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Notre monde est en constante évolution. Les taux de changement ont donc des applications dans divers domaines, dont l'écologie.
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Équipe enseignants Changement de population
Le taux de variation d'une population dépend du rythme des naissances et des décès, des ressources disponibles et de la concurrence potentielle pour ces ressources. Tu peux utiliser ces paramètres pour formuler une équation qui modélise la population. Ensuite, bien sûr, la dérivée ou le taux de changement de cette équation est le taux auquel la population change.
Les taux decroissance de la population aident les scientifiques à faire des prévisions sur la taille des populations futures et les ressources nécessaires à leur maintien. Tu peux appliquer les taux de croissance de la population à la propagation des infections virales. Le calcul de la vitesse à laquelle un virus infecte les humains ou les animaux peut donner une indication sur l'étendue de l'infection (ou de son évolution), sur les ressources nécessaires pour aider les personnes infectées et sur la meilleure façon de lutter contre les infections visuelles.
Les populations ne se réfèrent pas seulement aux personnes. Tout être vivant fait partie d'une population. Et les populations, quelles qu'elles soient, sont rarement une valeur statique. Les populations changent constamment en raison de divers facteurs (environnement, sources de nourriture, migration, prédation, maladie, etc.)
L'évolution de la population est le changement naturel du nombre d'un organisme particulier dans un environnement.
Souvent, l'évolution de la population suit une tendance, généralement à la hausse ou à la baisse au fil du temps.
Si tu connais la tendance d'une population, tu peux déterminer dans quelle mesure cette population a changé au cours d'une certaine période.
La mesure de l'évolution de la population est la différence de population entre le début d'un certain intervalle de temps et la fin de cet intervalle.
Comme les populations changent avec le temps, la mesure d'une population peut souvent être représentée comme une fonction du temps appelée \(P(t)\). Pour trouver la mesure du changement de population de cette fonction \N(P(t)\N) entre les temps \N(t_{1}\N) et \N(t_{2}\N), il suffit de trouver la différence \N(P(t_{2})-P(t_{1})\N).
La population d'une colonie de bactéries peut être mesurée en milliers par l'équation \(P(t)=t^{2}+4t-1\) où \(t\) est la mesure en heures. Trouve la mesure du changement de population entre l'heure 3 et l'heure 5.
Réponse :
Pour trouver la mesure de l'évolution de la population au cours de la période, tu introduis \(5\) pour \(t_{2}\) et \(3\) pour \(t_{1}\).
\[\begin{align}\text{population change } &=P(t_{2})-P(t_{1})\\&=P(5)-P(3)\\&=(5^{2}+4(5)-1)-(3^{2}+4(3)-1)\\&=44-20\\&=24.\\\end{align}\]
La population bactérienne de la colonie a augmenté de \(24{,}000\) au cours de ces deux heures.
Et si tu voulais savoir à quelle vitesse une population change plutôt que de savoir combien elle a changé ?
Parfois, les populations changent lentement si l'environnement et d'autres facteurs sont relativement stables. D'autres fois, la population augmente ou diminue rapidement sur une courte période. Il peut être très instructif de savoir à quelle vitesse ces changements se produisent.
Si \(P(t)\) est le nombre d'organismes dans une population au moment \(t\), le taux de changement de la population au moment \(t\) est \(P'(t)\).
Le taux de variation de la population t'indique à quelle vitesse la population augmente ou diminue sur une période donnée ou à un instant précis. Et, comme le taux de variation le fait généralement en calcul, cela signifie que tu peux utiliser la dérivée de la fonction de population \(P(t)\). Le calcul nous fournit deux formules pour calculer l'évolution de la population : l'évolution moyenne de la population et l'évolution instantanée de la population.
Le taux moyen de variation de la population mesure l'ampleur de la variation de la population au cours d'une période donnée. Il s'agit d'une application de la formule de la quantité de changement.
Soit \(P(t)\) une équation de population qui représente le nombre de personnes, d'animaux ou d'organismes dans une population au moment \(t\). Le taux moyen de variation de la population de \(P(t)\) entre les moments \(t_{1}\) et \(t_{2}\) est le suivant
\N- [\N- Début{align} \text{taux moyen de changement }&=\frac{\Delta P(t)}{\Delta t}\\ &=\frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. . \N-{align}\N]
Comment la formule du taux moyen de variation de la population est-elle calculée ?
La variation de la taille de la population entre \(t_{1}\) et \(t_{2}\) peut être expliquée comme la différence entre la taille de la population au moment \(t_{2}\) et la taille de la population à \(t_{1}\). En termes mathématiques, tu peux l'écrire comme suit
\[\Delta P(t)=P(t_{2})-P(t_{1}).\]
Si tu veux connaître la variation de la population entre \N(t_{1}\r) et \N(t_{2}\r), il te suffit de diviser la variation de la taille de la population \N(\r}Delta P(t)\r) par le temps qui s'est écoulé, \r(\r}Delta t=t_{2}-t_{1}\r).
Prenons un exemple.
La population d'une ville de \(100{,}000\) habitants triple tous les \(10\) ans. Quelle sera la population de la ville dans \(4\) ans ?
Réponse :
Si \(P(t)\) représente la population de la ville au moment \(t\), alors \(P(0)=100{,}000\). Tu peux t'attendre à ce que \(P(10)=300{,}000\).
Tu peux trouver le taux de croissance moyen de la population par an sur les périodes de dix ans à l'aide de la formule :
\[\egin{align}] \text{taux moyen de changement } & = \frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. \N-&=\frac{300{,}000-100{,}000}{10-0}\N-&=\frac{200{,}000}{10}\N-&=20{,}000.\N-\N-]
Ainsi, en moyenne, la population de la ville augmente de 20 000 personnes par an.
Pour estimer la population de la ville au bout de quatre ans
\[\begin{align}P(4)&=P(0)+4(\text{taux moyen de changement} )\\N-&=100{,}000+4(20{,}000)\N-&=180{,}000.\end{align}\N-]
Au bout de quatre ans, la population totale de la ville est d'environ \(180{,}000\) personnes.
Pour trouver le taux exact de variation d'une population à un moment donné, tu trouves le taux instantané de variation de la population. Remarque que le taux instantané de variation de la population est synonyme de dérivée de la population.
Pour un rappel sur les taux de variation et leur rapport avec les dérivées, consulte l'article Taux de variation.
Soit \(P(t)\) une équation de population qui représente le nombre de personnes, d'animaux ou d'organismes dans une population au moment \(t\). Letaux instantané de changement de population au moment \(t\) est le suivant
\[\begin{align}\text{instantaneous rate of change } &=\lim_{\Delta t\à 0} \frac{\Delta n}{\Delta t} \\N- &=P'(t). \N- [Fin{align}\N]
Remarque que cela signifie que la dérivée de l'équation de la population est le taux de changement instantané !
La seule différence entre la formule du taux moyen de variation de la population et celle du taux instantané de variation de la population est la limite qui se trouve devant. Comme tu veux trouver la formule du taux de variation de la population à un seul moment dans le temps, \(\Delta t\) doit être très proche de \(0\). Tu trouveras donc la limite de la formule du taux moyen de variation de la population à mesure que la variation du temps se rapproche de \(0\). Voyons un exemple de ce phénomène.
La population d'une colonie de bactéries peut être mesurée en milliers par l'équation \(P(t)=t^{2}+4t-1\) où \(t\N) est mesurée en heures. Trouve le taux de changement de la croissance de la population à \(2\) heures. Trouve ensuite le taux moyen de changement de la croissance de la population sur \(2\) heures.
Réponse :
Pour trouver le taux de variation instantané de la croissance de la population, tu introduis \N(P(t)\Ndans la formule du taux de variation instantané avec \N(t_{1}=2\Nheures) et \N(t_{2}=t\N) pour obtenir
\N-\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{align} P'(2) &=\lim_{t \to 2}\frac{P(t)-P(2)}{t-2}\&=\lim_{t\to2}\frac{(t^{2}+4t-1)-(2^{2}+4(2)-1)}{t-2}\&=\lim_{t\to2}\frac{t^{2}+4t-12}{t-2}\&=\lim_{t\to2}\frac{(t-2)(t+6)}{t-2}\&=\lim_{t\to2} (t+6)\N&=8.\\N-\Nend{align}\N]
À \(2\) heures, la population de bactéries augmente à un taux de \(8{,}000\) bactéries par heure.
Trouvons le taux moyen de croissance de la population sur deux heures pour voir comment les taux se comparent.
\[\begin{align}\text{average rate of change } &=\frac{P(2)-P(0)}{2-0}\\N-&=\frac{(2^{2}+4(2)-1)-(0^{2}+4(0)-1)}{2}\N-&=\frac{11-(-1)}{2}\N-&=6.\N-\n- end{align}\N- \N-]
En moyenne, au cours des deux premières heures, la population de la colonie de bactéries croît à un rythme d'environ \(6{,}000\) bactéries par heure.
Trouvons maintenant le taux moyen de changement de population et le taux instantané de changement de population pour la fonction d'une population.
La population de grenouilles d'un certain étang a été observée pendant les mois de printemps et a été modélisée à l'aide de la fonction \(P(t)=1.25^t+2\) où \(t\) est le temps mesuré en semaines et \(P\) est la population en centaines de grenouilles.
a) Trouve le taux moyen de variation de la population entre la semaine 3 et la semaine 7.
b) Trouve le taux instantané de changement de population à la semaine (5).
Tout d'abord, il peut être utile de savoir à quoi ressemble le graphique de la fonction. Le graphique ci-dessous montre la fonction \(P(t)\) avec un tableau de valeurs pour plusieurs semaines :
Fig. 1 - Graphique de la fonction de croissance exponentielle de notre population avec un tableau de valeurs
Solution :
Pour les deux parties de la question, il peut être utile de se rappeler qu'un autre terme pour désigner le taux de changement est la pente. Tu devrais pouvoir tracer une ligne sur le graphique pour représenter le taux de variation de la population.
Partie a) Pour trouver le taux moyen de variation de la population entre deux moments, \(t_1\) et \(t_2\), tu peux tracer une ligne entre ces points, ici la semaine \(3\) et la semaine \(7\), sur le graphique comme indiqué ci-dessous. C'est ce qu'on appelle une ligne sécante. La pente de la ligne sécante entre deux points est le taux moyen de changement entre ces points.
Fig. 2 - Notre fonction exponentielle avec une droite sécante.
Pour trouver la pente de cette droite sécante, tu as besoin de la formule du taux moyen d'évolution de la population (qui est très similaire à la formule de la pente d'une droite entre deux points) :
\[\N- Début{alignement} \text{taux moyen de changement }&=\frac{\Delta P(t)}{\Delta t}\\ &=\frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. . \N- [end{align}\N]
Tu peux utiliser la table des valeurs pour faire des substitutions :
\[\begin{align} \text{taux moyen de changement}&=\frac{P(7)-P(3)}{7-3}\\N- &=\frac{6,77-3,95}{7-3}\N- &=\frac{2,82}{4}\N- &\Napprox 0,71 . \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Rappelons que la population est mesurée en centaines, donc un taux moyen de changement de \(0,71\) signifie que la population augmente en moyenne de \(71\) grenouilles par semaine de la semaine \(3\) à la semaine \(7\).
Partie b) Pour trouver le taux instantané de changement de la population à \N(5\N) semaines, tu utilises la formule ci-dessus qui dit que \N[\Certes, le taux instantané de changement}=P'(t).\N].
Rappelons d'abord que la dérivée d'une fonction en un seul point t'indique la pente de la ligne tangente en ce point. Sur le graphique, cela ressemblerait à ceci :
Fig. 3 - Notre fonction exponentielle avec une ligne tangente
Pour trouver la pente de cette ligne tangente, tu dois d'abord trouver la dérivée de ta fonction \(P(t)\). Comme \(P(t)\) est une fonction exponentielle, tu auras besoin de la règle de la dérivée de la fonction exponentielle. Et rappelle-toi que la dérivée d'une constante est \N(0\N) :
\N- [\N- Début{align}] P'(t)&=\frac{d}{dt}(1.25^{t}+2)\\ &=1.25^{t}ln(1.25).\\ \end{align}\]
Tu peux maintenant remplacer \N(5\N) par \N(t\N) pour trouver la pente à \N(5\N) semaines :
\N- [\N- Début{align}] P'(t)&=1.25^{t}ln(1.25)\NP'(5)&=1.25^{5}ln(1.25)\N- &\Napprox0.68.\NFin{align}\N]
La population de grenouilles augmente donc à un rythme d'environ \(68\) grenouilles par semaine à \(5\) semaines.
Note que la semaine 5 est à mi-chemin entre la semaine 3 et la semaine 7. Si tu regardes en même temps la ligne sécante et la ligne tangente sur le graphique, comme le montre l'image ci-dessous, tu verras à quel point les lignes sont similaires. Cela montre que le taux moyen de variation de la population est une assez bonne approximation du taux instantané de variation de la population.
Fig. 4 - Notre fonction exponentielle avec la ligne sécante et la ligne tangente
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