas la convergence absolue de la série.

Reprenons l'exemple précédent avec la série

\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}.\]

Peux-tu appliquer le théorème de convergence absolue à cette série ?

Solution :

Non ! En fait, tu as vu que cette série ne converge pas de façon absolue, donc tu ne peux pas du tout appliquer le théorème de convergence absolue. Cela ne dit rien sur la série en question. Elle peut converger sous condition (comme dans l'exemple précédent) ou diverger, cela dépend.

Considère la série suivante :

\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n^2}.\N].

Quel est le type de convergence (s'il y en a un) de cette série ?

Solution :

Voyons d'abord si la série converge absolument en regardant

\[\sum\limites_{n=1}^{\infty}\left| \frac{\sin n}{n^2} \right|.\]

Cette série est une bonne série à utiliser avec le test de comparaison directe.

Note que

\N[0 \le \Ngauche| \sin{n} \Ndroite| \le 1,\N]

donc

\[0 \le \left| \frac{\sin{n}}{n^2} \le right| \le \frac{1}{n^2}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

La série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]

converge car c'est une série \(p-\)avec \(p=2\), donc par le test de comparaison directe

\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }\left| \frac{\text{sin}\;n}{n^2} \right|\]

converge également.

Cela signifie que la série converge absolument, ce qui implique qu'elle converge également selon le théorème de la convergence absolue.

La convergence absolue est une convergence forte car le simple fait que la série de termes avec une valeur absolue converge, fait que la série d'origine, celle sans la valeur absolue, converge également.

Considère la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\]

Quel type de convergence cette série a-t-elle (le cas échéant) ?

Solution :

Pour vérifier la convergence absolue, regarde la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right|.\]

En fait, il s'agit de la série harmonique, et tu sais qu'elle diverge. La série originale ne converge donc pas de façon absolue. Cela signifie que tu ne peux pas utiliser le théorème de convergence absolue.

Vérifions maintenant la convergence de la série. Il s'agit d'une série alternée où \(a_n=\dfrac{1}{n}\). Les conditions d'application du test des séries alternées sont satisfaites puisque :

• \N(a_n>0\N) pour tout \N(n\N) ;
• les termes \(a_n\) diminuent lorsque \(n\) augmente ; et
• \(\limites_{n \Nà \Nfty} a_n=\limites_{n \Nà \Nfty} \frac{1}{n}=0\N).

La série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]

converge absolument ou non ?

Solution :

Tu peux utiliser le test des séries alternées pour montrer que la série converge, mais cela ne veut pas dire qu'elle converge absolument.

Pour vérifier la convergence absolue, tu dois examiner les éléments suivants

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} \right |=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}.\]

Tu peux appliquer le test de la racine à la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]

pour voir qu'elle converge.

Puisque la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} \Ndroite |\N] converge, la série

\[\sum\limites_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}] converge absolument.

La série est-elle

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]

absolument convergente ou conditionnellement convergente ?

Solution :

Vérifie d'abord la convergence absolue en regardant

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}} \Ndroite | = \sum\limites_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}.\N]

Cette série diverge selon le test de \(p-\)Series. La série originale ne converge donc pas de façon absolue.

Mais convergera-t-elle conditionnellement ? Pour le vérifier, tu dois trouver la convergence de la série originale. La série originale est une série alternée avec \(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Le test des séries alternées, te donne que la série

\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]

converge. La série est donc conditionnellement convergente.