Pour la définition de la continuité d'une fonction en un point, voir Continuité.
Révision de la notation des intervalles
Tout d'abord, passons en revue quelques points concernant les intervalles. Rappelle-toi que les intervalles peuvent être ouverts ou fermés, et que tu peux les écrire sous différentes notations. Les plus courantes sont la notation des intervalles et la notation des inégalités :
| Notation des intervalles | Notation de l'inégalité |
| \N- [a, b] \N- \N- \N) | \N( a \le x \le b \N) |
| \N- (a, b) \N - (a, b) \N - (a, b) \N - (a, b) | \N- a < x < b \N- \N |
| \( (-\infty, \infty ) \) | tous les nombres réels, également écrits comme \N( \Nmathbb{R} \N) |
| \N- [a, b) \N- \N- \N | \N- a \Nle x < b \N- \N |
| \N- (a, b) \N - \N | \N- a < x \N- b \N- \N |
Tu trouveras plus de détails sur la notation des intervalles dans notre article Fonctions.
En outre, rappelons quelques termes clés que nous utiliserons dans cet article : Points intérieurs et points finaux.
Un point final est un point situé à l'extrémité gauche ou droite d'un intervalle.
Un point \N( x \N) est à l'intérieur d' un intervalle \N( I \N) si \N( x \N dans I \N) et \N( x \N) n'est pas un point final de \N( I \N).
Prenons quelques exemples d'applications de la notation des intervalles.
Pour l'intervalle \( [2, 3) \) quels sont les points d'extrémité, et qu'est-ce qui se trouve à l'intérieur ?
Réponse :
Les extrémités sont \N( x = 2 \N) et \N( x = 3 \N). Remarque que l'un des points d'extrémité est dans l'intervalle , mais que l'autre ne l'est pas. Les extrémités n'ont pas besoin d'être à l'intérieur de l'intervalle.
Pour l'intérieur, tu sais qu'il ne peut pas s'agir d'un point d'extrémité et qu'il doit se trouver à l'intérieur de l'intervalle. Donc, pour cet exemple, tout point entre 2 et 3 est à l'intérieur, ou en d'autres termes, les points où \( 2 < x < 3 \). C'est la même chose que l'intervalle \N( (2,3) \N) !
Et si ton intervalle est \N( (-\infty, \infty ) \N) ? Cet intervalle a-t-il des extrémités ? Quels sont les points qui se trouvent à l'intérieur ?
Réponse :
Les extrémités d'un intervalle doivent être des nombres ; dans ce cas, ce n'est pas le cas (l'infini n'est pas un nombre), donc il n'y a pas d'extrémités.
En fait, tout nombre réel est compris entre \( -\infty \) et \( \infty \), donc tout nombre réel se trouve à l'intérieur. Cela signifie que l'intérieur est \N( \Mathbb{R} \N).
Continuité d'une fonction sur un intervalle
Comme il existe des points d'extrémité et des points intérieurs d'intervalles, la définition de la continuité sur un intervalle doit tenir compte de ces deux éléments. Mais c'est une bonne idée d'utiliser ce que tu sais déjà sur la continuité en un point et les limites de gauche et de droite. Commençons donc par définir la continuité à gauche et à droite.
Une fonction \N( f(x) \N) est dite continue par la droite en \N( a \N) si
\N[ \Nlimite_{x \Nà a^+} f(x) = f(a) . \N]
Une fonction est dite continue à gauche en \N( a \N) si
\N-[ \Nlimite_{x \Nà a^-} f(x) = f(a). \N]
Pour plus d'informations sur les limites de gauche et de droite, voir Limites unilatérales.
Le problème de la définition de la continuité sur un intervalle est qu'il existe de nombreux types d'intervalles différents. Parfois, les extrémités se trouvent dans l'intervalle, parfois non. La définition doit donc tenir compte de tous ces cas ! Dressons une liste de ce qui devrait figurer dans la définition :
Rappelle-toi que pour qu'une fonction ait une chance d'être continue en un point, elle doit être définie en ce point. La première chose à faire est donc de s'assurer que l'intervalle qui te préoccupe se trouve dans le domaine de la fonction.
Les points intérieurs de l'intervalle sont plus faciles à définir puisque nous savons que nous pouvons y évaluer la limite de la fonction. La définition doit donc dire que la fonction est continue en tout point intérieur de l'intervalle.
Tu ne sais pas si l'intervalle a une extrémité gauche qui est dans l'intervalle ou non. En fait, l'extrémité gauche de l'intervalle peut ne pas exister, comme dans l'exemple \( ( -\infty, 0] \). La définition doit donc dire quelque chose comme "si l'extrémité gauche est dans l'intervalle, alors la fonction est continue à partir de la gauche".
Tu ne sais pas non plus si l'intervalle a une extrémité droite qui est dans l'intervalle, donc la définition doit prendre en compte ce cas, de la même façon qu'elle prend en compte l'extrémité gauche.
En condensant la liste des souhaits en langage mathématique, on obtient ce qui suit :
Soit \N( I \N) un intervalle dans le domaine de la fonction \N( f(x)\N). Nous disons que f (x) est continue sur l'intervalle f(x) si toutes les conditions suivantes sont remplies :
- \Nf(x) \Nest continue en tous les points intérieurs de \NI \N ;
- Si le point d'extrémité gauche (a) de l'intervalle (I) est dans l'intervalle, alors (f) (x) est continu à partir de la droite en (a) ; et (b) si le point d'extrémité droit (a) de l'intervalle (I) est dans l'intervalle, alors (f) (x) est continu à partir de la droite en (a).
- Si l'extrémité droite (b) de l'intervalle (I) est dans l'intervalle, alors (f) est continue à partir de la gauche à (b).
Parfois, tu voudras regarder le domaine entier d'une fonction et dire si elle est continue ou non sur tout le domaine.
On dit qu'une fonction f(x) est continue sur son domaine si elle est continue en tout point de son domaine.
Parfois, tu verras une fonction qui est continue sur toute la ligne réelle appelée continue partout.
Tu peux maintenant écrire les étapes permettant de vérifier si une fonction est continue sur un intervalle.
Étape 1 : Assure-toi que l'intervalle qui t'intéresse fait partie du domaine de la fonction.
Étape 2 : Vérifie l'intérieur de l'intervalle pour voir si la fonction y est continue.
Étape 3 : Vérifie si la fonction est continue à partir de la droite ou de la gauche, selon les besoins, aux extrémités de l'intervalle.
Exemples de continuité sur un intervalle
Voyons d'abord quelques exemples d'utilisation de la définition pour savoir si une fonction est continue ou non sur un intervalle.
La fonction \( f(x) = \sqrt{ x-4}) est-elle continue sur l'intervalle \( [0, 7)) ? \Nest-elle continue sur l'intervalle \N( [0, 7) \N) ?)
Réponse :
Étape 1 : La première étape consiste à vérifier le domaine de la fonction. Tu sais que tu ne peux pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif et obtenir un nombre réel, donc pour qu'un point soit dans le domaine, il faut que \( x - 4 \ge 0 \N), ou en d'autres termes \( x \N \N 4 \N). En écrivant cela en notation d'intervalle, le domaine de f(x) est f( [4, \infty ) \N]. Puisqu'une partie de l'intervalle \N([0, 7 ) \Nn'est pas dans le domaine, la fonction n'est certainement pas continue sur l'intervalle \N ([0, 7 ) \N). Tu n'as même pas besoin de faire les autres étapes car la fonction n'est déjà pas continue.
La fonction \ ( f(x) = \sqrt{ x-4} ) est-elle continue sur l'intervalle \( [4, 7)) ? \Nest-elle continue sur l'intervalle \N( [4, 7) \N) ?)
Réponse :
D'après l'exemple précédent, tu sais déjà que l'intervalle \N ([4, 7) \N) est dans le domaine de la fonction, donc l'étape 1 est couverte. Puisque 7 n'est pas dans l'intervalle, tu n'as plus qu'à vérifier deux choses :
Étape 2 : La fonction est-elle continue en tout point de l'intérieur ? L'intérieur de l'intervalle est \ ( (4, 7) \N), donc en d'autres termes, si tu choisis un point aléatoire \ ( p \N dans (4, 7) \N), la fonction y est-elle continue ?
Étape 3 : La fonction est-elle continue à partir de la droite en \N( p = 4\N) ?
Étape 2 : Choisis maintenant un point aléatoire \N ( p \N dans (4, 7) \N). Tu sais que ce point se trouve à l'intérieur de l'intervalle et que la fonction y est définie. En utilisant les propriétés des limites et des racines carrées, tu obtiens donc
\[ \limites_{x \Nà p^+} f(x) = \limites_{x \Nà p^+} \sqrt{ x-4} = \sqrt{ p-4} = f(p). \]
Mais il s'agissait de n'importe quel point à l'intérieur de l'intervalle, ce qui signifie que cela fonctionne pour n'importe quel point à l'intérieur.
Étape 3 : regarde d'abord la valeur de la fonction à \ ( p = 4\). Tu obtiens \Nf(4) = \sqrt{4-4} = 0 \N). Ensuite, en utilisant les propriétés des limites et la fonction racine carrée, en prenant la limite de droite à \ ( p = 4\) tu obtiens
\N[ \Nlimites_{x \Nà 4^+} f(x) = \Nlimites_{x \Nà 4^+} \Nsqrt{ x-4} = 0. \N]
Puisque cette valeur est égale à la valeur de la fonction, tu sais que la fonction est continue à partir de la droite à \( p = 4 \N) .
En rassemblant toutes les étapes, tu sais que \Nf(x) est continue sur l'intervalle \N [4, 7 ] .
Intervalles de continuité sur un graphique
En regardant le graphique d'une fonction, une question que tu peux te poser est "quels sont les intervalles où elle est continue" ?
Les intervalles où la fonction est continue sont appelés les intervalles de continuité.
Pour la fonction du graphique, est-elle continue sur l'intervalle \( (-2, 3] \) ?
Vérifie si la fonction est continue sur un intervalle, StudySmarter Original
Réponse :
Remarque que l'intervalle ne contient pas l'extrémité gauche mais contient l'extrémité droite.
Passe en revue les étapes pour vérifier la continuité sur un intervalle :
Étape 1 : La fonction est définie sur l'ensemble de l'intervalle, donc cette partie est bonne à prendre.
Étape 2 : Tu dois maintenant vérifier les points à l'intérieur de l'intervalle pour t'assurer que la fonction y est continue. L'intérieur de \N ( (-2, 3) \N) est l'intervalle \N ( (-2, 3) \N). Si tu choisis n'importe quel point de l'intérieur et que tu regardes la limite, elle est certainement la même que la valeur de la fonction. Cela signifie que la fonction est continue à l'intérieur.
Étape 3 : Il te suffit donc de vérifier que \Nf(x) est continue à partir de la gauche en \Nf(x = 3) parce qu'elle se trouve dans l'intervalle. Tu n'as pas besoin de vérifier que \N( f(x) \N) est continue à partir de la droite à \N( x = -2 \N) parce qu'elle n'est pas dans l'intervalle. Comme tu peux le voir sur le graphique,
\N-[ \Nlimite_{x \Nà 3^-} f(x) = 7 = f(3), \N]
la fonction est donc continue à partir de la gauche à \N ( x = 3 \N).
Par conséquent, la fonction f(x) est continue sur l'intervalle f (-2, 3 ).
Pour la fonction du graphique, est-elle continue sur l'intervalle \ ( (-2, 3] \ ) ?
Vérifie si la fonction est continue sur l'intervalle à l'aide d'un graphique, StudySmarter Originals
Réponse :
Cette fonction est presque la même que celle de l'exemple précédent. En effet, la vérification pour s'assurer qu'elle est continue à l'intérieur est exactement la même. Il ne reste donc plus qu'à vérifier l'extrémité droite de l'intervalle \ ( (-2, 3] \ ) . Remarque que \( f(3) = 1 \N). De même,
\[ \N- Limite_{x \Nà 3^-} f(x) = 7 . \N- \N]
Maintenant, la limite de gauche au point final n'est pas la même que la valeur de la fonction, donc la fonction n'est PAS continue sur l'intervalle \N ( (-2, 3] \N)). .
Pour la fonction du graphique ci-dessous, trouve tous les intervalles de continuité.
Trouver des intervalles de continuité à partir d'un graphique, StudySmarter Originals
Réponse :
En regardant l'image, il est clair que la fonction est définie partout. Même à \N( x = 0 \N), la fonction est définie, et \N( f(0) = 3 \N). De plus, partout ailleurs qu'à \N( x = 0 \N), la limite est la même que la valeur de la fonction. Donc, le seul point dont tu dois te préoccuper est \N( x = 0 \N). Comme ce point se trouve dans le domaine, tu dois vérifier la limite à gauche et à droite :
\N-[ \Nlimite_{x \Nà 0^-} f(x) = 3 , \N]
et
\[ \limite_{x \Nà 0^+} f(x) = \Ninfty . \N]
Comme ces deux limites ne sont pas les mêmes, la fonction n'est pas continue à \( x = 0 \N) même si elle y est définie. Les intervalles de continuité sont donc \( (-\infty , 0) \cup ( 0, \infty ) \).
Utiliser l'équation pour trouver les intervalles de continuité
Naturellement, tu ne veux pas représenter graphiquement chaque fonction pour voir où se trouvent les intervalles de continuité. Voyons donc quelques exemples d'utilisation de la formule de la fonction pour les trouver.
Trouve les intervalles de continuité de la fonction
\[ f(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{ x^2 - 4}} . \]
Réponse :
Les étapes sont exactement les mêmes si tu cherches des intervalles de continuité.
Étape 1 : Pour commencer à chercher des intervalles de continuité, tu dois d'abord trouver le domaine de la fonction. Le numérateur de cette fonction est une belle ligne, et elle est définie partout.
Le seul problème serait donc le dénominateur de la fonction, qui est \( \sqrt{ x^2 - 4} \).
Rappelle-toi que tu ne peux pas avoir de zéro au dénominateur et que tu ne peux pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Tu peux factoriser cette équation pour obtenir :
\[ \sqrt{ x^2 - 4} = \sqrt{ (x - 2)(x+ 2)} , \]
et les racines de cette équation se trouvent à \( x = 2 \N) et \( x = -2 \N). En outre, elle n'est définie que lorsque
\N[ x^2 - 4 \Nge 0 , \N]
ou, en d'autres termes, lorsque
\N[ x^2 \Nge 4 \N]
ce qui signifie que soit \N( x \le -2 \N) soit \N( x \le 2 \N) doit être vrai. En combinant la règle "pas de zéro au dénominateur" avec la règle "des nombres positifs dans les racines carrées", tu peux voir que la fonction \( f(x) \N) a pour domaine \N( ( -\Nfty , -2) \Ncup (2, \Nfty ) \N).
Étape 2 : Il n'y a pas d'autres points de discontinuité possibles dans le domaine que ceux que tu as déjà trouvés, donc la fonction est continue à l'intérieur du domaine.
Étape 3 : Les extrémités du domaine ne sont pas dans le domaine, tu n'as donc pas besoin de faire une vérification spéciale pour elles.
Cela signifie que les intervalles de continuité pour \( f(x) \N) sont \N( ( -\infty , -2) \N) et \N( (2, \infty ) \N).
Trouve les intervalles de continuité pour la fonction
\[ f(x) = \sqrt{ -x^3 -3x^2 + 13x + 15} . \]
Réponse :
Étape 1 : La première étape consiste à trouver le domaine de la fonction. Il est utile que la fonction à l'intérieur de la racine carrée ait une forme factorisée et que
\[ -x^3 -3x^2 + 13x + 15 = -(x-3)(x+1)(x+5). \]
Les racines de cette fonction se trouvent à \N( x = 3 \N), \N( x = -1 \N) et \N( x = -5 \N).
En introduisant des valeurs de test dans chaque intervalle entre les racines, nous savons que la fonction
\N[ y = -(x-3)(x+1)(x+5) \N]
est positive sur les intervalles \( (-\infty , -5) \cup (-1, 3) \). Le domaine de f(x) est donc f( ( -infty , -5) \cup [-1, 3] \cup).
Tu trouveras plus de détails sur la façon de déterminer si la fonction est positive ou négative sur un intervalle dans la section Notation des intervalles de notre article sur les fonctions.
Étape 2 : L'intérieur du domaine est \ ( (-\infty , -5) \cup (-1, 3) \) et il n'y a aucun point de discontinuité possible à cet endroit. Cela signifie que la fonction est continue à l'intérieur du domaine.
Étape 3 : Il te suffit de vérifier que les limites gauche ou droite aux extrémités du domaine sont les mêmes que les valeurs de la fonction à cet endroit.
Pour \N( x = -5 \N), l'évaluation donne \N( f(-5) = 0 \N). En regardant la limite de gauche ici,
\N-[ \Nlimite_{x \Nà -5^-} f(x) = \Nlimite_{x \Nà -5^-} \sqrt{ -x^3 -3x^2 + 13x + 15} = 0 . \]
Puisque les deux sont identiques, \N( f(x) \N) est continue à partir de la gauche à \N ( x = -5 \N). Nous pouvons faire une vérification similaire pour montrer que est continue depuis la gauche à \N( x = 3 \N).
Pour \N( x = -1 \N), tu devras vérifier la limite à partir de la droite. Donc
\[ \limite_{x \Nà -1^+} f(x) = \limite_{x \Nà -1^+} \sqrt{ -x^3 -3x^2 + 13x + 15} = 0 = f(-1), \]
ce qui signifie qu'elle est continue à partir de la droite à \N ( x = -1 \N).
En mettant tout cela ensemble, tu as vérifié l'intérieur du domaine et les limites appropriées de gauche et de droite aux extrémités du domaine qui sont en fait dans le domaine, donc tu sais que \( f(x) \N) est continue sur son domaine. Cela signifie que les intervalles de continuité sont \N ( (-\infty , -5) \N) et \N( (-1, 3) \N).
Prouver la continuité sur un intervalle
Appliquons la définition de la continuité sur un intervalle à quelques exemples.
Prends la droite \N( f(x) = 4x - 3 \N). Le domaine de cette fonction est toute la ligne réelle. Cette fonction est-elle continue partout ?
Réponse :
Plutôt que d'essayer de le faire pour chaque point du domaine (ce qui serait impossible !), prends \( p \N) comme un nombre réel aléatoire. En utilisant la définition de continu, tu dois vérifier que la limite existe en \N( p \N) et qu'elle est identique à la valeur de la fonction à cet endroit. La vérification donne
\[ \limites_{x \à p} f(x) = \limites_{x \à p} (4x-3) = 4p-3 = f(p), \]
ce qui signifie que \N( f(x) \N) est continue à \N( p \N). Mais \N( p \N) était juste un nombre réel aléatoire, ce qui signifie que cela fonctionne pour n'importe quel nombre réel ! Par conséquent, f(x) est continue partout.
En fait, tu peux faire exactement la même chose que dans l'exemple précédent pour n'importe quel polynôme, ce qui conduit au théorème suivant.
Théorème : Tout polynôme est continu sur toute la ligne réelle.
Qu'en est-il des fonctions rationnelles ?
Où se trouve la fonction
\[ f(x) = \frac{ x^2 - 4}{x + 3} \]
continue ?
Réponse :
Tout d'abord, tu dois décider où se trouve le domaine de la fonction car tu ne veux certainement pas perdre de temps à vérifier des points qui ne sont pas dans le domaine. Tu sais déjà que le domaine des fonctions rationnelles est partout sauf là où le dénominateur est égal à zéro. Cela signifie que le domaine de est \N( ( -\infty, -3) \cup (-3, \infty ) \N). Comme dans l'exemple précédent, prenons \N p \N comme point aléatoire dans le domaine, donc \N p \N dans ( -\Nfty, -3) \Ncup (-3, \Nfty ) \N). Puisque \Npour p\Nest dans le domaine, tu sais que \Npour p\Nn'est pas le point final du domaine (en d'autres termes, ce n'est pas \Npour -3 \N), donc tu n'as pas besoin de vérifier les limites de gauche ou de droite. Vérification de la limite,
\N[ \Nlimites_{x \Nà p} f(x) = \Nlimites_{x \Nà p} \frac{ x^2 - 4}{x + 3} = \frac{ p^2 - 4}{p + 3} = f(p) . \]
Mais \N( p \N) était juste un point aléatoire dans le domaine, donc la fonction est continue sur tout son domaine, ou en d'autres termes, elle est continue sur \N( ( -\Ninfty, -3) \Ncup (-3, \Ninfty ) \N) .
Mais le processus que tu as fait dans l'exemple précédent fonctionnerait pour n'importe quelle fonction rationnelle. Tu peux donc écrire le théorème suivant.
Théorème : Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine.
Continuité sur un intervalle - Principaux enseignements
- Soit un intervalle dans le domaine de la fonction . Nous disons que est continue sur l'intervalle \N( I \N) si tous les éléments suivants sont vrais :
- \Nf(x) \Nest continue en tous les points intérieurs de \N( I \N) ;
- Si le point d'extrémité gauche (a) de l'intervalle (I) est dans l'intervalle, alors (f) (x) est continu à partir de la droite en (a) ; et (b) si le point d'extrémité droit (a) de l'intervalle (I) est dans l'intervalle, alors (f) (x) est continu à partir de la droite en (a).
- si l'extrémité droite \N( b \N) de l'intervalle \N( I \N) est dans l'intervalle, alors \N( f(x) \N) est continue à partir de la gauche à \N( b \N).
- On dit qu'une fonction est continue sur son domaine si elle est continue en tout point de son domaine.
- Les intervalles où une fonction est continue sont appelés intervalles de continuité.
- Une fonction qui est continue sur toute la ligne réelle est appelée continue partout.
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