Borne d'erreur de Lagrange

Quelle est l'erreur maximale lors de la recherche d'un polynôme de Maclaurin pour \(\sin x\) sur l'intervalle \( \left[ -dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\) ? Que peux-tu conclure sur la série de Maclaurin pour \(\sin x\) ?

Solution :

Tout d'abord, rappelle-toi qu'un polynôme de Maclaurin est juste un polynôme de Taylor centré sur \(x=0\). En examinant certaines des dérivées de \(f(x)=\sin x\) avec leurs valeurs de fonction à \(x=0\), tu obtiens :

\[ \begin{array}{ccc} &f(x) = \sin x & \quad \quad & f(0) = 0\\ &f'(x) = \cos x & \quad \quad & f'(0)= 1 \\ &f''(x) = -\sin x & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- & f''''(x) = -\Ncos x & \N- \N- \N- \N- \N- & f'''(0)= -1 \N- & f^{(4)}(x) = \Nsin x & \N- \N- \N- \N- \N- & f^{(4)}(0) = 0. \Nend{array} \]

Comme tu peux le voir, le cycle revient au début de la liste lorsque tu arrives à la dérivée \(4^{\text{th}}\). Le polynôme de Maclaurin d'ordre \(n\) pour \(\sin x\) est donc le suivant

\N- [\N- Début{alignement} T_n(x) &= 0 + \frac{1}{1!}x + 0 + \frac{-1}{3!}x^3 + 0 + \dots \\N & \quad + \begin{cases} 0 & \text{ if } n \text{ est pair} \\N- \Ndfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n & \N- \N- \Nsi n \Nest impair} \end{cases} \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

et l'erreur de Lagrange aura une formule différente selon que \(n\) est pair ou impair.

Cependant, tu veux trouver l'erreur maximale, et ce n'est certainement pas le cas lorsque le terme d'erreur est nul ! Ce polynôme est centré sur \(x=0\), et l'intervalle est le suivant

\N[\Ngauche[ -\Ndfrac{\pi}{2}, \Ndfrac{\pi}{2} \Ndroite].\N]

Cela signifie que \(R = \frac{\pi}{2}\). Comme toutes les dérivées impliquent le sinus et le cosinus, tu sais aussi que

\N- [|f^{(n+1)}(c) |<1\N]

pour tout \(c\N) dans l'intervalle \N(I\N). Par conséquent

\N- [\N- Début{alignement} |R_n(x) | &\le M\frac{R^{n+1}}{(n+1)!} \N- &= 1\Ncdot \Ndfrac{\Ngauche(\Ndfrac{\Npi}{2}\Ndroite)^{n+1} }{(n+1)!} \N- &= \N-gauche(\N-{\pi}{2}\Ndroite)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!}, \end{align}\]

et c'est l'erreur maximale.

Tu voudrais tirer une conclusion sur la série de Maclaurin pour \(\sin x\). Pour cela, tu dois regarder

\[\limites_{n\à \infty} |R_n(x) | = \lim\limits_{n\a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a } \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} .\]

Puisque cette suite converge vers \N(0\N) comme \N(n \Nà \Nfty\N), tu peux conclure que la série de Maclaurin converge. En fait, la série de Maclaurin est égale à la fonction sur l'intervalle entier \ ( \left[ -dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\).

Lorsque tu es en train d'estimer

\[\sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right)\]

en utilisant le polynôme de Maclaurin, quel est le plus petit degré du polynôme qui garantit que l'erreur sera inférieure à \(\dfrac{1}{100}\) ?

Solution :

D'après l'exemple précédent, tu sais que l'erreur sur l'intervalle \ ( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]\) a la propriété que

\N- [|R_n(x) | \le \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} \N-]

Tu veux que cette erreur soit inférieure à \(\dfrac{1}{100}\), ou en d'autres termes que

\[ \N- gauche(\Ndfrac{\pi}{2}\Ndroite)^{n+1} \Nfrac{1}{(n+1)!} < \Nfrac{1}{100}.\N]

Malheureusement, la résolution de \(n\) est un véritable défi ! La seule chose que tu puisses faire est donc d'essayer plusieurs valeurs de \N(n\N) et de voir laquelle rend la limite d'erreur de Lagrange suffisamment petite.

Mais qu'en est-il si tu n'as pas de calculatrice à portée de main ? Le problème est que l'intervalle est trop grand, ce qui fait que \(\dfrac{\pi}{2} >1\). Peux-tu changer l'intervalle pour que \(\dfrac{\pi}{16} \) soit à l'intérieur de l'intervalle, mais que la limite soit plus petite ? Bien sûr !

L'erreur maximale lors de la recherche d'un polynôme de Maclaurin pour \(\sin x\) sur l'intervalle \( \left[ -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4} \right]\) a la propriété que

\[|R_n(x) | \le \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} ,\]

où tu as utilisé la même technique que dans l'exemple précédent. Dans ce cas

\[ \dfrac{\pi}{16} \in \left[ -\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4} \right] \]

et

\N- \N[ \Ndfrac{\Npi}{4} < 1, \N].

donc

\N- [\N- Début{alignement} |R_n(x) | &\le \left(\dfrac{\pi}{4}\right)^{n+1} \frac{1}{(n+1)!} \N- &< \Nfrac{1}{(n+1)!}. [\N-END{align}\N]

Tu dois maintenant t'assurer que l'erreur est suffisamment petite, ce qui signifie que tu as besoin que

\[ \frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{100},\]

ce qui est beaucoup plus facile à calculer. En fait, si tu prends \(n=4\) tu obtiens que

\[ \frac{1}{(4+1)!} = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120} < \frac{1}{100}.\]

Cela pourrait te faire penser que tu as besoin d'un polynôme de Maclaurin de degré \(4^{\text{th}}\), mais tu sais déjà que les termes pairs du polynôme de Maclaurin sont nuls ! Alors, choisis-tu \(n=3\) ou \(n=5\) pour t'assurer que l'erreur est suffisamment petite puisque le polynôme de Maclaurin est le même pour \(n=3\) et \(n=4\) ? Si tu veux avoir la garantie absolue que l'erreur sera suffisamment petite, utilise \N(n=5\N).

Si tu vérifies les erreurs réelles

\N- [\N- Début{alignement} \left|T_3\left(\dfrac{\pi}{16}\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right|&= \left| \frac{1}{1!}\left(\dfrac{\pi}{16}\right) + \frac{-1}{3!}\left(\dfrac{\pi}{16}\right) + \frac{-1}{3!}\left(\dfrac{\pi}{16}\right).}\left(\dfrac{\pi}{16}\right) ^3 - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right| \\ &= \left|\dfrac{\pi}{16} - \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{\pi}{16}\right) ^3 - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right| \\N- &\Napprox 0.0000024, \Nend{align}\N]

ce qui est bien plus petit que ce dont tu avais besoin !

Aurait-elle été suffisamment petite si tu avais pris \(n=1\) ? Dans ce cas

\[ \begin{align} \left|T_1\left(\dfrac{\pi}{16}\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right|&= \left| \frac{1}{1 !\sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) - \sin \left(\dfrac{\pi}{16}\right) \right| \\sin & \approx 0.00126, \end{align}\N]

donc même cela est plus petit que l'erreur qui t'a été donnée. Le problème, bien sûr, c'est de faire l'approximation sans utiliser de calculatrice !