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Lacombinaison de fonctionsa> est l'une des façons de manipuler les fonctions dans l'AP Calculus. Elle nous permet de créer de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes. Bien que la plupart des fonctions combinées soient le résultat d'opérations algébriques (addition/soustraction et multiplication/division), une autre façon de combiner des fonctions est une nouvelle méthode que nous allons aborder et qui s'appelle la composition de fonctions.
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Inscris-toi gratuitementLorsque l'on combine arithmétiquement des fonctions (en utilisant l'addition, la soustraction, la multiplication et/ou la division), quel est le domaine de la fonction combinée ?
Que devons-nous faire d'autre pour le domaine d'une fonction combinée si nous divisons deux fonctions ?
Lorsque nous évaluons des fonctions arithmétiquement combinées, nous pouvons soit...
Lorsque l'on combine arithmétiquement des fonctions (en utilisant l'addition, la soustraction, la multiplication et/ou la division), quel est le domaine de la fonction combinée ?
Que devons-nous faire d'autre pour le domaine d'une fonction combinée si nous divisons deux fonctions ?
Lorsque nous évaluons des fonctions arithmétiquement combinées, nous pouvons soit...
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Équipe enseignants Combinaison de fonctions
Dans cet article, nous couvrons tout ce qui concerne la combinaison et la composition de fonctions.
Nous pouvons créer une nouvelle fonction en ajoutant, soustrayant, multipliant ou divisant des fonctions, tout comme ces opérations forment un nouveau nombre.
La combinaison de fonctions est l'action de combiner plusieurs fonctions en une seule. Cela implique généralement l'utilisation d'opérateurs mathématiques de base tels que l'addition ou la multiplication.
Pour commencer, examinons la façon la plus simple de combiner des fonctions : la combinaison arithmétique de fonctions.
Lacombinaison arithmétique de fonctions consiste à créer de nouvelles fonctions en combinant des fonctions existantes à l'aide d'opérations arithmétiques de base telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Tout comme les nombres peuvent être ajoutés, soustraits, multipliés et divisés, nous pouvons utiliser ces mêmes opérations sur les fonctions !
Considère les fonctions \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = 3x +2\).
Que se passe-t-il lorsque nous les combinons par addition ?
\N[(f+g)(x) = f(x) + g(x)\N]
Nous pouvons maintenant substituer chacune des fonctions.
\[(f + g)(x) = (2x +1) + (3x +2)\]
Et enfin, rassemble les termes semblables.
\[(f + g)(x) = 5x + 3\]
Considérons à nouveau les mêmes fonctions, \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = 3x +2\).
Que se passe-t-il lorsque nous les combinons par soustraction ?
\N[(f-g)(x) = f(x) - g(x)\N]
Maintenant, nous substituons les fonctions comme précédemment.
\[(f - g)(x) = (2x +1) - (3x +2)\]
Et nous pouvons rassembler les termes similaires.
\[(f - g)(x) = -x - 1\]
Considérons les fonctions \(f(x) = 2x + 4\) et \(g(x) = x + 2\).
Que se passe-t-il si nous les multiplions ensemble ?
\N[(fg)(x) = f(x) \Ncdot g(x)\N]
Et si nous remplaçons les fonctions.
\[(fg)(x) = (2x + 4)(x+2)\]
Nous multiplions ensuite les parenthèses.
\[(fg)(x) = 2x^2 + 4x + 4x + 8\]
Et encore une fois, nous pouvons rassembler les termes similaires.
\[(fg)(x) = 2x^2 + 8x + 8\]
Considérons à nouveau les fonctions \(f(x) = 2x + 4\) et \(g(x) = x + 2\).
Que se passe-t-il lorsque nous les combinons par division ?
\N[(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\N].
Et substitue les fonctions.
\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2x+4}{x+2}\]
On simplifie ensuite algébriquement. Dans le cas de ces fonctions, nous trouvons un facteur commun et nous divisons.
\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2(x+2)}{x+2}\]
\[(\frac{f}{g})(x) = 2\]
Dans la plupart des mathématiques pré-calcul, l'objet principal que nous étudions est le nombre. Bien que nous étudiions également des modèles généraux tels que les fonctions et les équations, nous le faisons généralement en examinant les nombres eux-mêmes.
Cela change en calcul. En calcul, les objets fondamentaux étudiés sont les fonctions elles-mêmes, qui sont des objets mathématiques beaucoup plus sophistiqués que les nombres.
Il est souvent utile d'examiner la formule d'une fonction et d'observer sa structure algébrique. Par exemple, étant donné la fonction quadratique,
\[f(x) = -3x^2 + 5x -7\]
il peut être utile de la considérer comme la somme de trois fonctions plus simples :
Chacune des fonctions plus simples : c, l et q contribue à faire de f la fonction qu'elle est.
De même, si nous nous intéressons à la fonction,
\[p(x) = (3x^2 + 4)(9-2x^2)\]
il serait naturel pour nous de penser aux deux fonctions les plus simples :
qui sont multipliées ensemble pour produire p.
Lorsque nous combinons arithmétiquement des fonctions, le domaine de la nouvelle fonction contient les valeurs x qui sont communes aux fonctions d'origine. En d'autres termes, les deux fonctions doivent être définies en un point pour que leur combinaison soit définie.
En outre, lorsque l'on divise des fonctions, le domaine est encore plus restreint de sorte que le dénominateur ne soit pas égal à zéro.
Fondamentalement, cela signifie que lorsque nous évaluons des fonctions combinées, nous pouvons soit :
Si le domaine d'une fonction, f, est l'ensemble A et le domaine de la fonction, g, est l'ensemble B, alors le domaine de f + g est l'intersection \(A \cap B\) (notez que le symbole \(\cap\) signifie simplement "intersection") parce que f(x) et g(x) doivent tous deux être définis.
Disons que nous avons les fonctions :
\[f(x) = \sqrt x g(x) = \sqrt{2-x}\].
Le domaine de f(x) est \N(A = [0, \infty )\N).
Le domaine de g(x) est \N(B = (-\infty, 2]\N).
Donc, le domaine de (f + g)(x) est :
\N((f + g) (x) = \sqrt x + \sqrt{2-x}, \text{ Domaine de } (f + g)(x) \text{ est }A \cap B = [0, 2]\N)
De même, le domaine de (f - g)(x) est :
\((f - g) (x) = \sqrt x - \sqrt{2-x}, \text{ Domaine de } (f - g)(x) \text{ est }A \cap B = [0, 2]\N)
Comme pour l'addition et la soustraction de fonctions, le domaine de la multiplication et de la division de fonctions est l'intersection \(A \cap B\).
Cependant, lorsque nous divisons des fonctions, nous devons restreindre davantage le domaine de la fonction combinée puisque nous ne pouvons pas diviser par zéro. Ainsi, pour la division de fonctions, le domaine est \N(x \Ndans A \cap B \space | \space g(x) ≠ 0\) . Cela se lit comme "l'ensemble de toutes les valeurs de x telles que x est un élément de l'intersection de A et B, tant que g(x) n'est pas égal à zéro." (Ce n'est pas peu dire !)
Disons que nous avons les fonctions suivantes
\[f(x) = x^2 ; \space g(x) = x-1\].
Le domaine de f(x) est \N(A = (-\infty, \infty)\N).
Le domaine de g(x) est \N(B = (-\infty, \infty)\N).
Ainsi, le domaine de \((f \cdot g) (x)\) est :
\N((fg)(x) = x^2(x-1) ; \Ntext{ Domain of } (fg)(x) \text{ is } A\cap B = (-\infty, \infty)\)
Mais le domaine de \((\frac{f}{g})(x)\) est :
\N((\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1} ; \N-{ Domaine de } (\frac{f}{g})(x) \text{ est } A \cap B= (-\infty, 1)\cup (1, \infty)\)
Si nous considérons deux fonctions : f(x) et g(x), alors, pour les valeurs de x dans le domaine de f(x) et de g(x), la somme, la différence, le produit et le quotient des deux fonctions sont définis comme suit :
Pour ces quatre prochaines sections, considérons les deux fonctions :
\N(f(x) = 5x + 2\N) et \N(g(x) = x^2-1\N).
Nous allons également résoudre chaque combinaison où x = 4.
\[f(4) = 5(4) + 2 = 20 + 2 = 22\]
\[g(4) = (4)^2 - 1 = 16-1 = 15\]
Qu'est-ce que \N((f+g)(x)\N) ?
| Opération | Combiner, puis évaluer | Évaluer, puis combiner | Domaine | ||||
| \N-(f+g)(x)\N-(f+g)(x)\N-(f+g)(x)\N) | \N(f+g)(x)= f(x) +g(x)\N) | \N(= (5x+2) + (x^2 -1)\N) | \(= 5x + 2+x^2 -1\) | \N(=x^2+5x+1\N) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) |
\N-(f+g)(4)= f(4) +g(4)\N) | \(= (5(4)+2) + ((4)^2 -1)\) | \(= 5(4) + 2+(4)^2 -1\) | \(16 + 20 +1\) | \N-(f+g)(4)= f(4) +g(4)\N) | \(=22+15 = 37\) | ||
Qu'est-ce que \N((f-g)(x)\N) ?
| Opération | Combiner, puis évaluer | Évaluer, puis combiner | Domaine | ||||
| \N-(f-g)(x)\N-(f-g)(x) = f(x)-g(x)\N-(x) | \N-(f-g)(x) = f(x)-g(x)\N-(f-g)(x) = f(x)-g(x)\N-(f-g)(x) | \N(= (5x+2) - (x^2 -1)\N) | \(=5x + 2 - x^2 + 1\) | \N(-x^2+5x+3\N) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) |
| \N-(f-g)(4) = f(4)-g(4)\N) | \(= -(4)^2 + 5(4) + 3\) | \(=-16 + 20 + 3\) | \(= 7\) | \N- (f(4) - g(4)\N) | \(22-15 = 7\) | ||
Qu'est-ce que \N((f \cdot g)(x)\N) ?
| Opération | Combiner, puis évaluer | Évaluer, puis combiner | Domaine | ||||
| \N((f \Ncdot g)(x)\N) | \(= (5x+2) (x^2 -1)\) | \N(=5x^3-5x+2x^2-2\N) | \N(=5x^3+2x^2-5x-2\N) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) | |
\N-(f \Ncdot g)(4) = f(4) \Ncdot g(4)\N) | \(= 5(4)^3 + 2(4)^2-5(4)-2\) | \(320 +32-20-2\) | \(=330\) | \N-(f \Ncdot g)(4)\N-(f \Ncdot g)(4)\N-(4)\N) | \N(22 \Ncdot 15 = 330\N) | ||
Qu'est-ce que \((\frac{f}{g})(x)\) ?
| Opération | Combiner, puis évaluer | Évaluer, puis combiner | Domaine | |||
| \N- (\Nfrac{f}{g})(x)\N- (\Nfrac{f}{g})(x)\N) | \((\frac{f}{g})(x) = \frac{5x+2}{x^2-1}\) | --- | --- | --- | --- | \N((\Ninfty, -1) \Ncup (-1, 1) \Ncup (1, \Ninfty)\N) |
| \N- (\Nfrac{f}{g})(4)\N- (\Nfrac{f}{g})(4)\N- (\N) | \((\frac{f}{g})(4)= \frac{5(4)+2}{(4)^2-1}\) | \(\frac{20+2}{16-1}= \frac{22}{15}\) | \(\frac{f(4)}{g(4)}\) | \(\frac{f(4)}{g(4)} = \frac{22}{15}\) | ||
Lorsque nous divisons des fonctions, le domaine est restreint de façon à ce que le dénominateur ne soit pas égal à zéro.
Les fonctions peuvent également être combinées par un processus appelé composition de fonctions (ou composition de fonctions, les deux signifiant exactement la même chose), c'est-à-dire lorsqu'une fonction est composée avec une autre en insérant une fonction dans l'autre et en résolvant le problème.
Par exemple, disons que nous avons les fonctions :
\[y = f(u) = \sqrt{u} \text{ and } u=g(x)=x^2+1\]
Puisque y est une fonction de u et que u est une fonction de x, il s'ensuit que y est en fin de compte une fonction de x. Nous pouvons le calculer par substitution:
\[y = f(u)= f(g(x)) = f(x^2 +1) = \sqrt{x^2 +1}\].
Ce processus est appelé composition car la nouvelle fonction est composée des deux fonctions d'origine, f et g.
En général, si nous voulons composer deux fonctions quelconques, f et g :
Note que la sortie de la première fonction (g(x) dans ce cas) est utilisée comme entrée de la fonction suivante (f(x) dans ce cas).
Le résultat de cette composition est la nouvelle fonction \N(h(x) = f(g(x))\Nqui est obtenue en substituant g à f. C'est ce qu'on appelle la composition (ou composite) de f et g et elle est désignée par \N((f \Ncirc g)\N) lue comme "brouillard" ou "f cercle g" ou "f de g de x".
Lacomposition de fonctions consiste à prendre une fonction, par exemple \(g(x)\), et à l'insérer dans une autre fonction, par exemple \(f(x)\), et à la simplifier ou à la résoudre pour une valeur de x.
La fonction composite \N((f \circ g)\N) est définie comme suit :
\N((f \circ g)(x) = f(g(x))\N).
Remarque importante : la composition d'une fonction n'est PAS une multiplication !
L'image ci-dessous nous montre comment représenter \((f \circ g)\) en termes de machines.
La machine f º g est composée d'abord de la machine g et ensuite de la machine f, StudySmarter Originals
Disons que nous avons deux fonctions :
\(f(x) = 2 + 3x - x^2) et (g(x) = 2x -1).
Quelle est la valeur de \N((f \circ g)(x)\N) ?
Solution :
Il est important de noter que lorsque l'on combine des fonctions, l'ordre de combinaison a de l'importance. En d'autres termes, f(g(x)) n 'est pas nécessairement égal à g(f(x)). En fait, il s'agit d'un cas particulier où ces deux sont égaux !
Dans l'exemple ci-dessus, nous avions deux fonctions et nous les avons combinées à l'aide de la composition de fonctions. Et si nous inversions l'ordre de composition de ces deux fonctions ? Voyons ce qu'il en est !
Prenons les deux mêmes fonctions que dans l'exemple précédent : \N(f(x) = 2 + 3x - x^2\N) et \N(g(x) = 2x -1\N).
Seulement cette fois, trouvons \N((g \circ f)(x)\N).
Solution :
Comme tu peux le constater, cette solution n'est pas la même que celle de l'exemple précédent. Lorsque l'on compose des fonctions, l'ordre est important!
Il est tout à fait possible de composer une fonction avec elle-même !
Cela ressemble à : \N((f \Ncircuit f)(x) = f(f(x))\N)
Donc, si nous avons une fonction
\[f(x) = 2x +3\]
et qu'on la compose avec elle-même, on obtient :
\N((f \Ncirc f)(x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x+3)+3 = 4x + 6 +3 = 4x + 9\).
N'oublie pas ! Nous devons considérer deux domaines lorsque nous composons des fonctions. Si nous essayons d'évaluer \((f \circ g)(x)\), nous pouvons voir que g est évalué à x, donc x doit être dans le domaine de g. Et puisque fis évalué à g, g doit être dans le domaine de f. En d'autres termes :
Considérons les fonctions : \(f(x) = \sqrt{x}\) et \(g(x) = x^2\).
Le domaine de \Nf(x) = \Nsqrt{x}\Nest \N([0, \Ntext{ is } \Ninfty)\N).
Le domaine de \N(g(x) = x^2) est \N((-\infty, \infty)\N).
Si nous les composons comme suit :
\N((f \circ g)(x) = f(g(x))\N)
nous obtenons :
\N(f(g(x)) = f(x^2) = \sqrt{x^2} = x\N).
Mais, si nous les composons comme :
\N[(g \Ncirc f)(x) = g(f(x))\N]
nous obtenons :
\N[g(f(x)) = g(\sqrt x) = (\sqrt{x})^2 = x\N].
Après toutes ces discussions sur la composition des fonctions, il convient de mentionner que nous pouvons également décomposer les fonctions. Cela peut être utile si nous travaillons sur une fonction plus compliquée. La décomposition d'une fonction est le terme qui désigne la décomposition d'une fonction en plusieurs fonctions plus simples.
Tout comme il n'y a pas de mauvaise façon de manger un Reese's, il y a souvent plus d'une façon de décomposer une fonction !
Écrivons la fonction :
\[f(x) = \sqrt{5 -x^2}\]
comme la composition de deux fonctions plus simples.
Solution 1 :
Nous essayons de décomposer, ou de décomposer, f(x) en deux fonctions plus simples que nous appellerons g(x) et h(x). Ainsi ,
\[f(x) = g(h(x))\N-]
Solution 2 :
La composition de fonctions n'est pas la même chose que la multiplication de fonctions
Malgré l'apparence de la notation, lorsque nous composons des fonctions, nous ne les multiplions pas simplement ensemble. Lorsque nous composons des fonctions, nous remplaçons la variable de la fonction "extérieure" par la fonction "intérieure" et nous l'évaluons.
Disons que nous voulons composer deux fonctions :
\[f(x) = \sqrt x ; \space g(x) = x-1\].
Si nous voulons les composer comme \N((f \circ g)(x)\N) :
Si nous comparons la composition, \((f \circ g)(x)\), à la multiplication, \((f \cdot g)(x)\), (ceci pourrait également être écrit comme (fg)(x) nous voyons que les réponses ne sont pas les mêmes.
Contrairement à la combinaison de fonctions, la composition de fonctions n'est pas commutative.
\N- (f \Ncirc g)(x) ≠ (g \Ncirc f) (x)\N]
Maintenant, il faut dire qu'il existe descas particuliers où \((f \circ g)(x)\) est bien égal à \((g \circ f)(x)\). Si c'est le cas, cela signifie que les deux fonctions sont des fonctions inverses.
La composition de fonctions est cependant associative.
Si nous avons trois fonctions qui peuvent être composées les unes avec les autres, la propriété associative s'applique.
Étant donné f, g et h : \(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g)(h(x)) = ((f \circ g) \circ h)(x)\).
Donc, \N(f \circ(g \circ h) = (f \circ g) \circ h))
Pour combiner des fonctions par morceaux, nous suivons les mêmes règles que pour toute autre fonction, à l'exception de ce qui suit :
Disons que nous avons deux fonctions par morceaux :
\(f(x) = \begin{cases} 2 & x > 2 \\N 2 & x < 2 \end{cases}\N) et \(g(x) = \begin{cases} -2 & x \Ngeq 2 \N 2 & x<2 \end{cases}\N).
Et nous voulons calculer g(x) - f(x).
Solution :
Pour cette fonction par morceaux, nous devons la diviser en cas.
Voici d'autres exemples de combinaisons de fonctions !
Si \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) et \(g(x) = x + 1\), trouve ce qui suit :
Solutions :
Trouve \N((f+g), (f-g), (fg),\Ntexte{ et } \Ngauche( \Nfrac{f}{g} \Ndroite)\Npour les fonctions :
\N-[f(x) = x^2 + 3g(x) = x-1\N].
Solutions :
Le graphique de deux fonctions par morceaux, StudySmarter Originals
Le graphique de la fonction f est représenté en bleu, et le graphique de la fonction g est représenté en vert. Utilise les graphiques pour résoudre chaque quantité.
Solutions :
Si \(f(x) = x^2 + 10\) et \(g(x) = \sqrt{x-1}\), trouve ce qui suit :
Solutions :
Si \(f(x) = \sqrt x\) et \(g (x) = \sqrt{2-x}\), trouve chaque composition et son domaine.
Solutions :
On peut aussi composer trois fonctions ou plus ! Par exemple, la fonction composite \(f \circ g \circ h\) peut être trouvée en appliquant d'abord h, puis g, puis f comme suit :
\N[(f \circ g\circ h)(x) = f(g(h(x)))\N].
Trouve donc \N((f \circ g \circ h)(x)\N) si :
\[f(x) = \frac{x}{x+1} \qquad g(x) = x^{10} \qquad h(x) = x +3 \]
Solution :
\[(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+3)) = f \left( (x+3)^{10}\right) = \frac{(x+3)^{10}}{(x+3)^{10}+1}\]
Étant donné la fonction :
\[F(x) = \cos^2(x+9)\N].
Trouve les fonctions f, g et h telles que \(F = f \circ g \circ h\).
Solution :
La représentation graphique des combinaisons de fonctions peut se faire simplement en deux étapes :
Combine les fonctions concernées en une seule fonction.
Trace le graphique de la fonction nouvellement créée.
Ce qui est vraiment intéressant, cependant, c'est de voir comment la combinaison de deux fonctions modifie les graphiques originaux de ces fonctions. Par exemple, si nous combinons les fonctions \(f(x) = 3x + 4\) et \(g(x) = x\), comment penses-tu que le graphique de notre fonction combinée sera comparé au graphique de f(x) ? Essayons de le découvrir.
Tout d'abord, combinons simplement les fonctions f(x) et g(x) en une seule fonction h(x) par addition.
h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)\N- [h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)\N].
Ensuite, comme toujours, nous remplaçons nos fonctions f(x) et g(x).
\N- h(x) = 3x + 4+ x\N]
Et comme avant, nous rassemblons simplement les termes similaires pour trouver notre fonction combinée finale.
\[h(x) = 4x +4\]
En plaçant les deux fonctions originales sur un graphique avec la nouvelle fonction combinée, nous obtenons le graphique ci-dessous. Que pouvons-nous remarquer à propos de la relation entre h(x), f(x) et g(x) ? Comme nous pouvons le voir, h(x) a un gradient plus élevé que f(x) ou g(x). En fait, le gradient de h(x) est égal aux gradients de f(x) et g(x) combinés !
Lorsque nous considérons ce que nous faisons réellement en combinant des fonctions, cela est parfaitement logique. La sortie d'une fonction combinée (le nombre sur l'axe vertical ) pour une entrée donnée (le nombre sur l'axe horizontal ) est simplement une combinaison des sorties de chaque fonction originale.
Pour tester cela, choisis une valeur sur l 'axe des x et trouve la valeur de l'axe des y pour chacune des fonctions. La valeur de l'axe des y pour h(x) est-elle égale aux valeurs de l'axe des y pour f(x) et g(x) additionnées ?
\N((f+g)(x)= f(x) +g(x)\N)g(g(x)) = g(\sqrt{2-x}) = \sqrt{2 - \sqrt{2-x}}\N)
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